高数练习题及标准答案

1、高等数学(下)模拟试卷一、填空题(每空3分，共15分)z 11(1)函数y J _ _c_c_x2y 3x 2e的特解y的形式为y y的定义域为,y zz arctan (2)已知函数x,则 x 2 2ydy 2 f (x, y) dx(3)交换积分次序，0 ' y2 ' '" =已知L是连接(0,1) ,(1,0)两点的直线段，则l(X y)ds(5)已知微分方程y 2y 3y °,则其通解为 、选择题(每空3分,(1)A.x 3y 设直线L为2x y L平行于共15分)2z 1 010z 3B. L在(2)( )A.dx dy是由方程xyzB.

2、dx-2dy为 4x 2y z 2 0C. L垂直于z2 日确定，则在点C &dx 缶yD. L与斜交(1,0, D 处的 dz22(3)已知 是由曲面4z 25(x 在柱面坐标系下化成三次积分为(y2)及平面D.dx(x2)dvA. 02 3 5r dr dzC.2r3dr055 dz2(4)已知骞级数,则其收敛半径臼A.B. 1z 5所围成的闭区域,B. 04r3dr05dz0D.2r2dr5dz01C. 2D.(5)微分方程y3y得分阅卷人A.D (ax b) cxexB (ax b)xexC.(ax b)xce计算题(每题8分，共48分)x 1求过直线L1: 1x 2且平行于直

3、线L2 ：2z1的平面方程一 22 、2、已知 z f(xy ,x y),求 x ,3、设 d (x, y) x22y 4x2dxdy,利用极坐标求 D2x,24、求函数f (x，y) e (x y (4)已知l是抛物线y x上点O(0,0)与点B(1,1)之间的一段弧，y)的极值 x t sint5、计算曲线积分L(2xy 3sinx)dx (x2 ey)dy,其中L为摆线y 1 cost从点 O(0,0»UA( ,2)的一段弧6、求微分方程 xy y xex满足yxi 1的特解四.解答题(共22分)2y与上2 , x 2xzdydz yzdzdx z dxdy1、利用高斯公式计算

4、，其中 由圆锥面z半球面z v2 x2 y2所围成的立体表面的外侧(10)(2、(1)判别级数n 11)3n的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;nnx(2)在x (1，勤求哥级数n 1 的和函数(6 )高等数学(下)模拟试卷二一.填空题(每空3分，共15分).Zx y2z22(1)函数 ln(1 x y )的定义域为;(2)已知函数z exy,则在(2D处的全微分dz ；e ln xdx f(x, y)dy(3)交换积分次序，10' ) =；Lyds .(5)已知微分方程y 2y°,则其通解为.选择题(每空3分，共15分)x y 3z 0为x y z 1 0,则L与

5、的夹角为();(1)设直线l为x y z 0 ,平面A. 0(2)设yz2a. xy z(3)微分方程yB. 2C. 3z33是由方程z 3xyz a确定，则xyz2B. z xyxz2c. xy z2x5y 6y xe的特解y的形式为yD. 4)；xy2D. z xy);A. (ax b)e2xB (ax b)xe2xC (ax b) ce2x(4)已知是由球面三次积分为(2a所围成的闭区域，将D (ax b) cxe2xdv在球面坐标系下化成2 sin0r2dr2dB. 0202dardrC. 0rdrD. 0sina 2 .r dr0(5)已知哥级数2n 11 2n,则其收敛半径A. 2

6、B.1C. 2D. -2得分阅卷人5、求过 A(0,2,4)6、7、.计算题(每题8分,且与两平面1: x2z共48分)2: y 3z2平行的直线方程已知 z f(sin xcosy,ex y),求设D (x,y)y2 1,0 y得分8、x,利用极坐标计算求函数f (x，y)arctan dxdyxL为沿上半圆周9、(x利用格林公式计算a)x2 5y2 6x 10yL(exsiny 2y)dx6的极值.(excosy 2网，其中,“一ry6、求修分方程(x 1)2a , y32的通解0、从 A(2a,0)到 O(0,0)的弧段.四.解答题(共22分)1、(1) ( 6)判别级数 敛；n 1on

7、 (1) 2 sin n 13的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收(2) ( 4 )在区间(1,1)内求哥级数n1 n的和函数.2、(12 )利2z x用(Wjy2(0斯公式计算z 1)的下侧2xdydz ydzdx zdxdy为抛物面填空题1、高等数学(下)模拟试卷三(每空3分，共15分)函数y arcsin(x 3)的定义域为lim2、n(n 2)23n23n 2 =3、已知y4、定积分，,2、1ln(1 x ),在x 1处的微分dy120062、1 (x sinx x )dxdy5、求由方程.57 cy 2y x 3x0所确定的隐函数的导数 dx.选择题(每空3分，共15分) x2

8、 11、X(A)(C)2是函数可去无穷1 x dx2x 3x 2的间断点(B)而(D)振荡2、积分(A)(C) 03、函数0 .1(B)(D) 1xy eX2(A)单调增加;1在(，0内的单调性是 (B)单调减少；(C)单调增加且单调减少;(D)可能增加；可能减少。4、1sintdtx 的一阶导数为(A) sinx(B)sinx(C)cosxr5、向量a(A) 3(D)rcosx三.计算题(1、求极限2、求极限3、已知y 四.计算题(1、已知V2、计算积分1, 1,k与 b(B) -13小题，每题x 3、x lim(-；)x 2x 1limX 0ln2， 2, 1相互垂直则k(Q 4(D) 2

9、6分，共18分)x sin x3xdyxcose ,求 dx4小题，每题6分，共2d 2y1 t ,求 dx22x cos xdx24分)3、计算积分1arctanxdxo4、计算积分012x2dx五.解答题（3小题，共28分）1、（8 ）求函数y3x4 4x2 1的凹凸区间及拐点。f（x）2、（8）设3、（ 1）求由y1xx-71 e22x及y20 Mxx所围图形的面积;1)dx(6)（2）求所围图形绕x轴旋转一周所得的体积。（6）高等数学（下）模拟试卷四填空题（每空3分，共15分）, y1、函数,1 x2的定义域为2、o e Xdx,a 03、已知y sin(2x D，在x0.5处的微分d

10、y1 sin x , 2 dx4、定积分 11 X =.5、函数y 3x4 4x31的凸区间是选择题(每空3分，共15分)X2 11、X 1是函数y X 1的 间断点(A)可去(B)跳跃diIX a f(C)无穷(D)振荡什 a 0, f (0) 0, f (0) 2(A)1(B) a(C)-1(D) a3、在0，2 内函数y x s1nx是。(A)单调增加；(B)单调减少；(C)单调增加且单调减少；(D)可能增加；可能减少。rrr r4、已知向量a 4， 3,4与向量b 2, 2,1则2 b为(A) 6(B) -6(0 1(D) -35、已知函数f(x)可导，且f(x0) 为极值,dyf (

11、x)y e ，则 dxx x)(A) 三.计算题(f (Xo)e(B) f (Xo)(C) 0(D) f (x0)1、求极限3小题，每题6分，共18分)1 klim(1- kx)x2、lim求极限x 01.2 ,sin t 出cosx2x sin x3、四.已知y 计算题e(每题x,求dx6分，共24分)dy1、xy0所确定的隐函数y f(x)的导数dx2、计算积分arcsin xdx3、计算积分sin3 x sin5 xdxo4、计算积分0 -2'2dX，a.3a x五.解答题（3小题，共28分）3atrr3at2,c、y 21、（8）已知 1 t ,求在t 2处的切线方程和法线方程

12、。1In a In b 12、（8）求证当 a b 0时，a a b b33、（i）求由y x及y 0,x 2所围图形的面积；（6）（2）求所围图形绕y轴旋转一周所得的体积。（6）高等数学（下）模拟试卷五一. 填学题！nJ!也3分，共21分）1 .函数y的定义域为222 .已知函数z ex y ,贝u dz 。 z3 ,已知 z exy,则 x （1,0） 。4 .设l为x2y21上点1,0到1,0的上半弧段，则 2de In xldx f （x, y）dy5 .交换积分顺序 10'力 （1）n6 .级数n 1 n是绝对收敛还是条件收敛？ 7 .微分方程y sin x的通解为.选择题（

13、每空3分，共15分）1 .函数z f x，y在点x0, y。的全微分存在是f x，y在该点连续的（）条件。A.充分非必要B .必要非充分 C .充分必要 D .既非充分，也非必要2 .平面1：x2yz1 0与2：2x yz2 O的夹角为（）。A. 6 B , 4 C.2 D , 3 (x 5)n3 .哥级数n 1 n的收敛域为()。A. 4,6 B . 4,6 C . 4,6 D , 4,6yi(x)4.设 y1（x）,y2（x）是微分方程 y p（x）yq（x）y 0的两特解且y2（x）常数，则下）是其通解（c1，c2为任意常数）A.C.yciYi (x) y2 (x)yVi (x)y2 (

14、x)yi(x) c2 y2(x)g yi(x)C2 y2(x)5.zzdv在直角坐标系下化为三次积分为）,其中为 x 3, x 0, y 3, y 0 ,D.A.30,z0dx333所围的闭区域。330 dy0zdz03dx 0 dy3zdz03dx03dy 0 zdz° dx ° dy 3 zdz.计算下列各题（共21分，每题7分）1、已知 1n z ezxy 02、求过点（1,0,2）且平行直线的直线方程。3、（x利用极坐标计算 D一象限的区域。y2)d22,其中d为由x y 4y 0及y x所围的在第四.求解下列各题（共20分,第1题8分,第2题12分）1、利用格林公

15、式计算曲线积分(y2 ex)dx(2xy25x sin y)dy,其中L为圆域D :22x y 4的边界曲线，取逆时针方向。2、判别下列级数的敛散性：（1）n1 1n 1、n2 n1/五、求解下列各题1、求函数f(x, y)23分,第2y2 3x1、2题各8分， 第 3题7分）3y 1的极值。2、求方程dydxxe 心、, 满足y2的特解。3、求方程2yX8y 2e的通解。高等数学（下）模拟试卷六、填空题：（每题3分，共21分.）2,已知函数 z ln（ xy）,则 x 2,1。一一 22z sin x y3 .已知3，贝U dz 。2ds4 .设L为y x 1上点（1，°）到0，1

16、的直线段，则 L 。1 1-xRR2 r2d dr00022dx f（x y ）dy5 .将00化为极坐标系下的二重积分 （1）nc /6 .级数n 1 n是绝对收敛还是条件收敛？。7 .微分方程y 2x的通解为 。、选择题：（每题3分，共15分1 .函数z f x，y的偏导数在点 x0, yo连续是其全微分存在的（）条件。A.必要非充分，B .充分， C .充分必要，D .既非充分，也非必要,x y 2 z 2l :2 .直线 110与平面：x 2y z 3的夹角为（）。A. 6 B , 3 C3.哥级数n x Tn2 n 1 3 n的收敛域为A. ( 3,3) B , 3,3 C* .、4

17、 .设y (x)是微分方程y2 D . 4)。.(3,3 D 3,3)p(x)yq(x)y f (x)的特解，y（x）是方程p(x)y q(x)y f(x)的通解。*,d . y (x) y(x)p(x)y q(x)y0的通解，则下列 a. y(x) b , y(x)是方程y* , 、* ,、y (x) c . y (x)5.球体。A.C .z2dv在柱面坐标系下化为三次积分为2RR 2d rdr z dz0002222)，其中为x y z R的上半2R r 2d rdr z dz0002RR2 r2 2d rdr z dz000三、计算下列各题（共18分，每题6分）1、已知 z3 3xyz

18、5,求 x, y2、求过点（1,0,2）且平行于平面2x y 3z 5的平面方程。3、计算d(x2 y2)dxdy，其中d为y xy 0及x 1所围的闭区域。四、求解下列各题(共25分，第1题7分，第2题8分，第3题10分)/ 2,(x y)dx (x siny)dy21、计算曲线积分L,其中L为圆周y V2x x上点(0，0)到(1G的一段弧。Axdydz ydzdx zdxdy是由2、利用高斯公式计算曲面积分：，其中22z 0,z 3,x y所围区域的整个表面的外侧。nF五、求解下列各题3、判别下列级数的敛散性：(2)4n sin 0n 1321分，每题7分)-2132f(x,y) 3x

19、6x y 2y 11、求函数3的极值。dy x y e12、求方程dx满足y x o 1的特解。3、求方程y 5y 6y (x 1)ex的通解。高等数学(下)模拟试卷七填空题(每空3分，共24分)1z . 22.221 .二元函数(x y川25 x y的定义域为 2 12 .一阶差分方程见1 3yt 5的通解为y3 . z x的全微分dz4 . ydx xdy 0的通解为y zz arctan 一 5 .设x ,则x 6 .微分方程y 2y 5y 0的通解为222dxdy7.若区域 D (x,y)|x y 4 ,则 d nn 0 dx 2.累次积分 0的和s=选择题：(每题3分，共15分)1.

20、 f x,y在点a,b处两个偏导数存在是(A)充分而非必要(C)充分必要f x, y在点(B)(D)a,b处连续的必要而非充分 既非充分也非必要条件、xf (x, y)dy0改变积分次序为(A)(C)110 dy 0 f (x,y)dxi y0 dy 0 f(x, y)dx(B)(D)1ix0dy 0 f(x, y)dx110dy y2 f (x,y)dx3.下列函数中,是微分方程y 5 y 6 y3xxe的特解形式（a、b为常数）(A) y (ax b)e3x23x(C) y x (ax b)e4 .下列级数中，收敛的级数是 1n(A) n 1 v，2n 1( B)n 12n 1z 2225

21、 .设xy z 4z，则 x (A) z(B) 2 z(B) y x(ax b)e3x(D) y ae(3)n( 1)n(C) n 1 2(D) n 1 nx(C) z 2x(D) z1.C2. D3.C4 A5. D得分阅卷人三、求解下列各题z u 2 ln v,而 u1.设(每题7分，共21分)xz z,v 3x 4 y,y，求 x y3n2.判断级数n 1 n2的收敛性ex y dxdy23.计算D，其中D为x,2y 1所围区域四、计算下列各题， y1 .求微分方程I2 .计算二重积分3 .求函数f （x, y）（每题10分，共40分）1 Wy ln xx的通解.d x y dxdy ,

22、其中D是由直线y32y x 6x 12y 5的极值.x，x 1及x轴围成的平面区域4.nx27n求哥级数n 1 n 4的收敛域.高等数学（下）模拟试卷一参考答案一、填空题：（每空3分，共15分）1、（x,y）|x y 0,x y 024、后5、丫 Gex C2e3x二、选择题：（每空3分，共15分） 三、计算题（每题8分，共48分）y4. x2ndx 1 f(x, y)dyx y3、 0 wx1、解:A(1,2,3)Si1,0, 1S22,1,12、3、4.解:zy解:解:S1 S2平面方程为2xyi 3j3y z 2f1f1f22xy2xyx2dxdyDfx(x,y)fy(x, y)cos2

23、 drdD e2x(2x e2x(2 y2y22)4y01)2 cos一2x2fxx(x, y) e (4x 4y8y4),Q A 2e 0, AC B24e22 3r dr0得驻点fxy(x,y) e极小值为Pf(2,"x(4y4),2xfyy(x,y) 2e1)5 解：P 2xy 3sin x,曲线积分与路径无关ey2x积分路线选择：L1:L(2xy3sin x)dxy(x20,x 从 0 ey)dyL2 :,丫从0,PdxL1Qdy0 3sin xdxL220(Pdx Qdyey)dy,y6.解：1, Q x通解为P(x)dxQ(x)eP(x)dxdxC.1dx x -dxx

24、dxC代入yxdx C1(x x1)exC1(x x1)ex 1四、解答题22xzdydz yzdzdx z dxdy (2z z 2z)dv zdv1、解:46方法一:原式=04 cos sin d方法二:原式=1rdr0zdz2、解:Un(1)令1)nlimnUn 1Un1)n 1n3n绝对收敛。s(x)nnx3r cosdrsin drd dlimn(2)x0、(x)dxn 1 nxXS1（X）10r(1n 13nr2)dr3n 1s(x) 一 (11xx)2xnx0dxS1(x)（十21(1 x)21010收敛， 45、填空题：(x, y)|1,1)高等数学（下）模拟试卷二参考答案（每

25、空3分，共15分）24x,0 x2-2_ 2y 12、e dx 2e dy3、eeyf (x,y)dx-1(5<5 1)4、125、(C1 C2x)ex、选择题：（每空3分，共15分）1. A 2. B3.、计算题（每题8分，共48分）B 4.D5. A1、解：a（0,2,4）n11,0,2 n2 0,1, 3sn1 n2直线方程为2、解：zsinxcos yf11ex ycos xcos yf2 e8693、解:，y , arctan dxdyflsin xsin y)f2 edrd4.A解:D fx(x, y) fy(x, y)fxx(x, y)2,Q A 2 0,AC2x10y10

26、 0Bfxy(x,y)B2 20 00,04 d1rdr0645.解：PPx,e sin2y,有y取 A(2a,0),cosyOA:2,0,x 从 0L Pdx QdyOAPdxQdy d原式=OAPdxQdyP6.解：Q (x31)5通解为yP(x)dxQ(x)e四、解答题(x1)(x1、解：（1）令un1)nc n2sin3ns(x)收敛，n xs(x)s(x)x0 s(x)dx得驻点(3, 1)C fyy(x,y)极小值为f （3,xe cosycosy,2aQ101)2,P)dxdy y0 a2P(x)dxdx C e11)2dx2dxdy91dx(x231)e9 dxdxC2C (x

27、 1)3(xlimnun 1uns(0)ln(1 x)2、解：构造曲面 1 : z 1,上侧31)2C2n 1 sinFGnlim3n2n sin 3nn 1cn3n绝对收敛32xdydz ydzdx zdxdy2xdydzydzdx zdxdy(21 1)dv 4dv12401rdr012 dz10(1r2)rdr 242xdydz1ydzdxzdxdydxdyDxy高等数学（下）模拟试卷三参考答案.填空题：（每空3分，共15分）1.1X1且x 0 ； 2. a ； 3. 2dx ；选择题:计算题:（每空3分,共15分）0,-0,4.0 ; 5.3 或 31.A;2.D;3.A;4. A;5

28、.C.2.3.四.1.3.4.1.lxm01012kxisin t2dtkkx曳e dx计算题:eyy2.原式原式原式cosx3- x1lnsin -1、 x .1sin 一 xlimxy 0xarcsin xxarcsin x.2sin cos x)( sin x) 23x21 cos-x2;x30 (sin x)23a d(3a2lnsin 11x cot一 x0,ydydxy eyxdx2 xarcsin x ,1 x21 x2cos x dxx2) 302.3a2 x22.1=2d(1 xx2)_3°2 (sin x)2 d sin3_ (sin x)2d sin x23 _

29、45. 3a2 x23a ，3a2 3a 1解答题4132.设 f (x)Inx, xb,a,a3. (1)-16a 12a5,y02 ,lnIn b3 . 2x dx，切线：4x 3y 12a 01,法线：3x-4y+6a=01(a2 1b),b a - a2lna lnb 1 a b bVy(2)、2y3dy24y35y64 25.填空题：1. 2 x选择题:1.C ； 2.limxlim2.高等数学（下）(每空3分,14 ； 2. 3 ； 3.(每空3分,D ； 3. B ;12x模拟试卷四参考答案共15分）2 dx； 4. 3 共15分)4. B；5.；5.Co3.四.dydx1.12

30、x32x12xcosx3x21xcose12 djyt ,dx2limx1 21x62 5y42x 33万22x-2x( 2)12x5e232 x2sin 二 lim 2-2 x 0 3x2x sin e )x x 3e cote3.4.2.2 .一x d sin xx arctan x2_x sin x sin x-dx 2 1 x222xdx2.x sin x2ln(1 x )12 02xcosxIn 222sin x202 v 2 cost 、. 2 costdtsin 2t2_22五.解答题y 12x3 12x2,y 36x2 24x,2x1 0,x2 2为拐点2322 ,0、2,为凹

31、区间，0,- 4为1.33凸区间2.f(x1)1一,xx1x ,x1 ex,(2)1exdx21dx(2 ) xln exln(1ex) 0 lnx2(2)ln(1 e)2ln 2(2 )dx43. (1)、dx 4310高等数学（下）模拟试卷五参考答案、填空题：（每空3分，共21分） 22221、（x, y） x y,y 02、2xex y dx 2yex y dy , 3、0, 4、2 ,1 e5、0dy eyf（x,y）dx 6、条件收敛，7、y8sx c （c为常数）,、选择题：（每空 3 分，共 15 分）1、A, 2、D , 3、A, 4、D , 5、B、解：1、令 F(x, y,

32、z) ln z ez xy iz Fx yzFzZz 1 ze4z Fy xz yFz1 zez72、所求直线方程的方向向量可取为1，2，32x 1 y z 2则直线方程为： 1233、原式丁2 34 d r dr oo7四、解：1、令2 x2 PP(x, y) y e ,Q(x, y) 2xy 5x sin y, yQ P( )dxdy原式 d x y62082、(1)此级数为交错级数1Q2y,2y 5 x五、解:1 clim 0因n n故原级数收敛1,2,(2)此级数为正项级数(n 1)2limn3n12n因 3n1、由 fx(x,y)3x2 34故原级数收敛60, fy(x,y) 3 y

33、 0 得驻点(1,3),( 1,3)2在(i,3)处 A 以(1,3) 6,B fxy(1,3) 0,C fyy(1,3) 2因AC B0,所以在此处无极值5在(1,3)处 Afxx( 1,3)6,B fxy( 1,3) 0,C fyy(2因AC B 0,A 0,所以有极大值x dx1dx通解y e e dx cef( 1,3)3152xe x ce x6y x 0 c 2特解为y (x 2)e x811,3)843、.其对应的齐次方程的特征方程为有两不相等的实根r12,r2r2 2r 8 0所以对应的齐次方程的通解为2xc1e4xc2e(C1,C2 为常数)2）设其特解y(x) aex5ae

34、x将其代入原方程得2ex,a*y (x)故特解2 x-e53）原方程的通解为2x c1e4xc2e1、4、高等数学(下)模拟试卷六参考答案填空题：（每空3分，共21分）(x,y)x 1 y1C,2222、2,3、2xcos(x y )dx 2ycos(xy2)dy.2,2, 5、选择题：、解：2d01 L 20 f(r )rdr绝对收敛,（每空3分，共15分）2、7、B ,y3、常数），5、D1、令 F(x, y,z)z3 3xyzFx2、3、四、解:Fzyz2z xyxz-2 z xy所求平面方程的法向量可取为则平面方程为：2（x 1） y原式131dx0(x262,1,33(z 2)y2)

35、dyP(x,y)1、令y,Q(x, y)(x.、P sin y), y原式 0(x2 0)dx10(1 siny)dy8 5 cos1 一32、令 P x,Q原式y,R( x2-R)dvz3dv3、此级数为交错级数1lim0因 n In n故原级数收敛五、解：3limn此级数为正项级数n 1-4 Sin-1/3n 144n sin 3n1、由fx(x, y)6x在（1,0）处 因ACB2fxx(1,0)0,A在（1,4）处fxx(°, 1,4)ACB22、通解(x特解为y1 ln(n 51) (n4 fy(x,y)2,3)故原级数发散4y y20 得驻点（1,0）,（1,4)6, Bfxy (1,0)0,Cfyy(1,0) 4所以有极小值6,B fxy（0,所以在此处无极值1dxdxc)ex 1,(x 1)exf(1,0)1,4)0,Cf yy(51,4)4dx ce3、D对应的齐次方程的特征方程为所以对应的齐次方程的通解为*x2）设其