第八知识块平面解析几何初步、圆锥曲线与方程(第1课时-第5课时) (5)

1、了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置/会推导空间两点间会推导空间两点间的距离公式的距离公式 1对空间直角坐标系，主要考查空间点的坐标的写法及两点间距离的求对空间直角坐标系，主要考查空间点的坐标的写法及两点间距离的求法，以填空题形式出现法，以填空题形式出现2空间直角坐标系作为辅助工具，协助求解立体几何中的若干问题空间直角坐标系作为辅助工具，协助求解立体几何中的若干问题【命题预测【命题预测】第第5 5课时课时 空间直角坐标系空间直角坐标系1对于空间直角坐标系的坐标轴的记忆，可以联系平面直角坐标系的特点进行对于空间直角坐标系的坐标轴的记忆，

2、可以联系平面直角坐标系的特点进行类比记忆，包括一些公式，都可以采用类比记忆法对于坐标轴可以记忆为类比记忆，包括一些公式，都可以采用类比记忆法对于坐标轴可以记忆为“横为横为x，纵为纵为y，z轴竖立直起来轴竖立直起来”也可以根据课本中介绍的右手直角坐标系也可以根据课本中介绍的右手直角坐标系的方法进行记忆的方法进行记忆2对于空间的坐标运算可以结合平面坐标中的运算公式，有些公式可以直接把对于空间的坐标运算可以结合平面坐标中的运算公式，有些公式可以直接把平面坐标的性质扩展到空间内，但是要注意在平面坐标系中与坐标轴垂直的平面坐标的性质扩展到空间内，但是要注意在平面坐标系中与坐标轴垂直的问题，在空间坐标系中

3、通常需要与坐标平面垂直问题，在空间坐标系中通常需要与坐标平面垂直【应试对策【应试对策】3在空间直角坐标系中，直线与平面之间的距离或者求坐标问题都可以使在空间直角坐标系中，直线与平面之间的距离或者求坐标问题都可以使 用平面几何与立体几何的性质加以研究同平面直角坐标系一样，有很多用平面几何与立体几何的性质加以研究同平面直角坐标系一样，有很多 性质在空间直角坐标系中也成立，例如，性质在空间直角坐标系中也成立，例如，P1(x1，y1，z1)和和P2(x2，y2，z2)的中的中 点坐标公式为点坐标公式为 .4在空间直角坐标系中，如果一点的坐标不是确定的，而是满足某种条件，我在空间直角坐标系中，如果一点的

4、坐标不是确定的，而是满足某种条件，我们可以根据条件建立坐标之间的关系，即建立一个方程，方程和点的运动轨们可以根据条件建立坐标之间的关系，即建立一个方程，方程和点的运动轨迹可以建立对应关系，这样得到的方程就是空间曲线的方程迹可以建立对应关系，这样得到的方程就是空间曲线的方程 5空间两点之间的距离公式，可以使用立体几何的基础知识进行推导由于空间两点之间的距离公式，可以使用立体几何的基础知识进行推导由于 空空间直角坐标系的建立是由正方体引入的，所以，许多问题都可以结合长方体间直角坐标系的建立是由正方体引入的，所以，许多问题都可以结合长方体(或正方体或正方体)的性质来解决有些含垂直条件比较多的几何体可

5、以采用补形的的性质来解决有些含垂直条件比较多的几何体可以采用补形的方法补成相应的长方体方法补成相应的长方体(或正方体或正方体)，这样可以简化很多运算，也可以使解决，这样可以简化很多运算，也可以使解决问题的方法更加灵活问题的方法更加灵活在空间直角坐标系中平面的方程、直线的方程在空间直角坐标系中平面的方程、直线的方程在空间直角坐标系中，平面的方程为在空间直角坐标系中，平面的方程为AxByCzD0(A、B、C不同时为不同时为0)直线的方程为直线的方程为 【知识拓展【知识拓展】 1空间直角坐标系空间直角坐标系(1)从空间某一个点从空间某一个点O引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴引三条互相垂直且有相同

6、单位长度的数轴：x轴轴、y轴轴、z轴轴，这样就建立了空间直角坐标系这样就建立了空间直角坐标系Oxyz，点点O叫做叫做 ，x轴轴、y轴轴、z轴叫做轴叫做 这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为分别称为xOy平面平面， 平面平面， 平面平面坐标原点坐标原点坐标轴坐标轴yOzzOx (2)右手直角坐标系右手直角坐标系 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向轴的正方向，食指指向y轴的正方向，轴的正方向，如果中指指向如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐

7、标系 (3)点的坐标点的坐标 对于空间任意一点对于空间任意一点A，作点，作点A在三条坐标轴上的射影，即经过点在三条坐标轴上的射影，即经过点A作三个平面作三个平面分别垂直于分别垂直于x轴、轴、y轴和轴和z轴，它们与轴，它们与x轴、轴、y轴和轴和z轴分别交于轴分别交于P，Q，R.点点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点叫做点A的的 ，记为，记为A(x，y，z)坐标坐标(4)中点坐标公式：平面上中点坐标公式可推广到空间，即设中点坐标公式：平面上中点坐标公式可推广到空间，即设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，

8、z2)，则，则AB的中点为：的中点为：P .思考：思考：空间中的点与有序实数组空间中的点与有序实数组(x，y，z)有怎样的对应关系？有怎样的对应关系？提示：提示：一一对应的关系一一对应的关系2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 空间中的两点空间中的两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)之间的距离之间的距离： P1P2 特别地特别地，空间任意一点空间任意一点P(x，y，z)与原点与原点O间的距离间的距离：OP .1点点(1,0，9)关于原点的对称点为关于原点的对称点为_答案：答案：(1,0,9)2点点(1，1,3)与点与点(2，4,6)之间的距离为之间的距离为_解析：解析：

9、所求距离为所求距离为 .答案：答案：3点点(10,4，2)关于点关于点(0,3，5)的对称点的坐标是的对称点的坐标是_解析：解析：设设(x，y，z)为所求，则为所求，则x100,4y6，2z10，所以，所以x10，y2，z8.答案：答案：(10,2，8)4已知点已知点P在在z轴上，且满足轴上，且满足|PO|1(O是坐标原点是坐标原点)，则点，则点P到点到点A(1,1,1)的的 距离是距离是_ 解析：解析：由题意由题意P(0,0,1)或或P(0,0，1)，所以，所以|PA| . 答案：答案： 5在在ABC中，若中，若A(1,2,3)，B(2，2,3)，C ，则，则AB边上的中边上的中 线线CD的

10、长度为的长度为_ 解析：解析：A(1,2,3)，B(2，2,3)，D . |CD| . 故故AB边上的中线长为边上的中线长为 . 答案：答案：(1)确定空间定点确定空间定点M的坐标的步骤：的坐标的步骤：过点过点M分别作垂直于分别作垂直于x轴、轴、y轴和轴和z轴的轴的平面，依次交平面，依次交x轴、轴、y轴和轴和z轴于轴于P、Q和和R.确定确定P、Q和和R在在x轴、轴、y轴和轴和z轴上轴上的坐标的坐标x、y和和z.得出点得出点M的坐标为的坐标为(x，y，z)(2)已知已知M点坐标为点坐标为(x，y，z)确定点确定点M位置的步骤：位置的步骤：在在x轴、轴、y轴和轴和z轴上依轴上依次取坐标为次取坐标为

11、x、y和和z的点的点P、Q、R.过点过点P、Q、R分别作垂直于分别作垂直于x轴、轴、y轴和轴和z轴的平面，如果三个平面交于一点，那么这个点就是坐标为轴的平面，如果三个平面交于一点，那么这个点就是坐标为(x，y，z)对应对应的点的点M.在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，在建立空间直角坐标系求点的坐标时，要使尽可能多的点落在坐标轴上，尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上尽可能多的线段平行于坐标轴，有直角的，把直角边放在坐标轴上【例【例1】 已知已知VABCD为正四棱锥为正四棱锥，O为底面中心为底面中心，AB2，VO3，试建试建立空间直角坐标系，并

12、求出各顶点坐标立空间直角坐标系，并求出各顶点坐标思路点拨：思路点拨：由于正四棱锥由于正四棱锥VABCD的顶点的顶点V在底面上的射影为底面的中心在底面上的射影为底面的中心O，且，且O为正方形为正方形ABCD的两条对角线的两条对角线AC，BD的交点，故以的交点，故以O为坐标原点，为坐标原点，OB，OC，OV所在的直线为所在的直线为x轴、轴、y轴、轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系轴的正方向建立空间直角坐标系解：解法一：解：解法一：建立空间直角坐标系，如图甲所示建立空间直角坐标系，如图甲所示，正方形正方形ABCD的边长的边长AB2，AOOCOBOD .又又VO3，A(0， ，0)，B( ，0,0)，

13、C(0， ，0)，D( ，0,0)，V(0,0,3)解法二：解法二：以底面中心以底面中心O为坐标原点，建立如图乙所示的空间直角坐标系为坐标原点，建立如图乙所示的空间直角坐标系，则则A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，V(0,0,3)变式变式1：如右图所示，四棱锥如右图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为的底面是边长为2的正方的正方形，侧棱形，侧棱PA底面底面ABCD，PA2，M、N分别为分别为AD、BC的的中点，试建立适当的坐标系，写出中点，试建立适当的坐标系，写出P、A、B、C、D、M、N的坐标的坐标解：解：以以A为坐标原点为坐标原点，以以AB所在直线为所

14、在直线为x轴轴，AD所在直线为所在直线为y轴轴，AP所在直线为所在直线为z轴建立空间直角坐标系轴建立空间直角坐标系，则则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、M(0,1,0)、N(2,1,0)、P(0,0,2)利用空间两点之间的距离公式除了可以求距离之外，还可以根据距离公式利用空间两点之间的距离公式除了可以求距离之外，还可以根据距离公式求点的坐标或点的坐标满足的方程以及判断三角形的形状求三角形的面积求点的坐标或点的坐标满足的方程以及判断三角形的形状求三角形的面积等等【例【例2】 (1)在在z轴上求与两点轴上求与两点A(4,1,7)和和B(3,5，2)等距离的点

15、等距离的点；(2)证明证明：以以A(4,3,1)，B(7,1,2)，C(5,2,3)为顶点的为顶点的ABC是等腰三角形是等腰三角形思路点拨：思路点拨：(1)首先要明白首先要明白z轴上点的坐标的特点，轴上点的坐标的特点， 再代入两点之间的距离公再代入两点之间的距离公式即可式即可(2)证明三角形是等腰三角形，只需证明其中有两边的长度相等，证明三角形是等腰三角形，只需证明其中有两边的长度相等，也即只需证明其中两点的距离相等也即只需证明其中两点的距离相等(1)解：解：z轴上的点横坐标和纵坐标都为零，故设所求点为轴上的点横坐标和纵坐标都为零，故设所求点为M(0,0，z)依题依题意，有意，有MAMB，即即

16、 ，两边平方，解得两边平方，解得z ，因此，所求点为，因此，所求点为M .(2)证明：证明：由两点间的距离公式，得由两点间的距离公式，得AB ，BC ，CA ，由于由于BCCA ，ABC是等腰三角形是等腰三角形变式变式2：(2010广东模拟题广东模拟题)如右图所示，以棱长为如右图所示，以棱长为a的正方体的正方体的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点的三条棱所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，点P在正在正方体的对角线方体的对角线AB上上，点点Q在棱在棱CD上上(1)当点当点P为对角线为对角线AB的中点的中点，点点Q在棱在棱CD上运动时上运动时，探究探究PQ的最小值的最小值；(2)当点

17、当点P在对角线在对角线AB上运动上运动，点点Q在棱在棱CD上运动时上运动时，探究探究PQ的最小值的最小值解：解：(1)因为因为B(0,0，a)，A(a，a,0)，P为为AB的中点的中点，所以所以P .又因为又因为Q在在CD上运动上运动，所以可设所以可设Q(0，a，z0)，其中其中z00，a，因此因此PQ ， 可知可知，当当z0 时时，PQ取最小值取最小值 a.(2)显然，当显然，当P在在AB上运动时，上运动时，P到坐标平面到坐标平面xOz、yOz的距离相等，且的距离相等，且P在第一卦在第一卦限，所以可设限，所以可设P(t，t，at)，t0，a，又，又Q在在CD上运动，所以可设上运动，所以可设Q

18、(0，a，z0)，z00，a，所以所以PQ ，当且仅当，当且仅当z0t 时，时，PQ取最小值取最小值 a.1常见对称点的坐标规律：在空间直角坐标系中，已知点常见对称点的坐标规律：在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)， 则点则点P： (1)关于原点的对称点是关于原点的对称点是(x，y，z) (2)关于关于x轴的对称点是轴的对称点是(x， y，z) (3)关于关于y轴的对称点是轴的对称点是(x，y，z) (4)关于关于z轴的对称点是轴的对称点是(x，y，z) (5)关于关于xOy坐标面的对称点是坐标面的对称点是(x，y，z) (6)关于关于yOz坐标面坐标面 的对称点是的对称点是(x，y，z

19、)(7)关于关于zOx坐标面的对称点是坐标面的对称点是(x，y，z)2中点坐标公式：若中点坐标公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则线段，则线段AB的中点的中点P的坐的坐 标为标为 .3利用中点坐标公式也可求对称点的坐标利用中点坐标公式也可求对称点的坐标【例【例3】 求点求点A(1,2，1)关于关于x轴及坐标平面轴及坐标平面xOy的对称点的对称点B、C的坐标的坐标，以以及及B、C两点间的距离两点间的距离思路点拨：思路点拨：通过点通过点A向平面向平面xOy及及x轴作垂线轴作垂线解：解：如右图所示如右图所示，过过A作作AMxOy交平面于交平面于M，并延长到并延长到C，使使CMA

20、M，则则A与与C关于坐标平面关于坐标平面xOy对称且对称且C(1,2,1)过过A作作ANx轴于轴于N，并延长到点并延长到点B，使使NBAN，则，则A与与B关于关于x轴对称且轴对称且B(1，2,1)A(1,2，1)关于坐标平面关于坐标平面xOy对称的点对称的点C坐标为坐标为(1,2,1)；A(1,2，1)关于关于x轴对称的点轴对称的点B坐标为坐标为(1，2,1)|BC| 4.变式变式3：求点求点P(1,2,3)关于坐标平面关于坐标平面、坐标轴及原点的对称点的坐标坐标轴及原点的对称点的坐标解：解：(1)关于关于xOy平面的对称点坐标为平面的对称点坐标为(1,2，3)关于关于xOz平面的对称点坐平面

21、的对称点坐标为标为(1，2,3)关于关于yOz平面的对称点坐标为平面的对称点坐标为(1,2,3)(2)关于关于x轴的对称点坐标为轴的对称点坐标为(1，2，3)关于关于y轴的对称点坐标为轴的对称点坐标为(1,2，3)关于关于z轴的对称点坐标为轴的对称点坐标为(1，2，3)(3)关于坐标原点的对称点坐标为关于坐标原点的对称点坐标为(1，2，3).1建立空间直角坐标系后，可以把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标建立空间直角坐标系后，可以把空间抽象的推理求值转化为具体的坐标 运算因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标，以及由点的坐标正确判运算因此正确确定空间直角坐标系内点的坐标，以及由点的坐标正确判 断

22、点的位置成为解题的关键断点的位置成为解题的关键2在识图和标图时，一是要从直观图的角度来确定点的位置和坐标；二是在识图和标图时，一是要从直观图的角度来确定点的位置和坐标；二是 要习惯使用右手直角坐标系要习惯使用右手直角坐标系【规律方法总结规律方法总结】3特别情况，当特别情况，当z1z20时，点时，点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)都在都在xOy平面平面 内，空间两点的距离公式就成了平面内两点的距离公式：内，空间两点的距离公式就成了平面内两点的距离公式： P1P2 . 因此，平面内两点的距离公式是空间两点的距离公式的特例因此，平面内两点的距离公式是空间两点的距离公式的特例. 【例【例4】 (本小题满分本小题满分14分分)已知直三棱柱已知直三棱柱ABCA1B1C1中，中，BAC90，ABACAA12，M为为BC1的中点，的中点，N为为A1B1的中点，求的中点，求|MN|. 规范解答：规范解答：如图，以如图，以A为原点，为原点，AB，AC，AA1为为x轴，轴，y轴，轴，z轴的正半轴建轴的正半轴建立空间直角坐标系，立空间直角坐标系，4分分则则B(2,0,0)，C1(0,2,2)，A1(0,0,2)，