牛顿柯特斯求积公式

1、工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt第七章第七章 数值积分与数值微分数值积分与数值微分第一节第一节等距节点的等距节点的Newton-Cotes求积公式求积公式第二节第二节复化求积公式复化求积公式第三节（第三节（*）外推算法外推算法第四节第四节Gauss型求积公式型求积公式工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt 引引 言言( )( )( )( )( )baNF xf xf x dxF bFewtonLeibn tzai 其其中中为为的的原原函函数数公公式式2020,)txedxt 例例如如，对对概概率率积积分分 由于被积函数的原函数由于被积函数的原函数F(x)不可能找到，牛顿不可能找到

2、，牛顿-莱布尼兹公式也就无能为力了。莱布尼兹公式也就无能为力了。工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt 0 , ()( )()iinbiiaia bxf xf x dxA f x 所所谓谓，从从近近似似计计算算的的角角度度看看，就就是是在在区区间间上上适适当当地地选选取取若若干干个个点点 ，然然后后用用这这些些节节点点上上的的函函数数值值的的加加权权平平均均方方法法获获得得定定积积分分的的近近似似值值，即即数数值值积积分分( )( )( )( )bbaaxf xf x dxx dx 从从数数值值逼逼近近的的观观点点看看, ,所所谓谓数数值值积积分分，就就是是用用一一个个具具有有一一定定精精

3、度度的的简简单单函函数数代代替替被被积积函函数数，而而求求出出定定积积分分的的近近似似值值，即即( )( )( ),( )( )nnbbnaaxpxpxf xf x dxpx dx 插插值值型型求求积积公公式式，取取（ ）= =得得即即：用用插插值值多多项项式式工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt下面推导插值型求积公式下面推导插值型求积公式设设x0 ,x1 ,xna,b,pn(x)是是f(x)的的n次次Lagrange插值多项式插值多项式0( )() ( )nniiipxf x l x 则有则有(1)1101( ( )( )( )( )(1)!( )()()(),( )nnnnnfxf

4、xpxwxnwxxxxxxxaxb (1)1( ()()()()(1)!nbbbnnaaafxf x dxpx dxwx dxn (1)101() ( )( ( )( )(1)!nbbniinaaif x lx dxfxwx dxn (1)101()( ()()(1)!nbniinaiA f xfxwx dxn 工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt插值型求积公式插值型求积公式00( )()( )()(1)nnbiiiiaiif x dxA f xR fA f x 其中其中( )0,1,(2)biiaAl x dxin 截断误差或余项为截断误差或余项为(1)11( )( ( )( )(3)

5、(1)!bnnaR ffx wx dxn li(x)为为Lagrange插值基函数。插值基函数。(1)101()()( ()()(1)!nbbniinaaif x dxA f xfxwx dxn 工程数学工程数学工程数学工程数学整理pptAi (i=0,1,n)称为称为求积系数求积系数，xi (i=0,1,n)称为称为求积节点求积节点。0( )()nbiiaif x dxA f x 数数值值求求积积公公式式的的一一般般形形式式工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt一、一、 牛顿牛顿柯特斯求积公式的导出柯特斯求积公式的导出将积分区间将积分区间a,b n等分，节点等分，节点xi为为xi=a+i

6、h, i=0,1,2,n其中其中h=(b a)/n。有。有第一节第一节 等距节点的牛顿等距节点的牛顿柯特斯求积公式柯特斯求积公式当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为当求积节点等距分布时，插值型求积公式称为牛顿牛顿柯特斯柯特斯(Newton-Cotes)求积公式。求积公式。0( )()(4)nbiiaif x dxA f x 其中其中( )biiaAl x dx 工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt0n()00()(),0,1,bbnjiijijaajinnijjixxAlx dxdxxxtjhdtba Cinij 000011(5)0,1,ninnnn(n)ijjjijitj()Cd

7、t(tj)dtniji!(ni)!nin Ci(n) 称为柯特斯系数称为柯特斯系数。( )00( )()()()(6)innbniiiaiif x dxA f xbaCf x 于是于是牛顿牛顿柯特斯求积公式为柯特斯求积公式为引进变换引进变换x=a+th , 0tnxj=a+jh, j=0,1,2,n工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt二、两种特殊的数值求积公式二、两种特殊的数值求积公式: :（1）梯形公式）梯形公式(n=1)x0 =a, x1=b, h= b- a, c0(1)=c1(1) =1/2I=( )( )2babaf(x)dxf af bT 梯形公式的几何意义梯形公式的几何意义

8、是用四边梯形是用四边梯形x0 ABx1的的面积代替曲边梯形的面积。面积代替曲边梯形的面积。xy0ABy=P1(x)y=f(x)f0f1x0=ax1=b图图1工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt（2）辛卜生公式）辛卜生公式(n=2)辛卜生公式又称为抛物线公式辛卜生公式又称为抛物线公式。I=( )4 ()( )62( )4 ()( )32bababaabf(x)dx(f aff b )ShabIf(x)dx(f aff b )S 或或 x0 =a, x1=a+h, x2=b, h= (b-a)/2 C0(2)=1/6,C1(2)=4/6,C2(2)=1/6工程数学工程数学工程数学工程数学整理

9、ppt 辛卜生公式的几何意义是用抛物线辛卜生公式的几何意义是用抛物线y=P2(x)围成围成的曲边梯形面积代替由的曲边梯形面积代替由y=f(x)围成的曲边梯形面积图围成的曲边梯形面积图2。)()2(4)(6)(bfbafafabdxxfbaxyx0 x2x1y=P2(x)y=f(x)0图图2工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt例例：用梯形公式与用梯形公式与辛卜生公式辛卜生公式求求321xIedx 的近似值。的近似值。解：解：辛卜生公式辛卜生公式3123222212(4)0.7665755056xIedxeee I=0.766801031322212()0.8296608192xIedxee

10、 梯形公式梯形公式工程数学工程数学工程数学工程数学整理pptnc0c1c2c3c4c5c6c7c812345678三、牛顿三、牛顿柯特斯系数柯特斯系数工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt例例n=3为为3/8辛卜生公式辛卜生公式300123( )(33)8xxbaf x dxffff x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=b , h= (b-a)/3n=4为为Cotes公式公式x0 =a, x1=a+h, x2=a+2h, x3=a+3h, x4=b , h= (b-a)/4 430012473212327)90 xxbaf(x)dx(fffff 工程数学工程数学工程数学工

11、程数学整理ppt例：例：用用Newton-CotesNewton-Cotes公式计算公式计算 解：解：当当n n取不同值时，计算结果如下所示。取不同值时，计算结果如下所示。 I I准准=0.9460831=0.946083110sinxIdxx n近似结果近似结果10.927035420.946135930.946110940.946083050.9460830工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt四、代数精度四、代数精度0()()nbiiaifx dxA fx 定义定义1：若求积公式若求积公式 对一对一切不高于切不高于m次的多项式次的多项式p(x)都等号成立，即都等号成立，即R(p (x

12、)=0; ;而对于某个而对于某个m+1次多项式等号不成立，则称此公式的次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为代数精度为m.代数精度代数精度求法求法 从从(x)=1,x,x2,x3依次验证求积公依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是式是否成立，若第一个不成立的等式是xm, ,则其代数则其代数精度是精度是m-1. .代数精度越高，数值求积公式越精确代数精度越高，数值求积公式越精确定义定义2：若求积公式若求积公式 对对(x)=1,x,x2,x3xm, 都等号成立，即都等号成立，即R(xi)=0; ;而对于而对于xm+1 等号不成立，则称此公式等号不成立，则称此公式 的代数精度为的代数精

13、度为m. .0()()nbiiaifx dxA fx 工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt例例1：证明下面数值求积公式证明下面数值求积公式具有具有1 1次代数精度次代数精度. .101( )( (0)(1)2f x dxff 所以求积公式具有所以求积公式具有1次次代数精度。代数精度。10( )11=1( )( (0)(1)12f xf x dxff 取取，左左解解：右右10( )111=( )( (0)(1)222f xxf x dxff 取取，左左右右210( )111=( )( (0)(1)322f xxf x dxff 取取，左左右右工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt例例2

14、：设有设有成立，确定成立，确定 A0、 A1 、 A2，使上述数值求积公式的代数使上述数值求积公式的代数精度尽可能高，精度尽可能高，并求代数精度并求代数精度。解：解：分别取分别取 (x)=1，x，x2，则有，则有 A0 +A1 + A2=2 -A0 + A2=0 A0 + A2=2/3解得解得A0 =1/3，A1 =4/3， A2=1/3；111( )( ( 1)4 (0)(1)3f x dxfff 则则取取 (x)=x3，左，左= =右右=0=0； (x)=x4，左，左= =-11x4dx=2/5 =2/5 右右=2/3=2/3所以具有所以具有3 3次代数精度。次代数精度。10121()(

15、1)(0)(1)f x dxA fA fA f 工程数学工程数学工程数学工程数学整理pptNewton-Cotes公式的代数精度公式的代数精度(1)11(1)!()( )( )bnnnaR ffx dx 其其中中0()()nbjjajf(x)dxA f xR f 因因 为为证证明明：nj 0( )()bijaf x dxA f x 其中其中 n+1(x)= (x-x0)(x-x1).(x-xn-1)(x-xn)即求积公式即求积公式至少具有至少具有n次代次代数精度。数精度。定理定理1：由由n+1个互异节点个互异节点x0 、x1 、x n构造的插值构造的插值型求积公式的代数精度至少为型求积公式的代

16、数精度至少为n。这里系数这里系数Aj只依赖于求积节点与积分区间只依赖于求积节点与积分区间,与与f(x)无关。无关。显然当显然当f(x)是任何一个不超过是任何一个不超过n次的多项式时次的多项式时,余项余项(1)11(1)!( )( )( )0bnnnaR ffx dx 工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt 由于由于Newton-Cotes公式是其特殊情形公式是其特殊情形( (等距节点等距节点),),它的代数精度至少是它的代数精度至少是n,n,还可以证明还可以证明当当n n 为偶数时为偶数时Newton-CotesNewton-Cotes公式的代数精度至少是公式的代数精度至少是n+1.n+1

17、. 定理定理2：当当n为偶数时为偶数时，由由n+1个等距节点个等距节点x0 、x1 、x n构造的牛顿构造的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度至少为柯特斯求积公式的代数精度至少为n+1。工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt五、五、( ) , ( ) , ( , )( ) ( )( )( )bbaaf xa bg xa ba bf x g x dxfg x dx （第第二二积积分分中中值值定定理理）如如果果函函数数在在上上连连续续，函函数数在在上上可可积积且且不不变变号号，则则存存在在使使引引理理：3( ), ()( )( ( )( )2()( )12bTaf xa bbaRff x dxf

18、af bbaf 设设在在 上上有有二二阶阶连连续续导导数数，则则梯梯形形求求积积公公式式的的截截断断误误差差定定为为理理3 3：工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt带误差项的梯形公式是带误差项的梯形公式是3( )( )( )212bababaf(x)dxf af bf （）1,(3)( )()()(), , 2bTanfRfxaxb dxa b 证证明明: :由由截截断断误误差差公公式式有有3( )()()()()( )212bTafbaRfxaxb dxf 证证毕毕( ) , ()()0 , , fxa bxaxbxa ba b 由由于于是是依依赖赖于于 的的函函数数且且在在上上连连续

19、续，又又，由由引引理理知知，在在区区间间上上存存在在一一点点 使使得得工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt证：证：已知辛卜生求积公式的代数精度为已知辛卜生求积公式的代数精度为3，因此考，因此考虑构造一个三次插值多项式虑构造一个三次插值多项式p3(x)满足下列条件满足下列条件根据插值余项定理得：根据插值余项定理得：3( )( )p af a 3( )( )p bf b 322()()ababpf 322()()ababpf (4)3( )24!2( )( )()() ()fa bf xp xx a xx bab 5(4)( ), ()( )( ( )4 ()( )62()2880bSaf

20、xa bbaabRff x dxf aff bbaf 设设在在 上上有有4 4阶阶连连续续导导数数，则则辛辛卜卜生生求求积积公公式式的的截截断断误误差差为为定定理理4 4：工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt得到截断误差得到截断误差3333( )( ) 4()( )( ) 4 ()( )6262bab aabb aabp x dxp app bf aff b (4)21( )( )()() ()4!2baabR ffxa xxb dx 3( )px因因为为是是是是三三次次多多项项式式，所所以以(4)2321( )( )( )()() ()4!bbba baaaf x dxp x dxfx

21、a xxb dx 两边求定积分得两边求定积分得 (4)( ),fa b 假假设设在在区区间间上上连连续续，工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt 2(4)245(4)1()( )()4!21()4!22880babaabR ffxaxxb dxabfxaxxb dxbafab 因此辛卜生求积公式的截断误差为因此辛卜生求积公式的截断误差为 5(4)S(),2880baRffab 2,0,a bxa bxaxxba b 而而且且当当时时由由引引理理知知，在在上上总总存存在在一一点点 使使得得工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt( )001nnnjjjjAbaC ，例例证证明明：1,( )

22、1,nf x 证证取取：( )00( )()()()innbniiiaiif x dxA f xbaCf x 由由(1)11( )( ( )( )(1)!bnnaR ffx wx dxn 及及( )0R f 知知00( )( )00( )()()()()iinnbiiiaiinnnniiibaf x dxA f xAbaCf xbaC 所所以以( )001nnnjjjjAbaC ，工程数学工程数学工程数学工程数学整理ppt 六、六、 初步看来似乎初步看来似乎n n值越大，代数精度越高。是不是值越大，代数精度越高。是不是 n n 越大越好呢？答案是否定的。考察越大越好呢？答案是否定的。考察Newton-Cotes公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的公式的数值稳定性，即讨论舍入误差对计算结果的影响。影响。( )00( )()()()innbniiinaiiIf x dxA f xbaCf xI ()kf x n n