王明慈版概率论与数理统计习题五

1、习题五1.设抽样得到样本观测值为:计算样本均值、样本标准差、样本方差与样本二阶中心矩。“ 一1 一01解：x yxi + ；10 iP101r2 229；10)2X ；102x)2x9S . 10观测值x123456频数n15212520127100个样本观测值如下:2.设抽样得到解：由计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩。 书上127页（）（）（）式可知：1 区n100/i1 一61003.略6K xi14.从总体中抽取1(115 221325 42051267);1002x) n一、2x) n容量为92 15-(6 27;99100n的样本X1,X，a殳c为任意常数,k 为任意正数，作变

2、换Y k(X iC),i 1,2,.方差；Y及-c; (2) S kY2分别Y,，工2 Syx k2；其中X及S分别是,，Xn的样本均值及样本的样本均值及样本方差。Xi i ck2 1 S2nS 1(YY)2kX2kc1 n - 才 钠kXi2. S S2kX1 n口Xi一)2Xn iikSX5.从总体中抽取两组样本，其容量分别为n1及n2 ,设两组的样本均值分别为-X1-及X样本方差分别 2及2 ,把这两组样本合并为一组容量n1n2的联合样本。 为为证明：（1）.联合样本的样本均值Xn1X 1n2rh n2（2）.联合样本的样本方差s2 n11n2 18n1 n2 1叫 n2X1 X2n1

3、n2 nl n2 1证明：（1）SumSumn2X2Sm1n1X_1n2 JXS2(2)Sum 2n1 n2r n2n? X1 i X)2nE_ (X2i71n1 n2 1X)2nnB1一兄X)2工X2i11i1x2x2 X )2n1 n2 1n又工(Xi-1-1 一)22X1i2 -/XXX2/ X1 XX1 XX21i 1()2-2n1X1 X同理 X 2i ，一2一）2i1 X XXX2n212 Sn2X 2 x而n1 X1 打2 n2X2 X-2n1 2 2 X1X X2n2 X2 X2XX2X12n1X12 2 nX1X n1X2 n2X2 2 eX2XeX2n1X 1rtX2Xni

4、 n221 -11 -2XX n X nnX 1r n2n1 n222 21 2 _J1XX nn X 2 n2Xn X2n2 X-n1 n2n1国化简得 _2n1n2X1 X2n n2q2n1 1s 一S2n212 s2n1 n2 12n1 n2X1 X2n1n2 nl n2 11),求随机变6 设随机变量 X,Y,Z相互独立，都服从标准正态布 N. 0, 量函数2 22的分布函数与概率密度；并验证 定理1=3时成立，即 LKU X Y Z当k2 3显然解：X, Y, Z相互独立且都服从N(Q1),则UU3P 23,O22312-2U0不然，直接求U的分布函数222X 2 Y 2 Z 2 i

5、/ /f ,X, zdxdydzy z 4k1MTy z 啕yf zdxdydz0, P Uuzdxdydz2 .服从自由度为（1, k）利用三重积分的性质（略）也可得到结论。7.设随机变量X服从自由度为k的t分布，证明：随机变量YX的F分布。k,则可将X记为X U,睥 U N(0,1),2 U22 1,UVHF,其中 U2k kF分布的定义知= 2 -F（1k).8.设随机变量 X服从自由度为 I,卜2的F分布,证明：随机变量Y,服从自由度为Xk1, k2的F分布;从而证明等式（）:ki证明：X Fk1,k2,则 X其中U 可写成kVk2Vk2由 F 分布定知Y Fk2, kiPX F k1

6、k21c11,P1X Fki,k21(1)k1, k2 PY Fk1,k2*2,k1F1即F K,1Fk2,k1(2)1P1X1_29.设总体X服从正态分布N ,52(1)从总体中抽取容量为 64的样本，求样本均值X与总体均值之差的绝对值小于的概率PX1；(2)抽取样本容量n多大时,才能使概率X-1达到X解：(1)N0,1P1X164: 64 , 648 828 1510.从正态总体(1)已知(2)未知10解：(1) PJXiP lnX-、.nn96中抽取容量为10的样本 Xi, X2，Xio ,10VX 2 N的概率。 fi10求工(Xi1102的概率。P210原式P 210当610(2)

7、P( XX)21 i1 10又一2EXi1;)2原式=P 291211.设总X50,6 ,总体体 N从总体Y中抽取容量为8的样本,10 1JX4(P133,定理 3)1 10P2 XiX)229(定理4P133)2946,求下列概率:142 ,从总体X中抽取容量为10的样本，解:(1)P0 XY8S2P ySy2(1) P0 XY- -8P0 50 46CY50 468 50 46 PN0,1有136知，定理662 4210 8原式XY50 464T6242 10(2)2Sx-P 2Sy6S2Sy442622SL又由P139,学 F10 1,s42原式F9,1F9,7112.设总 体 X N抽

8、取样本样本均值为XiXn,样本方差为X再抽取一个样本Xn 1证明:统计量_n XXn1XXn1相互独立。证明：Xn1N,2, X Nn 1Xni X Non113.设总体(1)n Xn1 Xn1 S-n Xn1 n 10, 11n1 nXXn 1 X XSS2Xn1 XXn1n1P133 Th4ntn 1SnX8, N22 ,抽取样本X1, X2，X10 ,求下列概率:PmaxX1, X2，,X1010Pmin X1, X2, Xo5解：(1)Pmax X1, X2，,X1010= 1 PmaxX1, X2，,X101010101010 81 PX1 10, X2 10,X101 PX1 10PX2 10 PX10101 1110(2) Pmin X1, X2，,X10 41Pmin X1, X2，,X1051 PXi 5, X2 5, , X10 5101 PiPXi 51 P(Xi105 8101 1 11014.设总体 X服从泊松分布 P,抽取样本 X1,X，求:n(1) 样本均值的期望与方差;(2) 样本均值 3 的概率分布。解：(1)1 t , 7tXiLn i1n i1_1,、，1DX 2 ypX 2 nYX1X2XnP= Pnn个一 Y-则、PYy(nen , y0,1,2,XP Xnny!1