7-6.二阶常系数齐次线性微分方程ppt课件

1、二、线性微分方程的解的结构二、线性微分方程的解的结构1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构一、定一、定 义义三、二阶常系数齐次线性方程解法三、二阶常系数齐次线性方程解法7-6、7-7节节)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn n阶常系数线性微分方程的标准形式阶常系数线性微分方程的标准形式0(1)ypyqy二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数齐次线性方程的标准形式( )(2)ypyqyf x二阶常系数非齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式12(,.,nppp 为常数)(,p q为常数)()(

2、)(22xfyxQdxdyxPdxyd 时时，当当0)( xf二阶线性齐次微分方程二阶线性齐次微分方程时时，当当0)( xf二阶线性非齐次微分方程二阶线性非齐次微分方程二阶线性微分方程二阶线性微分方程1.1.二阶齐次方程解的结构二阶齐次方程解的结构: :问题问题: :一定是通解吗？一定是通解吗？2211yCyCy ( )( )0 (1)yP x yQ x y例如例如xx22sin,cos1，xxxeee2, ，线性无关线性无关,线性相关线性相关.时，时，当当),( x21230.xxxk ek ek e使即即 找不到不全为零的数找不到不全为零的数123,kkk能找到不全为零的数：能找到不全为零

3、的数：1231,1,kkk 221 cossin0.xx使特别地特别地: 若若在在 I 上上有有常常数数， )()(21xyxy则则函函数数)(1xy与与)(2xy在在 I 上上线线性性无无关关.例如例如 , 0 yy,sin,cos21xyxy 21tan,yxy且常数 通解为.sincos21xCxCy （特解）（特解）2.2.二阶非齐次线性方程的解的结构二阶非齐次线性方程的解的结构: :特征方程法特征方程法,rxey 设设0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr0 qyypy猜想该方程具有猜想该方程具有 形式的解，形式的解， rxye2,rxrxyreyr e将其代入

4、上方程将其代入上方程, 得得特征方程特征方程（1）为什么？为什么？,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 两个线性无关的特解两个线性无关的特解得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy (1) (1) 有两个不相等的实根有两个不相等的实根)0( 特征根为特征根为特征根特征根,2422,1qppr ,11xrey 已已知知为为方方程程的的两两个个特特解解xrey22 反之：反之：如如何何求求微微分分方方程程？为为特特征征方方程程的的根根21, rr0)(21 rrrr则则特特征征方方程程为为0)(21212 rrrrrr0)(2121 yrr

5、yrry微分方程为微分方程为,11xrey ,221prr (2)(2)有两个相等的实根有两个相等的实根)0( 一特解为一特解为得齐次方程的通解为得齐次方程的通解为;)(121xrexCCy 代入原方程并化简，代入原方程并化简，将将222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 则则,)(12xrexuy 设设另另一一特特解解为为特征根为特征根为见下页见下页12( ),rxyu x e1121,rxrxyueure11122112,rxrxrxyu eureur e0 qyypy代入方程代入方程1）此处学生自己做一下此处学生自己做一下

6、, 0)()2(1211 uqprrupru得得转见上页转见上页,1xrxey 已知已知为为方方程程的的一一个个特特解解反之：反之：如如何何求求微微分分方方程程？r1为 特 征 方 程 的 重 根 ,0)(21 rr则则特特征征方方程程为为022112 rrrr02211 yryry微微分分方方程程为为12,.riri()()12,.ixixyeye(3) (3) 有一对共轭复根有一对共轭复根)0( 特征根为特征根为欧拉公式：欧拉公式：cossiniei()1.ixxi xyee e cossinxex ix()2.ixxi xyee e cossinxex ix重新组合重新组合得齐次方程的通

7、解为得齐次方程的通解为).sincos(21xCxCeyx y112由T可知，,y 仍是方程 1 的解，1121cos2xyyyex2121sin2xyyyexi 122ycotxCTyy又，由 可知 是方程 1 的通解.二阶常系数齐次微分方程求通解二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤的一般步骤:（1写出相应的特征方程写出相应的特征方程;（2求出特征根求出特征根;（3根据特征根的不同情况根据特征根的不同情况,得到相应的通解得到相应的通解.(见下表见下表)02 qprr0 qyypy方程方程1）特征方程特征方程 记记 忆忆 ！定义：定义： 由常系数齐次线性方程的特征方程的根由常系数齐次线性方程

8、的特征方程的根确定其通解的方法称为确定其通解的方法称为-特征方程法特征方程法. .044的通解的通解求方程求方程 yyy解：解：特征方程为特征方程为,0442 rr解得解得122,rr 故所求通解为故所求通解为.)(221xexCCy 例例1 1.230yyy例2求微分方程的通解.312.xxyc ec e解:所给微分方程的特征方程为230,r2r121,rr 其根=3是两个不相等的实根，因此所求通解为:例例3.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解: 特征方程为：特征方程为：,0522 rr解得解得1 21 2 ,ri ，故故,所求通解所求通解为为).2sin2cos(21xCxCeyx

9、 一对共轭复根一对共轭复根例例4 求方程求方程 满足初始条件满足初始条件 的特解的特解.2220d sdssdtdt004,2ttss 解：所给方程的特征方程为解：所给方程的特征方程为0122 rr其根为其根为, 121 rr所求方程的通解为所求方程的通解为tetCCs )(210042ttss将条件，124,2CC代入得所求方程的特解为：所求方程的特解为：tets )24(22(4)tsCC t e 例例5 求方程求方程 的通解的通解.(4)250yyy解解:特征方程为特征方程为 , 052234 rrr解得根为解得根为021 rr和和.214 , 3ir 因此方程的通解为：因此方程的通解为：).2sin2cos(4321xCxCexCCyx 特征根为特征根为, 154321irrirrr 故所求通解为故所求通解为.sin)(cos)(