一元二次不等式的解法复习(含详细知识点和例题答案)

1、一元二次不等式的定义象x2 5x 0这样，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式探究一元二次不等式x2 5x 0的解集怎样求不等式(1)的解集呢？探究：(1)二次方程的根与二次函数的零点的关系容易知道：二次方程的有两个实数根：x1 0, x2 5二次函数有两个零点：x1 0,x2 5于是，我们得到：二次方程的根就是二次函数的零点。(2)观察图象，获得解集画出二次函数y x2 5x的图象，如图，观察函数图象，可知:当x<0 ,或x>5时，函数图象位于 x轴上方，此时，y>0,即x2 5x 0 ； 当0Vx<5时，函数图象位于 x轴下方，此时

2、，y<0,即x2 5x 0 ;所以，不等式x2 5x 0的解集是 x|0 x 5 ,从而解决了本节开始时提出的问题。探究一般的一元二次不等式的解法任意的一元二次不等式，总可以化为以下两种形式：ax2 bx c 0,( a 0)或 ax2 bx c 0,( a 0)一般地，怎样确定一元二次不等式ax2 bx c>0与ax2 bx c<0的解集呢？组织讨论：从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集，关键要考虑以下两点：(1)抛物线y ax2 bx c与x轴的相关位置的情况， 也就是一元二次方程 ax2 bx c =0 的根的情况(2)抛物线y ax2

3、bx c的开口方向，也就是 a的符号总结讨论结果：(I)抛物线 y ax2 bx c (a> 0)与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程 ax2 bx c=0的判别式b2 4ac三种取值情况(a> 0, A =0, A <0)来确定.因此，要分二种情况讨论(2) a<0可以转化为 a>0分A >O, A =0, A <0三种情况，得到一元二次不等式ax2 bx c>0与ax2 bx c<0的解集元二次不等式ax2 bx c 0或ax2 bx c 0 a 0的解集:设相应的二次方程ax2 bx c 0 a 0的两根为x1、x2且

4、x1x2 ，则不等式的解的各种情况如下表:000y ax2 bx cy ax2 bx cy ax2 bx c一次函数2y ax bx c(a 0)的图象“IJ.001 1-Tt二次方程ax2 bx c 0a 0的根后两相异实根xi,x2(xix2)后两相等实根bx1 x22a无实根2ax bx c 0(a 0)的解集xx x1 或 x x2b xx2aR2,八ax bx c 0(a 0)的解集xx1 x x2解一元二次不等式的步骤:2.一 将二次项系数化为+ ： A=ax bx c>0(或<0)(a>0) 计算判别式 ，分析不等式的解的情况:ii .iii.>0时,=0

5、时,<0时,求根x1<x2,求根 xi = x2 = x°方程无解,0, Mx0,则2廿.右A右A右A0,0,0,x1 或x2;X2.x0的一切实数;X0.0,则0,则R；写出解集.求解不等式的方法， 就是将不等式转化为熟悉, 解，也可采用以下解法。可解的不等式，因此一元二次不等式的求x2+3x-4<0(x+4)(x-1)<0,十4 >01-ICO(冗+4< 0z -1 > 0-4<x<1 或 0 。原不等式解集为x|-4<x<1。3253 5535x2+3x-4<0 l=(x+ 2)2< 4|=|x+2

6、|<2|=-2<x+2<2=> -4<x<1 。原不等式解集为x|-4<x<1。含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参元二次不等式常用的分类方法有三种：2一、按x项的系数a的符号分类，即a 0,a 0, a 0；例1解不等式：ax2 a 2 x 1 0分析：本题二次项系数含有参数，a 2 2 4a a2 4 0,故只需对二次项系数进行分类讨论。2解：:a 2 4a a 4 02a 2 a2 4 a 2 . a2 4斛得万程 ax a 2x1 0两本H x1 , x2 2a2aa 2a

7、2 4 a 2a2 4，当a 0时，斛集为 x | x 或x 2a2a当a 0时，不等式为2x 10,解集为x | x0时，解集为x| 2a2a二、按判别式的符号分类，即 0,0,0 ;例2解不等式x2 ax 4 0分析 本题中由于x2的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解：:a2 16当 a 4,4 即0时，解集为R;R且x此时当a 4即A=0时，解集为 xx当a4或a 4即 0a一 .2两根分别为x1a . a2 16x2a a2 16显然x1x2,，不等式的解集为例3解不等式m2xxa a 16或x21 x2 4x 1 0 m R解因m2 10,所以当mJ3,即当忑3mV3,即22(4)24 m2 10时，解集为0时，解集为2a a 162- 243 m223 m223 m2m2 1当mJ3或m J3,即 0时，解集为R。1例4解不等式x2 (a )x 1 a分析：此不等式可以分解为:只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：x当 a1 或 0 a 1 时，a三、按方程ax2 bx c 。的根x1,*2的大小来分类，即 x1 x2,x1 x2,x1 x2;0 (a 0)1、x a (x -) 0 ,故对应的万程必有两解。