晶体对称和极射投影

1、11.4 晶体宏观、微观对称及空间群和点群1.4.1 宏观对称1.4.2 微观对称1.4.3 空间群和点群21.4.1 晶体的宏观对称元素：晶体的宏观对称元素：1、宏观对称元素：由于晶体中的某部分为有限的几何图形， 具有点对称性宏观对称元素。对称中心 反映面 旋转轴 反轴nnmi反演反映旋转旋转反演I )(L)(LMI3对称元素国际符号对称操作等同元素或组合成分对称中心倒反反映面(镜面)反映一重旋转轴旋转二重旋转轴旋转三重旋转轴旋转四重旋转轴旋转六重旋转轴旋转四重反轴旋转倒反im23464IM)0(L)180(L)120(L)90(L)60(LIL)90(21133i63m晶体中的宏观对称元素

2、晶体中的宏观对称元素42，3，4，6次轴和平面点阵的结合5678910五种平面点阵分别属于下表的四种平面晶系11对于二维晶体仅有垂直于晶面的1，2，3，4，6轴和对称心，互相组合只能形成10种二维晶体学点群12二、晶体对称元素的基本原理晶体对称元素的基本原理:对称性要与晶体内部点阵结构 的周期性相适应。原理：1、在晶体的空间点阵结构中，任何对称轴都必与一组直线点阵平行；任何对称面都必与一组平面点阵平行，而与一组直线点阵垂直。 2、晶体中存在的对称轴的轴次仅限于1，2，3，4，6，而不存在5及6以上的轴次。 13 晶体的宏观对称操作是点操作，所有宏观对称元晶体的宏观对称操作是点操作，所有宏观对称

3、元素会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶素会通过一个公共交点按一切可能组合起来，产生晶体学点群体学点群. 晶体的宏观对称元素只有晶体的宏观对称元素只有8种，晶体点群数种，晶体点群数目也受到限制目也受到限制, 只有只有32种种. 32个晶体学点群个晶体学点群1415晶体学点群的对称元素方向及国际符号晶系晶系第一位第一位第二位第二位第三位第三位点群点群可能对称可能对称元素元素方向方向可能对称元可能对称元素素方向方向可能对称元可能对称元素素方向方向三斜三斜1, 1任意任意无无无无1， 1单斜单斜2,m,2/mY无无无无2,m,2/m正交正交2，mX2，mY2，mZ222,mm2,mmm四方四

4、方4, 4，4/mZ无，无， 2，mX无，无， 2，m底对底对角线角线4, 4，4/m，422，4mm, 42m, 4/mmm三方三方3, 3Z无，无， 2，mX无无3, 3, 32,3m, 3m六方六方6, 6, 6/mZ无，无， 2，mX无，无， 2，m底对底对角线角线6, 6, 6/m,622, 6mm, 62m, 6/mmm立方立方2,m,4, 4X3, 3体对体对角线角线无，无， 2，m面对面对角线角线23,m3,432, 43m, m 3m16点群的Schnflies符号 Cn: 具有一个n次旋转轴的点群。Cnh: 具有一个n次旋转轴和一个垂直于该轴的镜面的点群。Cnv: 具有一个

5、n次旋转轴和n个通过该轴的镜面的点群。Dn: 具有一个n次旋转主轴和n个垂直该轴的二次轴的点群。Sn:具有一个n次反轴的点群。T:具有4个3次轴和4个2次轴的正四面体点群。O:具有3个4次轴,4个3次轴和6个2次轴的八面体点群。1732种点群的表示符号及性质 1.旋转轴(C=cyclic) ： C1,C2, C3, C4, C6; 1,2,3,4,62. 旋转轴加上垂直于该轴的对称平面： C1h=Cs, C2h,C3h,C4h,C6h; m,2/m,3/m ( ) ,4/m,6/m3.旋转轴加通过该轴的镜面：C2v,C3v,C4v,C6v; mm2,3m,4mm,6mm4.旋转反演轴S2= C

6、i, S4,S6=C3d; -1,-4,-31832种点群的符号表示符号及性质5.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴： D2,D3,D4,D6; 222,32,422,622 6.旋转轴(n)加n个垂直于该轴的二次轴和镜面： D2h,D3h,D4h,D6h;mmm,3/mm,4/mm,6/mmm7. D群附加对角竖直平面： D2d,D3d; -42m,-3m8. 立方体群(T=tetrahedral， O=octahedral)T, Th, O, Td, Oh; 23,m3,432,-43m,m3m19晶体点群的Schnflies和国际符号20晶体的宏观对称类型：晶体的宏观对称类型：八类对称

7、元素按合理组合，但不能产生5或高于6的轴次。由此，推出晶体所属的32个点群。轴 C1 C2 C3 C4 C6轴面mhmv CS C2h C3h C4h C6h C2V C3V C4V C6V轴21面无面 D2 D3 D4 D6mhmv D2h D3h D4h D6h D2d D3d轴mi Ci C3i S4正四面体 T Th Td正八面体 O Oh21晶系和空间点阵形式：晶系和空间点阵形式：1、七个晶系：根据晶胞的类型，找相应特征对称元素，可以把 32个点群划分为七个晶系。特征对称元素中，高轴次的个 数愈多，对称性高。晶系从对称性由高到低的划分。晶系 特征对称元素 所属点群 晶胞参数立方晶系六

8、方晶系三个4或四个3dhhT ,T ,T ,O,O一个 或660012090, cbahhvhhD,D,DC,C,C,C3666366一个 或44090, cbadhVhD,D,DC,C,S,C2444444090, cba一个 或33dViD,D,C,C,C33333090, cba三个2hVD,D,C222090, cba一个2hSC,C,C22009090, cba无（仅有i ）, cbaiC,C1四方晶系三方晶系正交晶系单斜晶系三斜晶系221.4.2 微观对称元素： 由于晶体的周期性结构，是无限的几何图 形，具有微观对称性微观对称元素。点阵平移螺旋轴螺旋旋转)(L)t (mn滑移面反映

9、平移)t (M如 二重螺旋轴 21aa/ 21同形性：宏观中，平移被掩盖，其它操作宏观微观一一对应。23从晶系到空间群从晶系到空间群 7个晶系个晶系旋转，反射，反演旋转，反射，反演平移平移螺旋轴，滑移面螺旋轴，滑移面32个点群个点群14种种BrvisBrvis格格子子230个空间群个空间群（按照晶胞的特征对称元素分类按照晶胞的特征对称元素分类）24空间群空间群(Space Group)晶体学中的空间群是三维周期性物体(晶体)变换成它自身的对称操作(平移，点操作以及这两者的组合)的集合。它是晶体的对称宏观元素和微观对称元素的总和，一共有230种空间群。 空间群是点阵、平移群(滑移面和螺旋轴)和点

10、群的组合。 230个空间群是由14个Bravais点阵与32个晶体点群系统组合而成。25空间群分布 三斜晶系：2个；单斜晶系：13个 正交晶系：59个； 三方晶系：25四方晶系：68个；六方晶系：27个立方晶系：36个。 有对称中心90个，无对称中心140个。73 个 symmorphic (点式) ， 157个 non-symmorphic。26空间群对称元素的标准符号27对称元素的图示和印刷符号（1）28对称元素的图示和印刷符号（2）29了解Herman-Mauguin空间群符号空间群是经常用简略Herman-Mauguin符号(即Pnma、I4/mmm等)来指定。 在简略符号中包含能产生

11、所有其余对称元素所必需的最少对称元素。 从简略H-M符号，我们可以确定晶系、Bravais点阵、点群和某些对称元素的存在和取向（反之亦然）。30空间群符号L LS S1 1S S2 2S S3 3运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。v第一字母(L L)是点阵描述符号，指明点阵带心类型： P， I， F， C， A， B。v其于三个符号(S S1 1S S2 2S S3 3)表示在特定方向（对每种晶系分别规定）上的对称元素。 v如果没有二义性可能，常用符号的省略形式 (如Pm，而不用写成P1m1)。1.* 由于不同的晶轴选择和标记，同一个空间群可能有几种不同的符号。如P21/c,如

12、滑移面选为在a方向，符号为P21/a;如滑移面选为对角滑移，符号为P21/n。311.5 晶体的投影1.5.1 球面投影1.5.2 极射赤面投影1.5.3 吴氏网和极网1.5.4 标准投影1.5.5 极射投影的应用321.5.1 球面投影迹式球面投影法极式球面投影法333435363738迹式球面投影法39极式球面投影法40411.5.2 极射赤面投影42434445ONESBONESWWPP观察者投影面基圆参考球投射点POPOB通过BOPP的截面46474849505152535455极射赤面投影的两个重要的性质：1、球面上圆的投影仍然为圆2、球面上两个圆的夹角等于它们投影之间的夹角。（如何

13、测量？乌氏网）561.5.3 吴氏网和极网5758南极南极北极北极赤道赤道 若以赤道平面若以赤道平面上一点为投影点，上一点为投影点，投影面平行于投影面平行于NS轴，轴，则得则得乌氏网。乌氏网。 若以若以N或或S为投为投射点，而投影面平射点，而投影面平行于赤道平面，则行于赤道平面，则得到得到极网极网 。5960616263646566nB2按步骤按步骤中的逆向转回到其投影位置中的逆向转回到其投影位置B1，A3沿其所在纬线绕沿其所在纬线绕NS转转过与过与B2相同的角度到达相同的角度到达A4，A4即为即为A1绕绕B1转动转动40角后的新位置。角后的新位置。 转动轴与投影面呈任意倾角：转动轴与投影面呈

14、任意倾角：轴的投影为轴的投影为B1点，欲使点，欲使A1绕绕B1顺时针转动顺时针转动40。n将将A1、B1同时绕同时绕NS轴转动，轴转动，直至直至B1到达投影基圆圆心到达投影基圆圆心B2，A1点沿自身所在纬线转过相点沿自身所在纬线转过相同的角度到达同的角度到达A2；A1B1A2B2A3A440484848n将将B1置于乌氏网的赤道线上；置于乌氏网的赤道线上；nA2绕绕B2按预定方向和角度按预定方向和角度转过转过40角到达角到达A3；67PKQP1K1Q1808080O投影面的转换：投影面的转换：利用极点转动的方法可将晶面或晶向向新的投影面投影。利用极点转动的方法可将晶面或晶向向新的投影面投影。

15、P、Q、K投影在以投影在以O为为极点的平面上，现欲将极点的平面上，现欲将P、Q二点投影在以二点投影在以K为极点的为极点的投影面上，其作法是将投影面上，其作法是将K通通过乌氏网的运作转到投影基过乌氏网的运作转到投影基圆的中心，圆的中心，P、Q随之作相随之作相同的旋转到达新位置同的旋转到达新位置P1、Q1，这就是以，这就是以K为投影面时，为投影面时，P、Q点的极点位置。点的极点位置。 68（a）转轴B1与极点A1的位置 （b）转动过程 （c）转动结果697071727374100100001001010010010010100100110110110110101101011011011011101101110110110110111111111111111111111111