反比例函数的图像与性质

1、反比例函数的图像与性质教学设计【说明】本节课引导学生先通过操作，观察，加深学生对反比例函数图像的清晰理解以及对反比例函数性质的准确理解，再给予演绎推理，让学生学会利用这些性质去解决相关问题。通过经历探索、猜想、验证的过程，进一步发展学生合情推理与演绎推理的水平，使学生通过“做数学”体验数学学习的乐趣，感知信息技术带来的数学学科学习革命的新特点。  【教材地位】      本节课是在介绍了反函数的概念后的一节，是进一步对反函数的图像性质的探索和理解。【学情分析】学生在七年级和八年级对函数的变化关系有了较为丰富的体验和

2、感受，也具备了一定的探索水平和归纳水平。【教学目的】1、知识目标:经历观察、归纳、交流的过程，探索反比例函数的主要性质及其图像形状。2、水平目标:提高学生的观察、分析水平和对图形的感知水平。3、情感目标:让学生进一步体会反比例函数刻画现实生活问题的作用。【教学重点】探索反比例函数图像的主要性质及其图像形状。【教学难点】1、准确画出反比例函数的图像。2、准确掌握并能使用反比例函数图像的性质。【教学方法】1、教法:师生互动，引导发现2、学法:自主探究，合作交流【教学思路】复习引入引发认知冲突探究新知（理解反比例函数图像） 探索图像性质应用提高【教学形式】本课采用小组学习，要求每个小组至少

3、有一台诺亚舟学习机，为学生的探究提供学习资源和支持，学生能够熟练运行数学画板程序，利用课件中几何图形的动态演变，解释知识形成的过程，进而促成学生对知识的主动建构。【教学用具】诺亚舟学习机（内带数学画板软件）【教学过程】一、引导学生准确绘制反比例函数的图像。1、提问:让学生回忆我们所学过的反比例函数y=  ，（k是常数，k 0），说出画函数图像的一般步骤。（列表、描点、连线）。2、协助学生分析反比例函数的图像不可能与坐标轴有交点的原因，从而使得学生产生疑问:反比例函数的图像将是什么样的呢？引导让学生画反比例函数y=  的图像并观察图像的特点。（学

4、生在下面画，在作此步骤时，学生可能会出现画成直线、折线、单曲线.等情形，这时正好针对问题鼓励学生间互相讨论相互比较，共同取得准确的图像。以下是学生在作图过程中可能出现的几种情况）画板使用:教师引导学生使用数学画板里的点的追踪功能，准确演示了满足y= 的点所在的图像即双曲线的形状。二、探索性质 1、数学画板探究活动一:要求学生利用数学画板里的画函数功能画出y= ， y= ， y=  的图像并探究下列问题:（1）函数的图像分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内，随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗

5、？（三种方式来说明:通过图像观察，也可采用数据代入求值得到函数的增减性，可通过对式子的分析。还能够通过数学画板的点的动态移动，其横纵坐标的数值动态表示来完成。尽量用多种方式让学生能更为深刻的理解和掌握反比例函数的图像及所体现的特点。）师生互动:画出图像后，鼓励学生观察图像，同桌交流，归纳总结图像的共同特征。如果学生的回答是以上问题的相关解释，老师要给予充分的肯定并实行适时小结。对学生没有注意到的问题，老师能够明确提出问题让学生思考。画板设计意图:为学生提供了充分自主探究的时间，使学生在观察、交流中发展分析水平和从图像中获取信息的水平。2、数学画板探究活动二:观察反比例函数y= ，&#

6、160;y= ， y=的图像，你能发现它们的共同特征吗？并比较它们分别和y= ，y= ，y= 的图像有什么异同？（从解析式和图像两个方面来说明）。学生活动:学生观察图像后先独立思考，再在四人小组间交流讨论。设计意图:使学生进一步明确反比例函数图像在K 0时的相关性质以及的变化带来的图像的变化。小结:反比例函数y 的图像，当k0时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k0时，双曲线的两只分别位于第二、四象限，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大。思考:将性质表达中的“在每一象限内”去掉能够吗？（补充数学符

7、号表达:当k0时，在每一象限内若X1X2, 则 y1y2 ；当k0时，在每一象限内若X1X2, 则 y1y2）4、数学画板探究活动三（面积不变性的探究）:在一个反比例函数上任取两点P、Q，过P点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积为S1，过点Q分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形的面积为S2，S1与S2有什么关系？为什么？学生活动:学生利用数学画板绘制图形，利用画板里的度量功能度量矩形的面积，在拖动点的同时观察面积的变化，观察S1与S2的关系，并思考为什么？设计意图:利用信息技术有目的地培养学生的空间想象能力和动点问题的合

8、情推理，同时有效地促进学生的思维由合情推理向演绎推理平稳过度。小结：反比例函数的图像也可以看作是横纵坐标的乘积是定值的点的集合（几何意义：面积不变性）。 师生互动：鼓励学生尝试对函数的性质进行描述。老师根据学生的回答进行修正和补充，最终获得完整而规范的结论。三、性质应用1、下列函数中，其图像位于第一、三象限的有_；在其图像所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_.（1） y ； （2）y  ； （3） y ； （4） y  .2.已知点A（-2，y1），B（-1，y2），C（3，y3）都在反比

9、例函数y= 的图像上，比较y1，y2 与y3的大小；   学生活动：学生先自己独立完成，然后请学生自己讲解。   设计意图：对反函数图像性质认识的及时应用和巩固。   3想一想：反比例函数的图像绕原点旋转180°后，能与原来的图像重合吗？四、知识总结通过今天的学习，你们对反比例函数有了一些新的认识吗？是什么呢？反比例函数的图像性质：    当k>0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小，并且第一象限内的y值大于第三象限内的y值；当k<0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大，