信号与系统第五章ppt课件

1、信号与系统信号与系统第五章第五章第五章系统的形状变量分析第五章系统的形状变量分析第一节引言第一节引言第二节第二节LTI系统的信号流图系统的信号流图第三节形状方程和形状方程的建立第三节形状方程和形状方程的建立第四节形状方程的求解第四节形状方程的求解第五节由形状方程导出第五节由形状方程导出H(s)及系统稳定性讨论及系统稳定性讨论5.1引言引言系统函数的零、极点的分布情况决议了系统的时域、频系统函数的零、极点的分布情况决议了系统的时域、频域特性和稳定性等各类问题，无论是系统分析还是系统综合，域特性和稳定性等各类问题，无论是系统分析还是系统综合，都广泛运用到。都广泛运用到。局限性：系统函数只能针对零形

2、状呼应描画系统的外部局限性：系统函数只能针对零形状呼应描画系统的外部特性，不能反映系统的内部特性。特性，不能反映系统的内部特性。前面几章在进展系统分析时，只关怀系统的输入和输出前面几章在进展系统分析时，只关怀系统的输入和输出即鼓励和呼应的关系，它们的关系可用即鼓励和呼应的关系，它们的关系可用n阶微分方程的阶微分方程的方式表示，也可用系统函数或频响特性表示，这种系统描画方式表示，也可用系统函数或频响特性表示，这种系统描画方法称为输入输出法。方法称为输入输出法。 H s当只需求了解少数几个输出变量时，采用输入输出法当只需求了解少数几个输出变量时，采用输入输出法比较适宜。比较适宜。当需求研讨系统内部

3、的一些变量，以使系统的构造和参当需求研讨系统内部的一些变量，以使系统的构造和参数到达优化时，需求对系统的内部形状进展描画，应采用内数到达优化时，需求对系统的内部形状进展描画，应采用内部描画法形状变量法。部描画法形状变量法。形状变量法是用形状变量法是用n个形状变量的一阶微分或差分方程个形状变量的一阶微分或差分方程组来描画系统。它主要具有以下几个优点：组来描画系统。它主要具有以下几个优点：(1)提供了系统的内部特性以便研讨；提供了系统的内部特性以便研讨；(2)用一阶微分或差分方程组描画系统，便于计算机进展数用一阶微分或差分方程组描画系统，便于计算机进展数值计算；值计算；(3)用矢量和矩阵来表示系统

4、的数学模型，特别适用于多输用矢量和矩阵来表示系统的数学模型，特别适用于多输入多输出的系统；入多输出的系统；(4)此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等此方法同样适用于时变系统、非线性系统、随机系统等各类系统。各类系统。5.2 LTI系统的信号流图系统的信号流图系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描画系统的信号流图是一种与模拟方框图类似的，比数学描画更直观的描画方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示更直观的描画方法。与模拟方框图相比较，信号流图的表示更简约明了，且对系统函数的计算明显简化。更简约明了，且对系统函数的计算明显简化。1.信号流图信号流图信号流图是用一些点和有向线

5、段作图来描画系统各变量间信号流图是用一些点和有向线段作图来描画系统各变量间的因果关系，如下图的简一方框图，画成信号流图方式就是的因果关系，如下图的简一方框图，画成信号流图方式就是用一条有始有终的线段表示；起始点标为，终点标为用一条有始有终的线段表示；起始点标为，终点标为，这种点称为结点节点。，这种点称为结点节点。 X s Y sH(s)X(s)Y(s)H(s)X(s)Y(s)方框图方框图流图流图P286 每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配每个结点都对应于一个变量或信号，结点可起求和与分配的作用；的作用； 衔接两个结点的有向线段称为支路；衔接两个结点的有向线段称为支路； 箭头表示

6、信号传输的方向；箭头表示信号传输的方向； 两结点之间的系统函数转移函数就标注在箭头附近，两结点之间的系统函数转移函数就标注在箭头附近，所以每条支路相当于乘法器。所以每条支路相当于乘法器。H(s)X(s)Y(s)一个结点可以有多个信号输入，而且可以向不同方向输一个结点可以有多个信号输入，而且可以向不同方向输出。出。如下图，如下图，结点有三个输入，一个输出，它起了加法器的作用，即结点有三个输入，一个输出，它起了加法器的作用，即将三个输入信号求和后再输出；将三个输入信号求和后再输出；结点有两个输入，三个输出，它既有求和的作用，又有结点有两个输入，三个输出，它既有求和的作用，又有信号分配的作用。信号分

7、配的作用。2x4x 仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点或输入仅有输出支路，而无输入支路的节点称为源点或输入结点，如图中的。结点，如图中的。 仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点或输出仅有输入支路，而无输出支路的结点称为汇点或输出结点，如图中的。结点，如图中的。 既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图既有输入支路又有输出支路的结点称为混合结点，如图中的、和。中的、和。1x5x2x3x4xP289 从任一结点出发沿支路箭头方向延续经过各相连的不同从任一结点出发沿支路箭头方向延续经过各相连的不同的支路和结点，到达另一结点的途径称为通路。的支路和结点，到达另一结点的途径称为通路。

8、假设通路与任一结点相遇不多于一次，那么称为开通路。假设通路与任一结点相遇不多于一次，那么称为开通路。如图中如图中 和和 假设通路的终点就是通路的起点，且与其他任何结点相假设通路的终点就是通路的起点，且与其他任何结点相交不多于一次，那么称为闭通路或回路、环路。如图中交不多于一次，那么称为闭通路或回路、环路。如图中 和和 等。等。112345abcxxxxx 423faxxx 232aexxx 2342abfxxxx 只需一个结点和一条支路的回路称为自回路或自环。只需一个结点和一条支路的回路称为自回路或自环。如图中。如图中。 相互无公共结点的回路称为互不接触回路。如图中相互无公共结点的回路称为互不

9、接触回路。如图中和和 两个回路互不接触。两个回路互不接触。 回路中一切各支路回路中一切各支路“增益即转移函数的乘积称为回路增增益即转移函数的乘积称为回路增益。益。232aexxx 44gxx 44gxx 从源点到汇点的开通路称为前向通路。从源点到汇点的开通路称为前向通路。 如图中如图中 和和 都是前向通路。都是前向通路。 前向通路中一切各支路转移函数的乘积称为前向通路增前向通路中一切各支路转移函数的乘积称为前向通路增益。益。112345abcxxxxx 11235adxxxx 2.信号流图的性质和化简规那么信号流图的性质和化简规那么在运用信号流图时，应该遵照其根本性质，即：在运用信号流图时，应

10、该遵照其根本性质，即：a. 支路表示了一个信号与另一个信号的函数关系，如图支路表示了一个信号与另一个信号的函数关系，如图中中 与与 之间就是经过转移函数之间就是经过转移函数 来联络起来的。来联络起来的。支支路完成增益转移功能，相当于路完成增益转移功能，相当于“乘法器。信号只能沿乘法器。信号只能沿支支路箭头方向传输。路箭头方向传输。b. 当结点有多个输入时，该结点将一切输入支路的信号当结点有多个输入时，该结点将一切输入支路的信号叠加，并把总和信号传输给一切与该结点相连的输出支路，叠加，并把总和信号传输给一切与该结点相连的输出支路，如图中的结点和等。也就是说，结点完成输入求和与分如图中的结点和等。

11、也就是说，结点完成输入求和与分路输出功能，相当于路输出功能，相当于“加法器。加法器。 Y s X s H s2x4xH(s)X(s)Y(s)P289c. 具有输入和输出支路的混合结点，经过添加一个具有具有输入和输出支路的混合结点，经过添加一个具有单位传输的支路，可将它变成输出结点来处置。如下图，和单位传输的支路，可将它变成输出结点来处置。如下图，和实践上是同一个结点，但分成两个结点以后，就成了只需实践上是同一个结点，但分成两个结点以后，就成了只需输入支路的输出结点，而是既有输入又有输出的混合结点。输入支路的输出结点，而是既有输入又有输出的混合结点。d. 对于给定的系统，信号流图的方式不是独一的

12、。对于给定的系统，信号流图的方式不是独一的。信号流图的前两条性质信号流图的前两条性质a和和b本质上表征了信号流图的线性本质上表征了信号流图的线性性质。描画性质。描画LTI系统的微分或差分方程，经拉氏变换系统的微分或差分方程，经拉氏变换或或Z变换后是线性代数方程，而信号流图所描画的正是变换后是线性代数方程，而信号流图所描画的正是这类线性代数方程或方程组。这类线性代数方程或方程组。4x4x4x4xl例题知某一阶系统的微分方程为例题知某一阶系统的微分方程为l试画出该系统的信号流图。试画出该系统的信号流图。l解：解：l通常将表示输入信号的结点放在流图的最左端，通常将表示输入信号的结点放在流图的最左端，

13、将表示输出信号的结点放在流图的最右端。将表示输出信号的结点放在流图的最右端。l将微分方程中的最高阶导数项留在方程的左侧，将微分方程中的最高阶导数项留在方程的左侧，其他项放在方程的右侧，那么上式可写成其他项放在方程的右侧，那么上式可写成l 00dy ta y tb x tdt x t y t y t 00dy tb x ta y tdt方程两边积分一次，即可得输出。由此可见，方程两边积分一次，即可得输出。由此可见， 是是先将先将 和和 相加，再将此和信号积分即可，故可得相加，再将此和信号积分即可，故可得如下图的信号流图，图中算子符号是表示积分，如下图的信号流图，图中算子符号是表示积分，即即 ，相

14、应的，是微分算子符号，即。，相应的，是微分算子符号，即。 00dy tb x ta y tdt y t y t 0b x t 0a y t1p 1tpdtpdpdt 00y tb x ta y tdt实践上，以下图也是微分方程的信号流图。实践上，以下图也是微分方程的信号流图。由此可见，同一个系统可有多种不同方式的信号流图，与由此可见，同一个系统可有多种不同方式的信号流图，与系统的方框图一样，它们是不独一的。系统的方框图一样，它们是不独一的。例例11-13假设一阶系统的微分方程改为假设一阶系统的微分方程改为那么按照上述原那么，可将原微分方程调整为那么按照上述原那么，可将原微分方程调整为两边积分，

15、可得两边积分，可得可见是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是可见是加法器的输出信号，而加法器的输入信号是和，而后者又是积分器的输出信号，这和，而后者又是积分器的输出信号，这个积分器的输入是。个积分器的输入是。画出信号流图如下图。画出信号流图如下图。 010dy tdx ta y tbb x tdtdt 100dy tdx tbb x ta y tdtdt 100y tb x tb x ta y tdt y t 00b x ta y tdt 1b x t 00b x ta y tP289可以验证以下图所示的信号流图也完全满足该系统的微分可以验证以下图所示的信号流图也完全满足该系统的微分方程式，

16、所以它也是该系统微分方程的信号流图。方程式，所以它也是该系统微分方程的信号流图。 100y tb x tb x ta y tdt假设将式假设将式 与与两边取拉氏变换，那么两边取拉氏变换，那么 ， ，那么其信号流图描画的是关于的代数方程，只需，那么其信号流图描画的是关于的代数方程，只需将将图中的图中的 改为改为 ，一切变量均改为的函数即可。，一切变量均改为的函数即可。 00dy ta y tb x tdt 010dy tdx ta y tbb x tdtdt x tX s y tY s11pspss1p1sst信号流图可按代数规那么进展化简或变换。其根本规那么信号流图可按代数规那么进展化简或变换

17、。其根本规那么是：是：a. 串联支路：两条增益分别以串联支路：两条增益分别以a和和b的支路相串联，可合的支路相串联，可合并为一条增益为并为一条增益为ab的支路，同时消去中间结点，如下图。这的支路，同时消去中间结点，如下图。这是由于，故有是由于，故有b.并联支路：两条增益分别为并联支路：两条增益分别为a和和b的支路相并联，可合并的支路相并联，可合并为一条增益为的支路，如下图。所以，有为一条增益为的支路，如下图。所以，有21xax32xbx31xabxab21xab xP291c. 混合结点的消除：两条分别从结点和出发的、增混合结点的消除：两条分别从结点和出发的、增益分别为益分别为a和和b的支路相

18、交于混合结点，且和的支路增的支路相交于混合结点，且和的支路增益为益为c，那么混合结点可按以下图方式消掉。，那么混合结点可按以下图方式消掉。这是由于这是由于1x2x3x3x4x431212xcxc axbxacxbcxd. 自环的消除：如下图，一条自环的消除：如下图，一条 的通路，假设至的通路，假设至的支路增益为的支路增益为a，至的支路增益为，至的支路增益为b，至的支路增益，至的支路增益为为c，那么可化简成至的支路增益为，那么可化简成至的支路增益为ab，在处有增益，在处有增益为为bc的自环，如下图。的自环，如下图。123x x x1x2x2x3x3x2x1x3x3x进一步可消去自环，至的增益为。

19、进一步可消去自环，至的增益为。这是由于，而这是由于，而所以，那么所以，那么按照以上根本规那么，可将一个复杂的信号流图加以简化，按照以上根本规那么，可将一个复杂的信号流图加以简化，使之只剩下一个源点对应系统的输入鼓励信号和一个汇使之只剩下一个源点对应系统的输入鼓励信号和一个汇点对应系统的输出呼应信号，从而系统的点对应系统的输出呼应信号，从而系统的系统函数转移函数即可确定下来。系统函数转移函数即可确定下来。1x3x1abbc32xbx213xaxcx3213xbxabxbcx311abxxbcl例题利用信号流图的代数运算规那么，化简如下图信号例题利用信号流图的代数运算规那么，化简如下图信号l流图，

20、并求系统函数。流图，并求系统函数。l解解:(1)串结合并，消去结点所谓简化就是将中间结点串结合并，消去结点所谓简化就是将中间结点消掉，得图消掉，得图l4x(2)串结合并，消去结点，得图串结合并，消去结点，得图(3)先合并并联支路，再合并串联先合并并联支路，再合并串联支路，消去中间结点，得图支路，消去中间结点，得图(4)先消自环，再串结合并，消去先消自环，再串结合并，消去中间结点，得图中间结点，得图由此可得系统函数为由此可得系统函数为3x2x5x611af bdcxHxedf阐明：阐明：a.实践上，上例信号实践上，上例信号流图所描画的方程是流图所描画的方程是联立求解后，可得，结果完全同上。联立求

21、解后，可得，结果完全同上。b.化简信号流图的详细步骤可不同，但最终结果必一样。化简信号流图的详细步骤可不同，但最终结果必一样。即不同构造的框图可实现同一功能。即不同构造的框图可实现同一功能。325xbxex21xax423xcxdx54xfx65xx61xHx3.信号流图的信号流图的Mason梅逊公式梅逊公式用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较用化简信号流图的方法求系统输入输出间的系统函数比较复杂。假设利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号复杂。假设利用梅逊公式可直接由初始的、未经化简的信号流图很方便地求得输入输出间的系统函数。流图很方便地求得输入输出间的系统函数。梅逊公式为

22、梅逊公式为式中：式中：称为信号流图的特征行列式；是一切不同环路的增益称为信号流图的特征行列式；是一切不同环路的增益之和；是一切两两互不接触环路的增益乘积之和；之和；是一切两两互不接触环路的增益乘积之和；是一切三个互不接触环路的增益乘积之和；是一切三个互不接触环路的增益乘积之和；1kkkHg, ,1abcdefab cd e fLL LL L L aaL,bcb cL L, ,defd e fL L LP293 式中的是表示由源点到汇点之间第条前向通路的标号；式中的是表示由源点到汇点之间第条前向通路的标号； 是由源点到汇点之间第条前向通路的增益；是由源点到汇点之间第条前向通路的增益； 称为第条前

23、向通路特征行列式的余因子，它是除去与称为第条前向通路特征行列式的余因子，它是除去与第条前向通路相接触的环路后，余下的特征行列式。第条前向通路相接触的环路后，余下的特征行列式。1kkkHgkkkkgkkkl例题用例题用Mason公式求如图公式求如图l 所示系统的系统函数。所示系统的系统函数。l解：信号流图中只需一个环路，解：信号流图中只需一个环路，l另外，本图中有两条前向通路，且另外，本图中有两条前向通路，且l1aaLLefd1111aaLLefd 1gabdf2gacf121 21111kkkkkHggabdfacfefd 例例11-15用梅森公式求如下图系统的系统函数。用梅森公式求如下图系统

24、的系统函数。P294XY1H2H11X2X3X4X3H3G4H1G4G求环路求环路112122LXXXH G 234333LXXXH G 34444LXYXH G 4123412341LXXXXYXH H H G 两两互不两两互不接触回路接触回路解：求流图的特征行列式解：求流图的特征行列式 2233442341223322441H GH GH GH H H GH G H GH G H G 前向通路只需一条，所以：前向通路只需一条，所以：11234gH H H H1100 所以，系统的转移函数为：所以，系统的转移函数为： 12342233442341223322441H H H HHH GH G

25、H GH H H GH G H GH G H G例例11-16求此流图的转移函数。求此流图的转移函数。XY1H2H1X2X3X4X3H5H1G2G4H6H7H求环路求环路134341LXXXH G 2212722LXYXXH G H 313416452LXXXYXH H H G 41234123452LXXXXYXH H H H G 解：求流图的特征行列式解：求流图的特征行列式两两互不两两互不接触回路接触回路41722645223452247121H GH G HH H H GH H H H GH H H GG 前向通路共有三条前向通路共有三条第一条第一条1234XXXXXY112345gH

26、H H H H没有与第一条通路互不接触的环路没有与第一条通路互不接触的环路11 第二条第二条134XXXXY21645gH H H H没有与第二条通路互不接触的环路没有与第二条通路互不接触的环路21 第三条第三条12XXXY3127gH H H与第三条通路互不接触的环路是与第三条通路互不接触的环路是L13411H G 12345164512741417226452234522471211H H H H HH H H HH H HH GHH GH G HH H H GH H H H GH H H GGXY1H2H1X2X3X4X3H5H1G2G4H6H7H5.3形状方程和形状方程的建立形状方程和

27、形状方程的建立1.形状变量与形状方程形状变量与形状方程为建立形状变量的概念，先来看一个简单的为建立形状变量的概念，先来看一个简单的RLC串联电路，串联电路，如图，假设以电容如图，假设以电容C两端的电压两端的电压 作为输出，作为输出， 作为输作为输入，那么外部法可用一个二阶常微分方程来描画此电路：入，那么外部法可用一个二阶常微分方程来描画此电路： Cut e t LCCditLRitute tdt 22CCCd utdutLCRCute tdtdt即即此时，我们只关怀输出变量此时，我们只关怀输出变量与输入变量之间的关系，而与输入变量之间的关系，而并未关注电路内部其他变量并未关注电路内部其他变量如

28、等变化情况，这如等变化情况，这就是输入输出描画法。就是输入输出描画法。 Lit CLCdutititCdt对于此电路，假设我们感兴趣的不仅对于此电路，假设我们感兴趣的不仅仅是电容仅是电容C两端的电压，还需求两端的电压，还需求了解在鼓励作用下的电感电流的变化情况，这时根了解在鼓励作用下的电感电流的变化情况，这时根据据KVL和和VAR可以列出方程可以列出方程这是以和这是以和 作为变量的一阶微分方程组。对于电路，作为变量的一阶微分方程组。对于电路，我们只需知道及的初始值及的输入值，上我们只需知道及的初始值及的输入值，上述联立方程就可完全确定电路的全部行为。这种用一阶微分述联立方程就可完全确定电路的全

29、部行为。这种用一阶微分方程组来描画动态系统的方法称为系统的形状方程组来描画动态系统的方法称为系统的形状变量法。其中的和就是电路的形状变变量法。其中的和就是电路的形状变量，方程组即为形状方程。量，方程组即为形状方程。 LCCditLRitute tdt CLdutCitdt Cut e t Lit Lit Cut Lit Cut0tt e t Lit Cut在形状变量法中，将形状方程以矢量和矩阵方式表示，于在形状变量法中，将形状方程以矢量和矩阵方式表示，于是有是有 LCCditLRitute tdt CLdutCitdt 11100LLCCditRitdtLLe tLutdutCdt 这种矩阵方

30、式的形状方程描画了系统形状变量的一阶导数这种矩阵方式的形状方程描画了系统形状变量的一阶导数与形状变量和鼓励的关系。而通常电路的输出信号能够由假与形状变量和鼓励的关系。而通常电路的输出信号能够由假设干个形状变量以及输入信号的作用组合而成，故还需求列设干个形状变量以及输入信号的作用组合而成，故还需求列写写“输出方程，它描画了输出与形状变量和鼓励之间的关输出方程，它描画了输出与形状变量和鼓励之间的关系。对于此电路，由于只需一个输出信号，故输出方程的矩系。对于此电路，由于只需一个输出信号，故输出方程的矩阵方式非常简单，可写为阵方式非常简单，可写为当系统的阶次较高，那么形状变量的数目较多，或者当系当系统

31、的阶次较高，那么形状变量的数目较多，或者当系统具有多输入多输出信号时，描画系统的形状方程和输出统具有多输入多输出信号时，描画系统的形状方程和输出方程仍具有上几式的方式，只是矢量或矩阵的维数有所添加。方程仍具有上几式的方式，只是矢量或矩阵的维数有所添加。 01LCitr tut系统形状变量法中几个常用的名词定义：系统形状变量法中几个常用的名词定义：形状即系统的过去、如今和未来的情况。而系统的形状是形状即系统的过去、如今和未来的情况。而系统的形状是由一组变量来描画的，形状变量就是这样一组变量。由一组变量来描画的，形状变量就是这样一组变量。形状变量是指可确定系统形状的，且个数最少设为形状变量是指可确

32、定系统形状的，且个数最少设为n的一组变量，只需知道时的这组变量和时的输入鼓的一组变量，只需知道时的这组变量和时的输入鼓励，就可完全确定系统恣意时辰的行为。励，就可完全确定系统恣意时辰的行为。形状向量矢量、矩阵假设系统有形状向量矢量、矩阵假设系统有n个形状变量，个形状变量，那么用这，那么用这n个形状变量作为分量所构成的向量个形状变量作为分量所构成的向量就称为形状向量。以形状变量就称为形状向量。以形状变量为坐标轴所构成的为坐标轴所构成的n维空间，称为形状空间。维空间，称为形状空间。0tt0tt0tt it1,2,in 12Tntttt 12,nttt形状方程它是用形状变量和鼓励表示的一组独立的一阶

33、微形状方程它是用形状变量和鼓励表示的一组独立的一阶微分方程，可用如下的矩阵方式表示分方程，可用如下的矩阵方式表示输出方程它是用形状变量和鼓励表示的代数方程组，描画输出方程它是用形状变量和鼓励表示的代数方程组，描画了系统的输出与形状变量和鼓励的关系，其矩阵方式为了系统的输出与形状变量和鼓励的关系，其矩阵方式为通常将形状方程和输出方程总称为系统方程或系统的形状空通常将形状方程和输出方程总称为系统方程或系统的形状空间表达式。在间表达式。在LTI系统中，形状方程和输出方程是形状变量系统中，形状方程和输出方程是形状变量和输入信号的线性组合，故和输入信号的线性组合，故 均为系数矩阵。均为系数矩阵。 dtA

34、tBe tdt系统矩阵系统矩阵形状矩阵形状矩阵输入矩阵输入矩阵控制矩阵控制矩阵 r tCtDe t ,ABCD2.形状方程的建立形状方程的建立对给定系统建立形状方程的方法有很多，大体上可分为两对给定系统建立形状方程的方法有很多，大体上可分为两大类：直接法和间接法。其中，直接法主要运用于电路系统大类：直接法和间接法。其中，直接法主要运用于电路系统分析、滤波器等电网络的计算机辅助设计，而间接法那么常分析、滤波器等电网络的计算机辅助设计，而间接法那么常用于控制系统的分析研讨。用于控制系统的分析研讨。直接法：由电路图建立形状方程。直接法：由电路图建立形状方程。为建立形状方程，首先要选择形状变量。在电网络中，常为建立形状方程，首先要选择形状变量。在电网络中，常取独立的与为形状变量，这样便于用取独立的与为形状变量，这样便于用KCL和和KVL列出形状方程。列出形状方程。 Cut Lit it所谓所谓“独立是指无纯电容电压源回路及无纯电感电独立是指无纯电容电压源回路及无纯电感电流源节点。以下图是一纯电容电压源回路。显然，根据流源节