锐角三角函数—巩固练习--带答案

1、锐角三角函数知识讲解【学习目标】1结合图形理解记忆锐角三角函数定义；2会推算30°、45°、60°角的三角函数值，并熟练准确的记住特殊角的三角函数值；3理解并能熟练运用“同角三角函数的关系”及“锐角三角函数值随角度变化的规律”.【要点梳理】要点一、锐角三角函数的概念如图所示，在RtABC中，C90°，A所对的边BC记为a，叫做A的对边，也叫做B的邻边，B所对的边AC记为b，叫做B的对边，也是A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边锐角A的对边与斜边的比叫做A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与

2、邻边的比叫做A的正切，记作tanA，即.同理；要点诠释：(1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，不能理解成sin与A，cos与A，tan与A的乘积书写时习惯上省略A的角的记号“”，但对三个大写字母表示成的角(如AEF)，其正切应写成“tanAEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、常写成、(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在(4)由锐角三角函数的定义知：当角

3、度在0°<A<90°间变化时，tanA0要点二、特殊角的三角函数值利用三角函数的定义，可求出30°、45°、60°角的各三角函数值，归纳如下：锐角30°45°160°要点诠释：(1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若，则锐角(2)仔细研究表中数值的规律会发现：、的值依次为、，而、的值的顺序正好相反，、的值依次增大，其变化规律可以总结为： 正弦、正切值随锐角度数的

4、增大(或减小)而增大(或减小)； 余弦值随锐角度数的增大(或减小)而减小(或增大)要点三、锐角三角函数之间的关系如图所示，在RtABC中，C=90°(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：要点诠释：锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便【典型例题】类型一、锐角三角函数值的求解策略1如图所示，在RtABC中，C90°，AB13，BC5，求A，B的正弦、余弦、正切值 【答案】在RtABC中，C90° AB13，BC5 ，；，【总结升华】先运用勾股定理求出另一条

5、直角边，再运用锐角三角函数的定义求值举一反三：【变式】在中，若，则 ， ， ， ， 【答案】 5 ， ， ， 类型二、特殊角的三角函数值的计算2求下列各式的值： (1)sin30°-2cos60°+tan45°； (2)； (3) 【答案与解析】(1)原式；(2)原式； (3)原式【总结升华】熟记特殊角的三角函数值或借助两个三角板推算三角函数值，先代入特殊角的三角函数值，再进行化简举一反三：【变式】在中，若A=45°，则 ， ， ， ， 【答案】45°， ， 类型三、锐角三角函数之间的关系3(1)求锐角； (2)已知求锐角【答案与解析】(1)先

6、将已知方程变形后再求解 锐角=30°(2)先将已知方程因式分解变形 锐角=45°【总结升华】要求等式中的锐角，只需求得这个角的三角函数值，运用换元的方法，把角的三角函数看作未知数，解方程求得它的解(值)，然后再求这个锐角类型四、锐角三角函数的拓展探究与应用4如图所示，AB是O的直径，且AB10，CD是O的弦，AD与BC相交于点P，若弦CD6，试求cosAPC的值 【答案与解析】连结AC， AB是O的直径， ACP90°，又 BD，PABPCD， PCDPAB， 又 CD6，AB10， 在RtPAC中， 【总结升华】直角三角形中，锐角的三角函数等于两边的比值，当这个

7、比值无法直接求解，可结合相似三角形的性质，利用对应线段成比例转换，间接地求出这个比值锐角的三角函数是针对直角三角形而言的，故可连结AC，由AB是O的直径得ACB90°，PC、PA均为未知，而已知CD6，AB10，可考虑利用PCDPAB得5通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)如图1，在ABC中，ABAC，顶角A的正对记作sadA，这时容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的根据上述角的正对

8、定义，解下列问题：(1)sad60°_(2)对于0A180°，A的正对值sadA的取值范围是_(3)如图1，已知sinA，其中A为锐角，试求sadA的值【答案与解析】(1)1； (2)0sadA2；(3)如图2所示，延长AC到D，使ADAB，连接BD设ADAB5a，由得BC3a， ， CD5a-4aa， 【总结升华】(1)将60°角放在等腰三角形中，底边和腰相等，故sadA1；(2)在图中设想ABAC的长固定，并固定AB让AC绕点A旋转，当A接近0°时，BC接近0，则sadA接近0但永远不会等于0，故sadA0，当A接近180°时，BC接近2A

9、B，则sadA接近2但小于2，故sadA2；(3)将A放到等腰三角形中，如图2所示，根据定义可求解锐角三角函数巩固练习【巩固练习】一、选择题1. 在ABC中，C90°，sinA，则tanB ( ) A B C D2 若A是锐角，且cosA，则( ) A0°A30° B30°A45° C45°A60° D60°A90°3. 已知锐角满足sin25°cos，则( ) A25° B55° C65° D75°4如图所示，直径为10的A经过点C(0，5)和点O(0，

10、0)，B是y轴右侧A优弧上一点，则OBC的余弦值为 ( )A B C D5如图，在ABC中，A120°，AB4，AC2，则sinB的值是( ) A B C D6在RtABC中，C90°，若将各边长度都扩大为原来的2倍，则A的正弦值( )A扩大2倍 B缩小2倍 C扩大4倍 D不变 第4题 第5题 7如图所示是教学用具直角三角板，边AC30cm，C90°，tanBAC，则边BC的长为( )Acm Bcm Ccm Dcm 第7题 第8题8. 如图所示，在RtABC中，ACB90°，CDAB，垂足为D，若AC，BC2，则sinACD的值为( )A B C D 二

11、、填空题9锐角A满足2sin(A-15°)，则A_； 已知为锐角，则_10. 用不等号连接下面的式子 (1)cos50°_cos20° (2)tan18°_tan21°11在ABC中，若，A、B都是锐角，则C的度数为 .12如图所示，ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA_13已知：正方形ABCD的边长为2，点P是直线CD上一点，若DP1，则tanBPC的值是_ 第12题 第15题 14如果方程的两个根分别是RtABC的两条边，ABC的最小角为A，那么tanA的值为_15如图所示，ABC的内心在y轴上，点C的坐标为(2，0)，点B的坐标是(

12、0，2)，直线AC的解析式为，则tanA的值是_16. 已知a3-tan60°，则代数式_三、解答题17如图所示，ABC中，D为AB的中点，DCAC，且BCD30°，求CDA的正弦值、余弦值和正切值18. 计算下列各式的值 (1) sin30°·cos30°-tan30°(结果保留根号)； (2) 19如图所示，在矩形ABCD中，E是BC边上的点，AEBC，DFAE，垂足为F，连接DE (1)求证：ABDF；(2)若AD10，AB6，求tanEDF的值20. 如图所示，已知O的半径为2，弦BC的长为，点A为弦BC所对优弧上任意一点(B

13、、C两点除外)(1)求BAC的度数；(2)求ABC面积的最大值(参考数据：， 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B；【解析】如图所示，可设BC4k，AB5k，用勾股定理可求 2.【答案】B；【解析】 ，且 cos45°cosAcos30°又 在锐角的范围内余弦值大的角反而较小 30°A45°，故应选B3. 【答案】C；【解析】由互余角的三角函数关系， sin25°-sin(90°-)，即90°-25°， 65°4.【答案】C；【解析】设A交x轴于另一点D，连接CD，根据已知可以得到OC5，CD10， ，

14、 OBCODC， 5.【答案】D；【解析】如图所示，过点C作CDAB于D， BAC120°， CAD60°， 又 AC2， AD1，CD， BDBA+AD5，在RtBCD中， 6.【答案】D；【解析】根据锐角三角函数的定义，锐角三角函数值等于相应边的比，与边的长度无关，而只与边的比值或角的大小有关7.【答案】C；【解析】由， 8. 【答案】A； 【解析】 ， 二、填空题9【答案】 (1)75°；(2)30°；【解析】(1)将A-15°当作一个角来看待，由已知可得，故锐角， A75° (2)将90°-口当作一个角来看待，由ta

15、n(90°-)， 90°-60°， 30°10.【答案】(1)； (2)；【解析】当为锐角时，其余弦值随角度的增大而减小， cos50°cos20°；当为锐角时，其正切值随角度的增大而增大， tan18°tan21°11【答案】105°；【解析】 ， ， 即， 又 A、B均为锐角， A45°，B30°， 在ABC中，A+B+C180°， C105°12【答案】； 【解析】假设每一个小正方形的边长为1，利用网格，从C点向AB所在直线作垂线CH垂足为H，则A在直角ACH

16、中，利用勾股定理得， 13【答案】2或【解析】此题为无图题，应根据题意画出图形，如图所示，由于点P是直线CD上一点，所以点P既可以在边CD上，也可以在CD的延长线上，当P在边CD上时，；当P在CD延长线上时， 14【答案】或； 【解析】由得，当3为直角边时，最小角A的正切值为；当3为斜边时，另一直角边为， 最小角A的正切值为.故应填或15【答案】；【解析】由ABC的内心在y轴上可知OB是ABC的角平分线，则OBA45°，易求AB与x轴的交点为(-2，0)，所以直线AB的解析式为：，联立可求A点的坐标为(-6，-4)， ，又OCOB2， BC在RtABC中， 16.【答案】 ； 【解析

17、】原式，将代入得原式.三、解答题17.【答案与解析】 过D作DEAC，交BC于点E ADBD， CEEB， AC2DE 又 DC AC，DEAC， DCDE，即CDE90° 又 BCD30°， EC2DE，DCDE 设DEk，则CD，AC2k在RtACD中， ， 18.【答案与解析】 (1)sin30°·cos30°-tan30° (2) 19.【答案与解析】 (1)证明： 四边形ABCD是矩形， ADBC，ADBC DAFAEB又 AEBC， AEAD又 B=DFA90°， EABADF ABDF(2)解：在RtABE中， EABADF， D