课时达标检测40空间向量及其运算和空间位置关系

1、课时达标检测（四十）空间向量及其运算和空间位置关系练基础小题 强化运算能力 1若 a (2x,1,3)， b (1,3,9) ，如果 a 与 b 为共线向量，则 ()1A x 1B x 211C x 6D x 6解析： 选 C a 与 b 共线，2x13， 11 39x6.12已知 a (2,3， 4)， b ( 4， 3， 2)， b 2x 2a，则 x ()A (0,3， 6)B (0,6， 20)C (0,6， 6)D (6,6， 6)1解析： 选 B由 b 2x 2a，得 x 4a 2b (8,12， 16) ( 8， 6， 4) (0,6，20)3空间四点 A(2,3,6) ， B(

2、4,3,2) ， C(0,0,1)， D (2,0,2)的位置关系为 ()A共线B共面C 不共面D无法确定解析： 选CAB (2,0，4)，AC， ，5)，AD (0，3，4)，由不(23存在实数 ，使ABAC成立知， A， B， C 不共线，故 A，B， C， D 不共线；假设A，0 2x 2y，B， C， D 共面，则可设AD x AB y AC(x， y 为实数 )，即 3 3y，由于 4 4x 5y，该方程组无解，故A， B， C，D 不共面，故选 C.4.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB，AC ，M ， N 分别是对边 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且

3、分 MN 所成的比为 2，现用基向量 OA ， OB ， OC 表示向量 DG ，设 DG x OA y OB zOC ，则 x， y， z 的值分别是 ()1， y 1， z11， y 1， z 1A x 333B x 336111111C x 3， y 6， z3D x 6， y 3， z 3解析：选 D设OA a， b，c， G 分 MN 的所成比为2，MG 2OBOC3MN ，DGOM MGOM2ON OM )12 111111113(2a3 2b 2c 2a 2a3b3c3a6a1b 1c，即 x1， y1， z1.336335已知 a (1,2， 2)， b (0,2,4)，则 a

4、， b 夹角的余弦值为 _解析： cosa， ba·b2 5|a|b|15 .25答案： 练常考题点 检验高考能力一、选择题1在空间四边形ABCD 中， AB ·CD AC ·DB AD ·BC ()A 1B 0C 1D不确定解析： 选B如图，令AB a，AC b，AD c，则 AB ·CD AC ·DB AD ·BC a·(c b) b·(a c) c·(b a) a·c a·b b·a b·c c·b c·a 0.2已知 a (2,

5、1， 3)，b ( 1,2,3)，c (7,6，)，若 a，b，c 三向量共面， 则 ()A 9B 9C 3D 3解析： 选B由题意知cxa yb，即 (7,6， ) x(2,1， 3) y( 1,2,3) ，2x y 7， x 2y 6，解得 9. 3x 3y ，3已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a，点 E， F 分别是 BC， AD的中点，则 AE ·AF 的值为 ()2121232A aB.2aC.4aD. 4 a解析：选CAE·AF 1AC )11· ·2(AB·4( AB2 ADADAC AD)122124(a co

6、s 60° a cos 60° ) 4a .4若平面 ， 的法向量分别为n1 (2， 3,5)， n2 ( 3,1， 4)，则 ()A B C ， 相交但不垂直D以上均不正确解析： 选 Cn1·n2 2× ( 3) ( 3)× 1 5× ( 4) 29 0，n1 与 n2 不垂直，又n1， n2 不共线， 与 相交但不垂直5.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D 1 中， M 为 A1C1 与B1D 1 的交点若 AB a， AD b， AA1 c，则下列向量中与BM 相等的向量是 ()1111A2a2b cB.2a2b c

7、1111C2a2b cD.2a2b c解析：选ABM BB1 B1M AA111(b a)11b ( AD AB ) c2a222c.6.如图，在大小为45°的二面角A-EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1 的正方形，则B， D 两点间的距离是 ()A. 3B.2C 1D.3 2解析：选DBD BF FE ED ，| BD |2| BF |2| FE |2 | ED |22BF· 2FE· 2BF· 111 23 2，故 |BD| 3 2.FEEDED二、填空题7在空间直角坐标系中，点P(1，2，3)，过点P 作平面yOz 的垂线PQ

8、，则垂足Q的坐标为 _解析：由题意知点Q 即为点P 在平面yOz 内的射影， 所以垂足Q 的坐标为(0，2，3)答案： (0，2，3)8已知点A(1,2,1) ， B( 1,3,4) ， D(1,1,1) ，若 AP 2 PB ，则 | PD |的值是 _解析： 设 P(x， y，z)，AP (x 1， y 2， z 1)， PB ( 1 x,3 y,4 z)，由 AP2 PB 得点 P 坐标为1，8， 3，又 D (1,1,1)，| PD |77.333答案：7739在空间直角坐标系中，以点A(4,1,9) ， B(10， 1,6)，C(x,4,3)为顶点的 ABC 是以BC 为斜边的等腰直

9、角三角形，则实数x 的值为 _解析：由题意知 AB ·AC 0，| AB | | AC |，又 AB (6， 2， 3)， AC (x 4,3，6 x 4 6 18 0，6)，解得 x 2.x 4 2 4，答案： 210已知 O(0,0,0) ，A(1,2,3)， B(2,1,2) ，P(1,1,2) ，点 Q 在直线 OP 上运动，当 QA ·QB 取最小值时，点 Q 的坐标是 _解析： 由题意，设 OQ OP ，则 OQ ( ，2)，即 Q(，2)，则 QA (1 ，2 ， 3 2)， QB (2 ，1 ， 2 2)，QA ·QB (1 )(2 ) (2 )(

10、1 ) (3 2 4224时有最小值，此时Q 点坐标为4，4，8 16 1063 ，当 333.2)(2 2)633答案：4，4， 8333三、解答题11.如图，在多面体ABC -A1B1C1 中，四边形 A1ABB1 是正方形， AB1AC， BC2AB， B1C1 綊 2BC，二面角A1 -AB -C 是直二面角求证： (1)A1B1平面 AA1C；(2)AB1平面 A1C1C.证明： 二面角 A1 -AB -C 是直二面角，四边形A1ABB 1 为正方形， AA1平面 BAC.又ABAC， BC2AB，CAB 90° ，即 CAAB，AB， AC， AA1 两两互相垂直建立如图

11、所示的空间直角坐标系A -xyz，设 AB 2，则 A(0,0,0)， B1(0,2,2) ，A1(0,0,2) ， C(2,0,0) ， C1(1,1,2) (1) A1B1 (0,2,0) ， A1 A (0,0， 2)， AC (2,0,0)，设平面 AA1C 的一个法向量 n (x， y， z)，n·A1 A 0， 2z 0，则即n·AC 0，2x 0，x 0，即取 y 1，则 n (0,1,0)z 0.A1 B1 2n，即 A1 B1 n.A1B1平面 AA1C.(2)易知 AB1 (0,2,2) ，A1C1 (1,1,0)， A1C (2,0， 2)，设平面 A

12、1C1C 的一个法向量m (x1， y1， z1)，m·A1C1 0，x1 y1 0，则即·，2x1 2z1 0，m A1C0令 x1 1，则 y1 1， z1 1，即 m (1， 1,1) AB1 ·m 0×1 2× ( 1) 2× 1 0，AB1 m.又 AB1?平面 A1C1C，AB1平面A1C1C.12.如图所示，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，点 P 为侧棱 SD 上的点(1) 求证： AC SD；(2)若 SD平面 PAC，则侧棱 SC 上是否存在一点 E，使得 BE平面 PAC.若存在，求 SE EC 的值；若不存在，试说明理由解： (1)证明：连接 BD ，设 AC 交 BD 于点 O，则 ACBD .连接 SO，由题意知SO平面 ABCD .以 O 为坐标原点，OB ， OC ， OS 所在直线分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图a，则高SO6设底面边长为2 a，于是 S6， 2，2，2，2，0， 0， 2 aD2 a,0,0 B2 a， 0，0C 0， 2 a， 0OC0， 2 a， 0SD 2a， 0，6a ，22则 OC ·SD 0.故 OCSD.从而 ACSD.(2)棱 SC 上存在一点 E ，使