泛函分析的应用

1、现代数学基础学习报告泛函分析应用院系：专业：导师：姓名：学号：摘要信号与系统的泛函分析是以泛函理论为工具描述和研究信号与系统特性的近代分析方法。这种方法可使信号与系统的表示更加抽象与概括,并使连续与离散、时域与频域、分析与综合达到统一,从而在信号与系统学科中得到了日益广泛的应用。本文仅就其基本理论及其在电路设计中的应用加以简要的介绍。本文将利用泛函分析中的度量空间的理论研究信号处理纠错的问题，首先介绍度量空间相关理论，然后举例分析其在信号纠错处理中的解决过程，通过应用泛函知识，使纠错过程变得更简便和概括。然后简单介绍泛函的理论知识，使其应用到求解最低功耗电源的设计中，结果表明应用泛函理论可以将

2、求解过程变得更加简便和清晰。1 .泛函分析介绍1.1 泛函分特点和内容1泛函分析是20 世纪 30 年代形成的数学分科，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函，算子和极限理论。它可以看作无限维向量空间的解析几何及数学分析。泛函分析在数学物理方程，概率论，计算数学等分科中都有应用，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具。泛函分析的特点是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且还把这些概念和方法几何化了。比如，不同类型的函数可以看作是“函数空间”的点或矢量，这样最后得到了“抽象空间”这个一般的概念。它既包

3、含了以前讨论过的几何对象，也包括了不同的函数空间。泛函分析对于研究现代物理学是一个有力的工具。n 维空间可以用来描述具有n 个自由度的力学系统的运动，实际上需要有新的数学工具来描述具有无穷多自由度的力学系统。比如梁的震动问题就是无穷多自由度力学系统的例子。一般来说，从质点力学过渡到连续介质力学，就要由有穷自由度系统过渡到无穷自由度系统。现代物理学中的量子场理论就属于无穷自由度系统。正如研究有穷自由度系统要求n 维空间的几何学和微积分学作为工具一样，研究无穷自由度的系统需要无穷维空间的几何学和分析学，这正是泛函分析的基本内容。因此，泛函分析也可以通俗的叫做无穷维空间的几何学和微积分学。古典分析中

4、的基本方法，也就是用线性的对象去逼近非线性的对象，完全可以运用到泛函分析这门学科中。泛函分析是分析数学中最“年轻”的分支，是古典分析观点的推广，综合函数论、几何和代数的观点研究无穷维向量空间上的函数、算子、和极限理论。他在二十世纪四十到五十年代就已经成为一门理论完备、内容丰富的数学学科了。半个多世纪来，泛函分析一方面以其他众多学科所提供的素材来提取自己研究的对象和某些研究手段，并形成了自己的许多重要分支，例如算子谱理论、巴拿赫代数、拓扑线性空间理论、广义函数论等等；另一方面，它也强有力地推动着其他不少分析学科的发展。它在微分方程、概率论、函数论、连续介质力学、量子物理、计算数学、控制论、最优化

5、理论等学科中都有重要的应用，还是建立群上调和分析理论的基本工具，也是研究无限个自由度物理系统的重要而自然的工具之一。今天，它的观点和方法已经渗入到不少工程技术性的学科之中，已成为近代分析的基础之一。泛函分析在数学物理方程、概率论、计算数学、连续介质力学、量子物理学等学科有着广泛的应用。近十几年来，泛函分析在工程技术方面有获得更为有效的应用。它还渗透到数学内部的各个分支中去，起着重要的作用。1.2 泛函的理论21.2.1 集合集合是泛函理论的基础，所以首先介绍集合。集合： 具有共同特征的元素汇到一起构成了集合。那么任意一类信号就可形成信号集。例如周期余弦表示成的周期余弦信号集为：连续时间信号可构

6、成连续时间空间，记作 CT 空间， 能量有限信号则可形成可积空间，记作等等。1.2.2 度量空间设 X是非空集合是二元函数，如果满足( 1)( 2)( 3)则称是 X上的一个度量，称(X，)为一个度量空间。例如在空间可定义如下度量：1.2.3 线性空间 对加减运算封闭的空间是线性空间。1.2.4 线性空间的维数如果 X 空间中有n 个向量无关且任何n+1 个向量都相关，那么我们称X 是 n 维的。1.2.5 赋范线性空间假设 X 是线性空间，设：是一个映射，若满足：(1)(2)(3)则称 为 X 上的一个范数，称 (X,)为赋范线性空间。并称为由范数导出的度量。1.2.6 线性算子设 X、 Y

7、 是线性空间，T： X Y 是映射，若都有(1)T(x+y)=Tx+Ty ；(2)T( x)= Tx则称 T 为从 X 到 Y 的一个线性算子。若Y=R 或 C，则称 T 是线性泛函。那么在信号处理中我们可以将线性系统可看作线性算子，冲激信号的取样特性可看作在 空间中的线性泛函。1.2.7 不动点设 X 是度量空间，T： X X 是映射，如果, 则称 为一个不动点。那么我们求得某个泛函导数的不动点也就求出了输出信号的极值。2 .课题介绍2.1 微型扑翼飞行器的相关概念目前的飞行器根据翼型运动方式的不同可以分为三类，分别为固定翼，旋翼和扑翼。其中固定翼和旋翼是两种常规飞行普遍采用的方式，两者都是

8、通过机翼产生升力，目前大多数的飞行器均采用以上两种方式，扑翼飞行器目前并不常见，但这种飞行方式被自然界中的鸟类和昆虫广泛所采用，被认为是生物进化的最优飞行方式，从仿生学角度讲，自然界进化淘汰后的结构才是最优选。它的升力产生机理与固定翼和旋翼有很大的不同。扑翼式飞行器的优势在于3-6 :（ 1）扑翼同时产生升力与推力，举升，悬停和推进功能集成于一个扑翼系统，具有较强的机动性和灵活性。（ 2）通过调整扑翼系统的扑动参数就可以灵活的改变飞行状态，从而可以省略部分控制面，大大简化结构，减轻机身重量。（ 3）微扑翼飞行器的扑翼可以在水平位置锁定,在高空进行翱翔以利用势能，故比起直升机的螺旋桨必须不停旋转

9、来说可以节省能量。（ 4）扑翼产生推力的效率高。理论研究表明，扑翼推进效率比常规推进系统的推进效率要高，最高可达85%。具有以上优点的扑翼飞行器非常适合微型飞行器。而且随着科技发展，原来困扰扑翼飞行器发展的强度，动力等问题已经可以得到较好的解决。微型扑翼飞行器开始成为研究热点之一。微型扑翼飞行器目前存在着一些缺点。（ 1）理论不够完整。按照传统的空气动力学理论,微型扑翼飞行器无法有效地利用空气的升力和阻力,因而就很难起飞。仿生扑翼动力学理论需要进一步研究。（ 2）机构设计复杂。鸟类和昆虫在飞行过程中翅膀并不是单纯的上下扑动,而是具有复杂的运动规律。真正实现鸟类或昆虫那样复杂的扑动方式,给机构设

10、计带来一定的难度。（ 3）动力、能耗要求比较高。微型扑翼飞行器要求外形较小、质量轻、驱动元件效率高、能耗少,因此对动力、能耗提出了相当高的要求。（ 4）飞行性能需进一步改善。目前微型扑翼飞行器还不能像昆虫或鸟类一样利用大气中的上升气流翱翔,实现自主飞行。所以，对于扑翼式飞行器的研究，存在着很多巨大的挑战。但是，通过学习泛函，用泛函的思想去考虑问题，定会客服一切理论和技术难题，使研究过程越来越清晰，最终设计符合社会发展和科技要求的扑翼式机器人。2.2 课题简单介绍介电弹性体驱动器作为一种人工肌肉驱动器，具有能量密度大、变形量大和效率高等优点，在航空、机器人和医疗等领域有广阔的应用前景。介电弹性体

11、薄膜通电时，在平面和厚度方向都有变形，利用不同方向的变形，可以制作不同类型的驱动器。应用于扑翼式机器人的介电弹性体驱动器至今在国内外还属于空白，并且介电弹性体变形需要几千伏的高压，而现有的高压控制电路多为面向高压送电计，不适合扑翼机器人采用。所设计的电路示意图如图1 所示7，该电路主要由输入电路、变压器功率转换电路、控制电路、反馈比较电路、负载电路六个主要电路组成。能够将直流电池3V 电压，升压至 2.5KV，带有负载电压监测功能，并且能实现输出和输入之间的隔离，有效的保护低压电路。图 1 输出 2.5KV 的高低压转换电路但是图 1 所实际的电路，最高只能达到4KV 的输出， 无法满足介电弹

12、性体材料的变形所需施加的电压，故通过分析讨论，得出一下的一款方案。该高压电源共由电源、电压逆变电路、 PWM 控制电路、变压器电路、倍压整流电路、EMI 滤波电路、保护电路电路、采样反馈电路和高压频率控制电路9 部分组成，电路转换流程如图2 所示。该高压电源的工作原理如下：由24V 直流电压输入，经过H 桥芯片 MAX13256 逆变为幅值为12V频率为 50KHz 的高频交流电，H 桥内部集成了MOSFET 开关管， 其控制通过PWM 芯片 TL494产生固定的PWM 波形来进行驱动，为了防止低频信号的干扰，在变压器变压过程中造成谐波影响和电磁损耗，经过高通滤波器之后，将低频的电流过滤掉之后

13、，交流电通过高频变压器进行升压，该变压器的匝数比为1:150，升压过后变为1800V的高频的高压电。由于负载需要的是直流电，此时高频的电流不能直接接到负载之上，需要进行整流滤波才可以接到负载上。因此在高频变压器之后要接倍压整流电路，在此处放置一个10 倍压的整图 2 电路转换流程图流电路，经过倍压之后达到至少5000V 的高压输出，通过选择倍压电路的输出时串联电容的个数，可以分五档输入下一环节。将倍压整流的高压接上频率控制电路，控制直流高压变为频率可调的矩形波，最后接负载。在输出端接电阻进行分压，采样得到的电压值通过差分比较器，通过比较后反馈回PWM 控制端，此时，一旦电压发生了一定幅度的波动

14、之后，就会使得芯片关断，对电路起到了过压的保护作用，过电流和过热的保护通过芯片内部的保护得到实现。该电路通过控制高压工作组的交替工作，来实现将输入的低压直流电转换到 5KV 以上的高压电，且频率1 到 50HZ 可调的高压交流电，电流小于2mA。以上电路方案是本人本科时期的毕业课题，而研究生的课题则围绕适用于扑翼式飞行器的高低压电源转换模块。由于飞行器的局限性，将会给电源的设计提供很大的挑战。同时，通过对泛函的学习和查阅相关资料，发现泛函理论和知识，能够很好的解决简单数学无法解决的问题，这将为扑翼飞行器携带电路的设计提供重要的设计思路。下面将从信号处理和低功耗电源设计两个方面浅谈泛函在电路设计

15、中的应用。3 .泛函分析在所做课题中应用3.1 度量空间在信号处理中的应用8-10在进行扑飞行器信息采集和处理的过程中，难免会出现处理错误，而泛函中的度量空间的理论，可以很好的解决这个问题。由 n 个二进制码元可组成个码组。码组集合表示为，那么我们可以将看做度量空间。采用海明定义码间度量为：式中，。这样，我们容易知道相同码组的度量为零，不同码组的度量至少为1。在信息的传输过程中为了提高传输的可靠性，可增加检验码，即加大码间度量，形成校验码。我们取n=3为例，那么码组集合中有8个元素，它的信息码和校验码如表1。在表中令，。 于是得到， 两列。 由图易知，仅增加后， 从 到 每个码组都有两个1 和

16、两个0， 且有。其中任意两个正常码组间的最小度量为2。如果，任意码组中发生一位错误码，其与相邻组的度量缩小为1，从而得到检验，故此得校验码。当增加后，任意两个正常码组见的最小度量为3，若有一组发生错误码，则其与原正确码间的度量为1，而与相邻码组间的度量为2，这样不仅得到了检验，而且便于纠正，故此为纠错码。表 1 信号码表信息码校验码00000001110101001101100101010111000111113.2 泛函在电源设计中的应用3.2.1 交叉理论任意信号可看作某个有限维空间内的一个点，由有限个数值表示，以便于分析处理。如果信号处于空间中的某个n 维子空间内， 且 由已知的基集生成

17、， 其中 为时间函数，则信号可表示为：式中，系数可以由内积公式求得。若基集为某个完备的归一化正交函数集，则有足够大的n 即可无限逼近信号。例如，若选取那么会得到的 Fourier 级数展开式。信号的极值问题就是优化某种信号波形，以使信号的某个泛函达到极值。而系统的极值问题就是优化系统算子，以使输出信号的某个泛函达到极值。3.2.2 设计耗能最小的充电电源设电路如图所示，其中电源电压为，电容电压为。不妨设，并将电源波形记做，其中上式表明电路具有约束条件。电源的耗能应为电阻的耗能与电容储能之和，将其作为泛函，即约束条件下寻求代入约束条件，可得要条件可得及，最后得耗能最小的电源电压为：结论信号与系统

18、的一般分析方法建立在普通函数的基础上,它以微分方程、积分变换和线性代数为手段,描述与研究信号的特征及系统的响应,数学逻辑严密,物理概念清晰,不失为较好的分析方法。但是 ,一般分析方法仍具有局限性,这就是:概念较为狭窄;方法不够概括;各种变换不能统一;综合问题比较困难等。泛函理论是本世纪发展起来的独立数学分支。它以集合论为基础,研究无穷维抽象空间内的函数集合、函数代数以及集合算子特性,是定量分析具有无穷自由度的一切事物的有力工具。信号与系统的广泛性与泛函理论的抽象性相结合,形成了更加严密而概括的分析方法,称为信号空间理论,或称信号与系统的泛函分析。这种方法将信号抽象为无穷维空间中的一个点,而将系

19、统抽象为算子,使信号与系统的表述更加概括与简便,从而得到广泛的应用。对于研究生做课题来说，泛函分析在理论研究部分可以提供很好的支持，有利于对电路进行有效设计开辟新思路，在其他领域也有很多地方等待探索和开发，将数学应用于工程实践在未来也必将成为一种趋势，通过计算机和经验分析无法解决的问题必将通过数学来进行最基础的理论研究，从而实现更高的精确度。认真学好应用泛函分析这一重要的课程可以使我们更好的掌握搞好科研的重要工具，从而以帮助自己更加顺利、更加高质量的完成研究生课题。虽然应用泛函分析课程教学已经结束，但是泛函分析在工程应用中的巨大潜力不觉明历，所以在今后的研究过程中，我将会不断学习，努力让自己揭开泛函所隐藏的巨大奥秘。在此，真心感谢秦老师的把我们领进泛函的世界。参考文献12 薛小平，孙立民，武立中。应用泛函分析：电子工业出版社。3 刘岚 . 微型扑翼飞行器的仿生翼设计技术研究J. 西安 : 西北工业大学, 2007.4 BETTERID. DS, Archer R D. STUDY OF MECHANICS OF FLAPPING