精品导学案：导数的概念

1、精品导学案：1.1.2导数的概念课前预习学案预习目标：“导数的概念” 了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬一时速度，理解导数(瞬 时变化率)的概念预习内容：问题1我们把物体在某一时刻的速度称为般地，若物体的运动规律-5 -为s= f(t),则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t至Ijt + At这段时时平均速度的极限，即间内，当LS v = lim = . x0 :：t ,_ 2_h t )：=-4.9t6.5t 10问题2 函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是：f(X。：x) - f (Xo)记作f (x。)或我们称它为函数y = f (x)在x = x0处的提出疑惑同学们，通过你

2、的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：了解瞬时速度的定义，能够区分平均速度和瞬时速度，理解导数(瞬时变化率)的概念学习重点：导数概念的形成，导数内涵的理解学习难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点学习过程：一：问题提出问题：我们把物体在某一时刻的速度称为 。一般地，若物体的运动规律为s=f(t),则物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t至这段时间内，当 时平均速度的s极限，即v = ljm =.x0 .,寸h t 4.9t2 6.5t 10tc0时，在2+纯2屁段时间内t >0时，

3、在b,2 + At这段时间内Uf (XoX) - f (Xo)lim Jx)o x我们称它为函数y = f (X)在X = Xo处的记作f(Xo)或三：探究求导数的步骤:求增量y = f (XoX) - f (Xo)；四：精讲点拨课本例1五：有效训练算比值3 _ f (Xo +益) f(%)；(即_变化率)求y = X2 +2在点x=1处的导数.反思总结：附注：导数即为函数 y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同定义的变化形式:f(Xo) - f (Xo - X)以,:vf x = lim x'x ( x)f X =则f (Xo - X) - f (Xo)：；x

4、 = X - Xo ,当&XT o 时，XT Xo ,f (X)- f(Xo)所以 f (Xo) = lim X-Xo求函数y = f(X胜X = Xo处的导数步骤：“一差；二比；三极限”当堂检测：二：导数的概念函数y=f(x)在x=Xo处的瞬时变化率是：1、已知函数y = f(x),下列说法错误的是()A、Ay = f(Xo+Ax) f(Xo)叫函数增量B、9y. f (x0 + &x) f (x0)叫函数在Xo,Xo + Ax 上的平均变化率 工xlxC、f (x)在点x0处的导数记为yD、f (x)在点xo处的导数记为f '(xo)2、求函数丫=中7在乂=1处的导

5、数课后练习与提高1、若质点A按规律s = 2t2运动，则在t = 3秒的瞬时速度为()A、6B、18 C、54D、812、设函数f(x)可导，则妈止"建=()1 .A、f (1) B 、 f C 、不存在 D 、以上都不对 3-13、函数y=x十一在x=1处的导数是x 14、已知自由下洛物体的运动万程是s = 1gt2, (s的单位是 m,t的单位是s),求:(1)物体在t0到t0 + &这段时间内的平均速度；(2)物体在t0时的瞬时速度；(3)物体在t0=2s到t =2.1s这段时间内的平均速度；(4)物体在t = 2s时的瞬时速度。1.1.2导数的概念教学目标:1 .了解

6、瞬时速度、瞬时变化率的概念；2 .理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵3 .会求函数在某点的导数.教学重点:瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念教学难点：导数的概念.教学过程：0h h一、创设情景 (一)平均变化率(二)探究65探究：计算运动员在0 Mt这段时间里的平均速度，并思考以下问题：49(1)运动员在这段时间内使静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t) =B.9t2 +6.5t+10的图像，65结合图形可知，h(65) = h(0),4965_ h( ) - h(0)所以 v = -49 = 0(s/ m

7、)65 c-04965虽然运动员在 0WtW这段时间里的平均速度为 0(s/m), 49但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态二、新课讲授 1.瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬日速度呢？比如 ，t = 2时的瞬时速度是多少？考察 t = 2附近的情况:时，在2+4,2这段时间内口AE > 0时，在2,2+& 这段时间内一我(2)-曲(2 + &) _ 4 9Ad +13 14V- 2-(2+&)一=T9&L13 1- *2 +

8、 4)_网2) -4 9A产-13加(2 + 2Ae二一4一94 13当4 =-0 01 时，4 = 73 053 -当 4 = 0 01 时，Ae =13 053 /当& = -0,001 时，& n -13,0951； 当Ar = 0.001 陆 Ai = -13.0951： /当上 二-0 001 时，A/-13 0995b 一当 &=QOQ时.& =-1399953 当人 = -0,0001时，& = 1309995L /当4 = 0,0001时，& =-13,09995匕 /当 & = -0 00001 时，& = -1

9、3 099951； w当& 二0.00001 时,A/ = -13.099951；/fc 1 * 思考.当由趋近于0时，平均速度V有什么样的变化趋势？结论：当及趋近于0时,即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时,平均速度 v都趋近于一个确定的值 -13.1.从物理的角度看，时间Qt|间隔无限变小时，平均速度V就无限趋近于史的瞬时速度.因此,运动员在t =2时的瞬时速度是 -13.1m/s为了表述方便，我们用lim h(2 +4) -h=_13.1 ：。,：t表示“当t=2, &趋近于0时，平均速度V趋近于定值-13.1"小结：局部以匀速代替变速，以平均速

10、度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬.时速度的精确值.2.导数的概念从函数y = f (x)在x = X0处的瞬时变化率是：f(XoX) 一 f (Xo)fljm 二 lim 一-x 0LX±JQ 二x 、，一 “ -，、， _ ' . '.我们称匕为函数 y = f (x)在x = x0出的导数，记作f (%)或y即(.心 f(xUT(xo)X说明：(1)导数即为函数y = f (x)在x=x0处的瞬时变化率；(2)LX=X - xo，当 AXT 0 时，XT xo ,所以 f '(xo) = 1mo f(x)-f(Xo)三、典例分析例

11、1 (1)求函数y =3x2在X =1处的导数.(2)求函数f (X) = -X2 + X在X = -1附近的平均变化率，并求出该点处的导数分析：先求 Af = Ay = f (xo +Ax) - f (xo),再求, 最后求 ljm .XX 0 . ：x解：(1)法一定义法(略) c 222.2.法二 y |x m = lim - 二 lim "- 二 lim3( x 1) = 6(2) U ) 一(7：x)2 (7 冈-2=3_ ；xXX2.f ( -1) = lim 3 =十1x) .(一1 x)-2 二阳(3 -，x)= 3x )0 / x . xLx 0例2将原油精炼为汽油

12、、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度(单位：/)为f (x) =X27x+15(0 <x<8)，计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f (2)和f (6)根据导数定义-f = f(2x) - f(xo)x_2_ 2_（2 . ：x） -7（2：x） 15-（2 -7 2 15）=Zix -3所以f'(2)=翦,二妈 Ax-3) = _3同理可得：f'(6)=5在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在第2h附近，原油温度大约以3，C/h的速率下降在第6h附近，原油温度大约以5cC/h的速率上升.注：一般地