正态分布原理

1、正态分布（一）正态分布正态分布的概率密度如果连续型随机变量二的概率密度为1e*"，(4.29)其中一八：- 一二,则称随机变量 芒服从参数为1的正态分布，记作正态分布的数学期望和方差D（J0 = /正态分布的图形有如下性质 ：1. 它是一条以直线丫二Q为对称轴的钟形曲线;2. 它以横轴为渐近线，并且在 :n处有拐点;3. 它在1=1处取得最大值，最大值为:由此可见，标准差 二越大，的图形就越平缓，标准差 二越小，门的图形就越陡 峭。正态分布的分布函数-OO < J < + 130（二）标准正态分布标准正态分布的概率密度参数I , 一： 一的正态分布，称为标准正态分布，记为

2、-;.1。标准正态 分布的概率密度通常用 I表示,(4.31)I的图形如图4 .12所示，它是一条以纵轴为对称轴的钟形曲线。图4.12标准正态分布概率密度函数标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数通常用匚表示,图4.13标准正态分布函数标准正态分布函数表对于非负的实数工，可由标准正态分布函数表，直接查出江；-：的数值。对于负的实数?；，根据标准正态分布的对称性，可由下式J '（4.33）计算出数值。标准正态分布分位数设随机变量工服从标准正态分布，对于给定的概率水平“V ：'；，满足等式（4.34）的正数°一，称为标准正态分布的左水平的双侧分位数；满足等式的正数亠

3、，称为标准正态分布的X水平的上侧分位数。图4.14正态分布双侧分位数例4.21假设-' X，求下列概率:4 巴班隘 1)；-1)；3.只心5) ；4.只-2盒才艺习。解4巩班勺)也!貓口2 TX< -1) - <P(-1> 1 - 0<1) - 1 - 0.M 13 - 0.15 873' _ 1' ' L . V ' I1 :.片4 .' -< - < . .' <:-' - /-匸= M(2)- 1= 2x113772-1=0.9544(三)正态分布与标准正态分布的关系如果'&

4、#39;'1 ，则4戶SHtr于是，在正态分布与标准正态分布的概率密度J ；和"- 分布函数/W 二丄 0b'和.之间存在下列关系式：1.(4.36)2.(4.37)3.(4.38)这就是说，计算任一正态分布随机变量的概率都能通过标准正态分布来实 现。例4.22设''| -，求下列概率:兰二上抑(0)解因为- - 4 ，所以二0P(_X<6) = r = = <PC1) = O E413=一帆一 3)= 0.8413-(1-0'.87) = 0.8413- 01.0013 = 0.3400例4.23设；1 -'/'-

5、'v，求下列概率:1. Hin 如2. hi産-川兰站)3. 刊忆-川站b)解1I口丿V.口丿2tP( 1)-1-2x0.34131-0.8262. 工b丿 '灯丿-0)(2) -®(-2)1-2x0.9772-1-0 35+4P JT-/J |<3ct)=F(p-3j <T</j + 3o-)=肛/(口十彳小一理)_口(3 _%)_左3. I口丿i口= di(3)-tf3(-3)=M(3)-l = 2xO gP87-l=O.9ST74从上面的结果可以看出，事件；'的概率很小，因此 疋的取值 几乎全部落在区间-：lr -内，超出这个范围的可能

6、性还不到' -，：/：。这就是在产品质量控制中有重要应用的准则。(四)正态分布的应用正态分布在概率论和统计学的研究及应用中具有极其重要的作用，它在各 种概率分布中居首要地位，是抽样和抽样分布的理论基础。这是因为：1.客观世界的许多现象都可以利用正态分布来近似地描述其统计规律性。 例如，人的身高和体重，电子产品的使用寿命，原材料的物理特性，各种各样 的测量误差 都可以看作是具有“两头小，中间大”分布特征的随机变 量。具有这种特征的随机变量，一般可以认为是近似服从正态分布的。2. 正态分布是许多重要分布的极限分布。例如可以用正态分布来近似二项 分布。3. 正态分布在统计推断中有重要的应用。例如 ，分布，分布和F分布 都是服从正态分布的随机变量的函数。二项分布的正态近似德莫佛一拉普拉斯定理 设随机变量匸服从参数为耳，匸的二项分布，那么，当：充分大时，£近似服从参数为.二呼，一r.的正态分布"。也就是说，当二充分大时，匚 "近似服从标准在实际应用中，除要求比较大外，还要求1 ' '''和1 一。例4.24假设产品的优质品率为30 %。试求在1000件产品中，优质品件 数在280件和350件之间的概率。解设芒表示在1000件产品中优质品的件数，则 M服从参数为，'的二项分布八-1。根据