第2 章 测量不确定度与误差理论

1、第 章测量不确定度与误差理论. 测量与测量不确定度. 测量误差. 随机误差. 测量结果的数据处理. MATLAB在数据误差分析中的应用. 过失误差. 系统误差 . 测量与测量不确定度2.1.1测量的基本方法测量的基本方法)直接测量 可用一般公式表示如下: 式中:被测量参数的数值； 测量结果。)间接测量 可用一般公式表示如下:式中:被测量参数的数值； 直接测量参数的测量结果。)组合测量)软测量 . 测量与测量不确定度2.1.2测量不确定度)有关不确定度的术语()标准不确定度:以标准差表示的测量不确定度。()不确定度的 类评定: 用对观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。 不确定度的 类评定

2、有时又称为 类不确定度评定。()不确定度的 类评定:用不同于观测列进行统计分析的方法来评定标准不确定度。不确定度的 类评定有时又称为 类不确定度评定。()合成标准不确定度: 当测量结果是由若干个其他量的值求得时，按其他各量的方差和协方差算的标准不确定度。 它是测量结果标准差的估计值。()扩展不确定度: 确定测量结果区间的量，合理赋予被测量之值分布的大部分可望含于此区间。 扩展不确定度有时也称为展伸不确定度或范围不确定度。()包含因子:为求得扩展不确定度，对合成标准不确定度所乘之数字因子。 . 测量与测量不确定度)产生测量不确定度的原因 在测量实践中，不确定度主要来自许多可能的因素，如:被测量样

3、品不能完全代表被测量，测量方法和程序中的近似和假设，标准值或标准物质的值不准确，数据处理中所引用的常数和其他参数的不准确等测量方法的因素；测量仪器或装置的分辨力或鉴别阈值不够，对环境条件的影响或测量程序的认识不足，或在不完善的环境条件下测量，以及仪器读数时人为偏差等因素；当然还包括在相同条件下被测量在重复观测中变化的因素。)不确定度的 类评定 类评定是用统计分析法评定，其标准不确定度 等同于由系列观测值获得的标准差，即 。 标准差 的可用贝塞尔法、别捷尔斯法、极差法、最大误差法等方法来求解估计。)不确定度的 类评定 类评定不用统计分析法，而是基于其他方法估计概率分布或分布假设来评定标准差并得到

4、标准不确定度。 . 测量与测量不确定度 采用 类评定法，需先根据实际情况分析，对测量值进行一定的分布假设，可假设为正态分布，也可假设为其他分布，常见有下列几种情况:()当测量估计值 受到多个独立因素影响，且影响大小相近，则假设为正态分布，由所取置信概率 的分布区间半宽 与包含因子 来估计标准不确定度，即: 式中包含因子 的数值可由正态分布积分表查得。()当估计值 取自有关资料，所给出的测量不确定度 为标准差的 倍时，则其标准不确定度为:()若根据信息，已知估计值 落在区间 内的概率为，且在区间内各处出现的机会相等，则 服从均匀分布，其标准不确定度为: . 测量与测量不确定度()当估计值 受到两

5、个独立且皆是具有均匀分布的因素影响时，则 服从在区间 ) 内的三角分布，其标准不确定度为:()当估计值 服从在区间( )内的反正弦分布，则其标准不确定度为:)测量不确定度的合成()合成标准不确定度。 如在间接测量中，被测量 的估计值 是由 个其他量的测得值 的函数求得，即: . 测量与测量不确定度 且各直接测得值 的测量标准不确定度为 ，它对被测量估计值影响的传递系数为 。则由 引起被测量 的标准不确定度分量为: 而测量结果 的不确定度 应是所有不确定度分量的合成，用合成标准不确定度 来表征，计算公式为: 式中， 为任意两个直接测量值 与 不确定度的相关系数。若 的不确定度相互独立，即 ，则合

6、成标准不确定度计算公式(-)可表示为: . 测量与测量不确定度 当 ，且 同号时，或是 ，且 异号，则合成标准 不确定度计算公式(-)可表示为: 若引起不确定度分量的各种因素与测量结果没有确定的函数关系，则应根据具体情况按 类评定或 类评定方法来确定各不确定度分量 的值，然后按上述不确定度合成方法求得合成标准不确定度为: 用合成标准不确定度作为被测量 估计值 的测量不确定度，其测量结果可表示为: . 测量与测量不确定度()扩展不确定度。 扩展不确定度由合成标准不确定度 乘以包含因子 得到，记为，即用扩展不确定度作为测量不确定度，则测量结果表示为: 包含因子 由 分布的临界值 给出，即 . 测量

7、与测量不确定度 根据给定的置信概率 与自由度 查 分布表，得到 ( )的值。 当各不确定度分量 相互独立时，合成标准不确定度 的自由度 由下式计算: . 测量误差2.2.1测量误差的分类与性质测量误差的分类与性质 测量误差根据其产生的原因可以分为:()仪器误差(又称工具误差)()人为误差(又称个人误差)()环境误差(又称条件误差) 测量误差根据其性质可以分为:()系统误差()过失误差( )随机误差2.2.2测量误差的表示测量误差的表示)绝对误差 绝对误差定义为示值与真值之差，即: . 测量误差 绝对误差的负值称之为修正值，也叫补值，一般用 表示，即:)相对误差 相对误差定义为绝对误差与真值之比

8、，一般用百分数形式表示，即: 这里的真值 也用约定值或相对真值代替。 但在无法知道约定真值或相对真值时，往往用测量值(示值)代替，即: . 测量误差)引用误差 引用误差定义为绝对误差与测量仪表量程之比，用百分数表示，即: 确定测量仪表的准确度等级应用最大引用误差，即绝对误差的最大绝对值 与量程之比。 若用 表示最大引用误差，则有: . 测量误差 国家标准测量指示仪表通用技术条件(GB776-76)规定，电测量仪表的准确度等级指数 分为:0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5，5.0，共 级。它们的基本误差(最大引用误差)不能超过仪表准确度等级指数 的百分数，即: 依照上述规定，不难得出

9、:电测量仪表使用时所产生的最大可能误差可由下式给出:)允许误差 允许误差是指测量仪器在使用条件下可能产生的最大误差范围，它是衡量测量仪器的最重要的指标。测量仪器的准确度、稳定度等指标都可用允许误差表征。 . 随机误差2.3.1随机误差产生的原因随机误差产生的原因 随机误差是由众多的、变化微小的因素造成的。2.3.2随机误差的统计特性随机误差的统计特性正态分布正态分布 作为一个连续随机变量，随机误差 的数值恰为 的概率等于零，这时，如概率分布密度函数的值为()，则随机误差落在 至 这一微小范围内的概率为: 随机误差在( ， )范围内出现，是一个必然事件，所以 . 随机误差 随机误差的正态分布有以

10、下 个特征:()对称性:绝对值相等的正误差与负误差出现的次数相等。()单峰性:绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的次数多。()有界性:在一定的测量条件下，随机误差的绝对值不会超过一定界限。()抵偿性:随着测量次数增多，随机误差的算术平均值趋于零。 随机误差的概率分布密度函数可以用下式表示: . 随机误差 以随机误差 为横坐标，以概率分布密度()为纵坐标，则式(-)可以描绘成图-所示的曲线，称为随机误差正态分布曲线。 . 随机误差解得: 可见，标准误差 就是分布曲线拐点的横坐标。 已知测量列的标准误差，则随机误差 落在 范围内(即 )的概率，可按下式计算:令 代入上式得: . 随机误差 将被积函

11、数 展开为下列级数:于是: . 随机误差2.3.3表征随机误差水平的参数表征随机误差水平的参数)算术平均值 在等精密度的条件下，对某个参数进行了 次重复测量，得到 等 个测定值，这些测定值组成一个测量列。以 表示被测参数的真值， 表示各测定值所包含的随机误差，则有:如以 表示测定值的算术平均值，即:由式(-)、式(-)可得: . 随机误差 测定值 与算术平均值 之差，称为残余误差，简称残差，以 表示，则有:各式相加，得:因为所以 . 随机误差)测量的标准偏差()单次测量的标准偏差。 定理:同一被测量，在相同条件下，测量列 中单次测量的标准偏差(也称单次测量的标准不确定度)是表征同一被测量值 次

12、测量结果的分散性参数，并按下式计算: . 随机误差()标准偏差的基本估计贝塞尔公式。 定理:对同一被测量，在相同测量条件下，进行有限次测量的测量列 ，则单次测量标准偏差的估计值为:()算术平均值标准偏差。 将算术平均值标准偏差用 表示，则由式(-)可推出: . 随机误差 由图- 知， 一定时，当 以后， 已减少得非常缓慢。 . 随机误差)极限误差()极限误差的定义。 极限误差 的值可依据测量标准差、误差分布及要求的置信概率确定:或 称为置信因子，是误差分布、自由度和置信概率的函数，通常有表可查。()单体测量的极限误差。 随机误差正态分布曲线下的面积相当于全部误差出现的概率。 即: . 随机误差

13、 而随机误差在 至 范围内的概率密度为:引入新的变量:经变换，上式成为: 式(-)为概率积分，不同 的()值可由数学手册中查出。 . 随机误差()算术平均值的极限误差。 已知单体测量的标准偏差为，由式(-)可知， 次测量结果的算术平均值的标准偏差 。 因此，算术平均值 的不确定度表示为: 算术平均值 的极限误差为: . 系统误差2.4.1系统误差及其分类系统误差及其分类 设被测参数的真值为，系统误差为，包含有系统误差的测定值为，在不考虑随机误差的情况下，可得:于是: 为了获得被测参数的真值，需要在测定值上加上一项，也就是用 来修正测定值，因此 被称为更正值(或更正项)。 由式(-)可知: .

14、系统误差 变化的系统误差:在测量过程中，数值大小或正负号发生变化的系统误差，称为变化的系统误差。 根据变化规律的不同，又可分为:()累进的系统误差:测量过程中不断增大(或减小)的系统误差。 其中最简单的一种是线性系统误差。()周期性的系统误差:周期性地改变数值或正负号的系统误差。()复杂的系统误差:变化规律比较复杂的系统误差。2.4.2系统误差对测量的影响系统误差对测量的影响()设测定值中只含有固定的系统误差和随机误差。 根据测量误差的定义可得:式中: 固定的系统误差； 偶然误差。 将上式相加并除以，即得:或 . 系统误差 更正后的测定值的残差 ，以式(-)、式(-)代入， 测得 ，即:()设

15、测定值中含有变化的系统误差和随机误差。 根据测量误差的定义可得:将上式相加并除以，即得:或 式中: 消除系统误差 而引入的更正值。 . 系统误差 更正后的测定值的残差 ，以式(-)、式(-)代入，则得:2.4.3系统误差的发现系统误差的发现)残差分析法 根据式(-)，未更正的各测定值的残差 可以写作: . 系统误差 具体的检验法则如下:法则将未更正的测定值按测量先后次序排列，如残差 的代数值有规则地向一个方向变化，即符号为( 、 、 、 、 、 、 、 、 、 )或( 、 、 、 、 、 、 、 、 、 )，则该测量列包含有累进的系统误差。法则将未更正的测定值按测量的先后次序排列，如残差 的符

16、号有规律地交替变化，则该测量列包含有周期性的系统误差。 如果在测量列的一部分测定值中包含有固定的系统误差，而其余测定值不包含这种误差，那么，就整个测量列而言，这是一种变化的系统误差，可以用残差分析法发现它的存在。其检验法则为:法则在一个测量列中，当存在某些测量条件，测定值的残差 基本上保持相同的符号，而不存在这些条件(或条件改变)时，残差 均变号，则该测量列包含有随测量条件的改变而出现(或消失)的固定系统误差。 . 系统误差 显然，系统误差的数值不超过随机误差时，用上述三项法则，将不能发现系统误差的存在。这时，如重复测量的次数 足够多，可以采用下述法则:法则将未更正的测定值按测量的先后次序排列

17、，如前一半测定值的残差和与后一半测定值的残差和之差显著地不等于零，则该测量列包含有累进的系统误差。法则在一个测量列中，如条件改变前测定值的残差和与条件改变后测定值的残差和之差显著地不等于零，则该测量列包含有随测量条件的改变而出现(或消失) 的固定系统误差。)分布检验法 设纵坐标的标度为，那么该标度至横坐标轴的距离 ，即: . 系统误差 当 时， ，于是标度为 的横线就是横坐标轴。 如果随机变量 ，则: 以 为横坐标，以概率分布函数 为纵坐标，则点 的几何位置将 是 。所以对一切 而言， 在正态概率纸上表现为一条直线 。 . 系统误差 例如:对某参数重复测量了一百次，将测定值为 组，各组内测定值

18、出现的频数如表-第 列所示。 根据测定值在各组内出现的频数，计算相对频率和累计相对频数，并将计算结果列入表- 第 列和第 列。 以各组右端点的数值为横坐标，以该组的累计相对频数为纵坐标，在正态概率纸上画点，见图-。 . 系统误差 由图- 可见，这些点基本上在一条直线上，因而可以判定该测量列服从正态分布。 . 系统误差2.4.4系统误差的消除系统误差的消除 作为一般的原则，消除系统误差可以从以下两方面着手:)防止系统误差的产生 采用完善的测量方法，正确地安装和使用测量仪器、设备，保持稳定的测量条件，防止外界的干扰等，可以避免系统误差的产生。)掌握系统误差的规律，对测定值引入更正值 在测量工作之前

19、，对测量仪器和设备进行校正，取得仪器示值与准确值之间的关系，确定各种更正公式或更正值曲线，以便对测定值引入更正值，消除系统误差的影响。. 过失误差2.5.1过失误差与异常数据过失误差与异常数据 由于测量工作中的错误、疏忽大意等原因引起的误差，称为过失误差。为了发现过失误差，可以对测定值做必要的检查和校核。 在一个测量列中，可能出现个别的过大或过小的测定值，这种包含有巨大误差的测定值，通常称为异常数据。如果有充分的根据可以判定异常数据是由过失误差引起的，则应予以舍弃。 对于原因不明的异常数据，只能用统计学的准则决定取舍。2.5.2异常数据的取舍原则异常数据的取舍原则)来伊达(Layard)准则

20、由概率积分表可知，绝对值大于 (近似于 )的残差，出现的概率仅为0.0027，这是一个小概率事件。因此，残差的绝对值大于 (即残差极限值 )的测定值，可以看作过失误差引起的异常数据，应予舍弃。 这就是来伊达准则。 . 过失误差)肖维纳(Chauvenet)准则 如残差超过某个极限值的测定值，出现的概率等于或小于1/2n，可以认为是小概率事件。 也就是说，在n次测量中，这种测定值出现的次数等于或小于1/2，因而不应该发生。 如果出现了这种测定值，可以认为是过失误差引起的异常数据而予以舍弃。 这就是肖维纳准则。 设残差服从正态分布，且分布参数 可用测量列的标准误差 近似代替。于是，肖维纳准则可用下

21、式表示: . 过失误差 由式(-)可知， 。 因此根据测量次数n，可以求得 ，然后查概率积分表即可求出n 值。于是， 。 在实际工作中，可根据测量次数n，直接由表- 查得n 值。 . 过失误差)格拉布斯(Grubbs)准则 设测定值服从正态分布，即 。根据贝塞尔方法，分布参数 可用测定值的误差予以估计，即: 一个有限的测量列，可以看作从测定值总体中抽取的随机样本。如果 G ，则 是一个随机变量。格拉布斯推导了随机变量 的概率密度函数，因而选定信度(显著性水平)，就可得到临界值0，使得:其中， 是一个很小的数值，一般取为0.05、0.025或0.01。 . 过失误差临界值0 是测量次数 和信度

22、的函数，它的数值如表- 所示。 . 过失误差 在一个测量列中，最大的或最小的测定值的残差，如超过残差极限值 ，即: 则认为该测定值是一个包含过失误差的异常数据，应予舍弃。 这样做犯错误(即把不是过失误差引起的异常数据弃去)的概率为。 . 测量结果的数据处理2.6.1测量结果的表达测量结果的表达 前已述及，通过有限次重复测量，我们不可能获得被测参数的真值，但是可以用测定值的算术平均值 或加权平均值0 来近似地代替它。 这时，测定结果可以表达为:或0 设 组成一个有限的等精密度测量列，由测量条件决定的标准误差为。 按照贝塞尔公式，标准误差的估计值为 。 测定值的算术平均值 服从正态分布，即 ，所以， 是一个标准化正态分布的随机变量，而 则是一个自由度为 的2 分布随机变量，这两个随机变量互相独立，所以