二次函数典型真题讲解

1、小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语小洋英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语备战 2018 中考一一二次函数典型真题讲解二次函数作为初中学习的基本初等函数，每年是各地中考的重要内容，并且分值占比比较大，如何彻底掌握它，也是中学生面临的一大难点，而且问答上目前有很多关于二次 函数的问题，鉴于此，本次专门来探讨一下二次函数部分，同时结合中考真题来揭示二 次函数部分的命题方向。一、知识点梳理1、二次函数定义：形如 y = ax2 + bx + c (a , b, c 是常数，a 工 0 的函数，叫做二次函数 例：如果函数 y=(a 1)x2

2、 是二次函数，那么 a 的取值范围是 a 工 1.2、解析式；(1) 三种解析式：一般式：y=ax2+bx+c;顶点式：y=a(x-h)2+k(a 工 0,)其中二次函数 的顶点坐标是(h,k);交点式：y=a(x-x1)(x-x2),其中 x1,x2 为抛物线与 x 轴交点的横 坐标.(2)待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程(组)；解方程(组)，求出待定系数的值，从而求出函数的解析式3、二次函数的图象和性质小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语图象*xr

3、/-巩日A 0)/y 0)开口卓向上 Q向E对称轴b工一- 护laIb4tr(? -b：Ila4a -事1增减性当 A “时厂随x的增大而增大:2a当时随T的增大而建也2a当 Q-b时，随1的増大而崙小;2a-当x-A时丁随x的期夫而煉大一.b4ac-b:x=-y量、=-川2a牝fTb4ac bx=-y心- -屮2a4aV比较二次函数函数值大小的方法：直接代入求值法；性质法：当自变量在对称轴同 侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到 同侧，再利用性质比较；图象法：画出草图，描点后比较函数值大小4、系数之间的关系4*古定丸拘线的开口方向及开大卜当时*帥物线开

4、口向上* z 当口0时，抛物线开向下芒决定对称铀(x=-b/2a)的位置*当应石同-b 2a当 g 仃异号？ b 2a0F对称轴在，變右边.决宦起功戟与V翁的交 点的W当芒0时，拋物线与)轻的交点在正半釉上；” 当c=0时，拋物线经过廉直；当eVO时*拋物线与轴的我戊在负半釉上广b2一4g扶定拋物线与X轮的交点个数*护一4M0 时.拉物线与斗雜有丄令交点卜护一4g=0时.抛靭线与范轴有I个交点 A於一斗xV0时.抛物线与孟轴没有交点小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语小洋英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语5、二次函数与一元二次方程小

5、学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语二次函数 y=ax2 + bx + c(a 工 0 的图象与 x 轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当A0,两个不相等的实数根；当A=0,两个相等的实数根；当A 0 的解集；在 x 轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式 ax2 + bx + c 0 的解集二、真题讲练1、二次函数概念、性质和图像【逐步提示】本题考查的知识点较多，主要有动态问题、等腰三角形的性质，分段函数和分类讨论的数学思想， 解题的关键把整个运动过程分

6、为两段，针对每一种情况求出函数表达式，值得注意的是点 P 是在一条折线上运动，当点 P 分别在边 AB 和边 AC 上时, 情况是不一样的，所以应该分类讨论；其次，解决动态问题一个很重要的能力是把相关线段用含有 x 的代数式表示出来，然后构建方程或函数关系式；小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语【详细解答】解：当点P在ABL时即0心2如图所示：+VAABC是等腰直角三角形，且而PD丄*C二ZPD沪 二丁 =丄曲仏D兰丄味诋二丄其中0 xM2；2 2 2当点P在JC时 即2xM5O. V5i

7、.v.I1,二CD-4jft人_r = PD- CD = - x( 4 - x)臥中2 x 1 ；-x-(02)- x) (2 x 0时，随x的增大而增大当x=2时，有最大U 图家的顶点坐标为（一2, -7）D图象与x轴有两个交【答案】E”【逐步提示】通过配方或直接套用顶点公式计算出二次函数的对称轴，根据抛物线的开口方向与增减性可判断选项 A 是否正确；求出抛物线的顶点坐标，同时结合开口方向即 可知选项 B 与 C 的正误；根据二次函数与一元二次方程的关系，通过计算判别式的大 小，即可判断抛物线与 x 轴的交点情况，进而可判断选项 D正确与否.【详细解答】解：二次函数尸4的对称轴为x=-一=2

8、42口 1、2x（=）4选项c错误；冷 5 抛物线开口向下.顶点为最高点，当.口时，川由抛物线开口向下.对称轴为可知，当,r2时# 丁随龙的增大而减小故选项+x4二0中*A-b24aci-4X(- )x(4)=30#抛物线x2+x4-4错误.故选择B3*（2016贵州省毕节市F14,3分）一次函数丁=or+c（口三0）与二次函数 的图象可能是C ） “小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语【逐步提示】本题考查了一次函数和二次函数的图象，解题的关键是弄清二次函数和一 次函数的图像与解析式之间的

9、关系.先根据特殊点的位置及各直线所过的象限确定a 的正负，再由抛物线的开口方向判断 a 的正负，若两者所得 a 的符号一致，则图象正确.【详细解答】解：当 x = 0 时，都有 y = c,所以直线和抛物线都过点（0, c），排除 A; 对于 B,由直线知 a0,矛盾；对于 C,由直线知 a0，由二次 函数图象知 av0，矛盾，只有 D 符合，故选择 D.【解后反思】本题易错点是容易忽视特殊点的位置而误选A.多种函数图像的识别，一般可以先确定其中一种函数的图像（如一次函数，反比例函数），再根据函数图像得到 该函数解析式中字母的特点， 最后结合二次函数图像的开口方向、对称轴或图像经过的 特殊点对

10、选项进行逐一考察，得出结论.2、二次函数与代数结合I1. （甘渤省天水rti, 24,關分）天啦奇卑企业竄到一投氓于生再任弄*按要求在】9天内芫成*约定这批仔子的出 L 价为每只4元.为按对完成任务.谨企业招妝了斩工人.设环工人李辽第老舌生产的碌子林川*如下林 T；蔦寫U（3）李红第几天主产的燥子数量为站0只？ ”2） （7）如国.设幫x天每只粽子的成本是pre. p与兀之周的黄系可用囲中前函故图像耒嶷厲*着李 红莒盘天创遺的利淌対號元.求”与川之间的更故表达武.井求出茅几天前利満喪丈？蛙大利诞是多 少元？（利阀二岀厂价一成本【逐步提示】本题是分段画数应用题，T一次巒数和二衣函数在实际生活中的

11、应用，孺要利用一次函数和二次困鑫的堆减伐求最值.解題的关僧息*列出函数关系式.具体地n ffij-=26o代入轄方程即可求得.（2）根据圈4,运用持定系数法求得p与离之厨的朗数表达武.熔 盲根据“礼屈=出厂件一成本“ ryv=(4-p) y分情况氓入敎或式整瑾即璨”占囂之:哥的西数表达式. 据一淡函数和二次函離的增减性求解最大利润.*【详细解答】解： 将$=260代入y=32t26Q=32x解毎x=8+F32x(Ox3)H20A一60(A19)小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语此时玄值不

12、満足0文荃久故遠种情况不存在.“A5xl9则有血丄60=260-解得x=10. 代李红第10天生声的粽于数量为260只由图可知冲-2总蜒厠” *设龙=女+卯 g 町将(2 2. (19, 3)代入.導二丹=aix+kK9总茎均人*当 GWhWS 时怦=22”3 =6敢，由一次函敌的性熨.郑当,v=5时.X0=32Q.5A9 时相=(4一对(20ti+60)=40i+口0,由一淡歪数的性甌 知当x=9时.H*. = 4S0+-9x-19时.W= H-(O.LK+ L12k+60)-2v-5Zv-174- -2(x-13);+512.由二庆屋竝的程质* 知 舍工=口时u = 512.土64x(0

13、x 5)二曾与x之间的更敌表达式为40】20(*夕)3：0JSO512，拥第13天时利润最九 ft-2r +52.t + n49xl9)大利润是 512 元.【解后反思】此题第(1)问不难，难在解答第(2)问，需要分情况讨论根据已知条件中的 0Wx, 5vx 19,及由函数图像分析得出的 0Wx, 9x 1 这四个自变量的取值范围，再结合利润求解公式就可得出0Wx5vxW9,9vx 19 这三种利润计算情况.I2.(2016广东省广州市，24, 14分)己知抛物线严曲+0-2加(1)求刃的取值范围；*(2)证明该抛物线一定经过非坐标轴上的一点只 并求出点尸出(3)当丄VznW8时，由(2)求出

14、的点尸和点貝，B构成的&市的协值，若沿右诸询明理由亠+【逐步提示】(1)根据二次函数的定义及二次函数与一元二次方程的关系，可直接求得 m 的取值范围；(2)抛物线过定点，也就是说把该定点坐标代入解析式时不受m 取值的影响，所以只要含 m 的项其和为 0 即可，这样先求得所过定点的横坐标x 的值，然后再代入解析式计算纵坐标 y 的值，不在坐标轴上的点即为所求的点 P; (3) ABP 的 AB 边上的高即为点 P 的纵坐标 4,故在 1/4v m0*二4加一1解综上可知旳的取值范围是加H0,且血 H-4(2) j=?nr;X2m)iv+1 -2mx+132x 3)+x+l的取值无关，也就

15、是说抛物线必过定点，解Q2x3-0,得心=3, x2=当x=3时，y=9z+36旳+13产b即P(3、4)；宀当x=1时，)=也一l+2w+l 3m=0,点(一1* 0)是工轴上的一点，不台 二该抛物线一定经过非坐标轴上的一点R点P的坐标为(3, 4). *2a当1 #*AB=3- (一1)=4-4nitnm111SJCSF=一X (41)沢4=2(4 )* f2mm1 / 1.1、: :v 松8.W48 m二当上取最小值丄时2(4-)有最大值,-m8册431ABP的闫积有最大值一 ,此时甘尸84【解后反思】(1) 二次函数的 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴的位置关系有三种：没有公 共

16、点，有一个公共点，有两个公共点这对应着一元二次方程ax2+bx+c=0 的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根.(2 )以形定数，抛物线与 x 轴交点的横坐标是对应的一元二次方程的两实根；以数定 形，求出方程 ax2+bx+c=0 的(3)一元二次方程1 2m)r+1 3m=0中由求根公式*得.(1_2加)丁(4加二1)2-b (4wr -1)*1x=- 即x=-F心=3 、兀尸2m2am1,V4,小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语两实根，便得到抛物线 y=a

17、x2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标.特 别地，一元二次方程 ax2+bx+c=m 的解，即为二次函数 y=ax2+bx+c 当 y=h 时的两点 的横坐标.（3）函数图象过定点问题，一般解决方法是函数解析式中所含参数的项的和为0 时，则函数值不受字母参数的影响，据此可求定点的坐标.（3）抛物线中三角形的最值问题，一般先设出动点的坐标，然后用其表示相关线段的 长度，再利用三角形的面积公式构造新的函数关系式确定最值.本题是二次函数综合题目， 考查了二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式以及最值问题等知识；本题难度较大，根据题意得出点P 的坐标是解决问题的关键3、二次函数与几何结合二次函数与几

18、何结合的考题比较多，由于绘图比较麻烦，而且在手机上看起来也不舒服，我这边就只举一个典型例子。1 1（扣16辽苏富淮安市.2花 总甘】如田在平面1E鮒至桥系中.二次西敷=-+ 的田与坐标4轻交于川、执C三点.其中点的坐铮为（0 8），戌B的里抹为-4. s（1）求求该二欢宙数的表达武及点的坐标匸-（2）点 Q 的坐标为 4）i点F为该二次蹲数在第一象隔内图像上的动札 连搔Cd CFt以Cd CF为詳 边作平行四边形形 CDEf*设平存四边形的面积为長.1求$的最大值；2在直尸的运韵过传中.当点E蔼在樓二次噩敖田像上时*请克接写出此时$的值.【逐步提示】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函

19、数的性质和平行四边形的性质、利用待定系数法求二次函数解析式、点平移的坐标规律等，灵活运用各方面的 知识是解题的关键.小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、/Js 学英语试题、英语导学案、英语单词短语(把A B点蚩揷优入加* 零到关于氛*的方程组.熬后解方诲组求出氐 q 即可得到粗4物馥的薛折式；然后计算函數值为0时对应的自变的ttnpWWH(2)连结QF,如圈* F On.-M?+ frwi +r ),.4礼用aJ -* *謔謔 + += =匚用三甬”殖得公克灣到S竺”=肿十6常+16再利用二汰庄故的性负得封/DF的面护育最大曲

20、烙巨疫据平行四边磷的性质可得$的最大值：*g由于四边号CDET为平疔回边FsIJCD EF. CDEF.利用 U 点和。的壁林箱衽耳赫頤点匚向左平彩 fi个单也个单也算肉上平善4个单位碍到虎 Q NAFA 左平移童个畀向上平移4牛单位潯到点&即返d, -! r+Nf + 12)+绘后耙E(fH-s. |-I,fr+ W +12)代入抵拘线解桩式得到我于刖射方程+再崎方理求出*4mMAtnr的面积.从帀得到生的值.【详细解答】帛(Ik因二次函数v=-x;+fcr + ciSJ(O. 8).处4. 0)两点.4所以二次酸数的解析式为y = lr+X + 8.4当；=0时*解莓曲=去x2=

21、8 所以C点坐标为(8,0)小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、/Js 学英语试题、英语导学案、英语单词短语(2)连SOF.如圏*设F 5丄期+W + 8)4=ItH-rtV+ 斗皿十32 -16=nr+ 6/H+ 16=-(w3):+25 -当猷=3时.厶8F的贡祝有矗大值最大值为曲T四边形CDEF平厅四边形M的眾大值为50：(1分八名T四边彫彫 3EF为平讦四边形，+：.CD/EF. CDEF “T点匸向左平移8个单位.再向上平移4个单世鶴到点D XF 向向左平移&个单位，再向上平移耳个舉位獐到点E即E*E 5l$

22、* m +12 )在施樹线上4：* (刖81 + (z?i 8) + 8 谢-+ 刖 + 】2 - 4 4斡碍耐=71当刑=时5 = -(7-3);+25 = 9t二此时5 = 2SJOf=18. S四胎比& 二$4$4 芋芋+ +=a* +拉*仪步 二Sa*+$乂心一 SRCQ=卜45+卜84X8X4vr +m+12小学英语、英语课件、英语教案、小学英语试题、英语导学案、英语单词短语/Js 学英语、英语课件、英语教案、小洋英语试题、英语导学案、英语单词短语【解后反思】本题中需要注意的三种意识：第一个是参数意识，就本题而言，点在抛物线上，设它的横坐标为 m，则它的纵坐标就要把 m 代入

23、解析式，用含有 m 的代数式来 表示它的纵坐标；第二个意识就是求面积时，特别是不规则图形或是难求的图形的面积， 我们要用能求出面积的图形的代数和来表示；第三个意识就是由于有平行四边形，就应该有平移的意识，用平移的知识来解决有关平行四边形的问题.4、二次函数与实际生活1. (2016 广东茂名，23 , 8 分)某书店为了迎接 读书节”制定了活动计划，以下是活 动计划书的部分信息.“读书节活动计划书.1.用不超过26800元购逬8两类图书共1000本；*(1) 陈经理查看计划书发现：A 类图书的标价是 B 类图书标价的 1.5 倍，若顾客用 540 元购买图书，能单独购买 A类图书的数量恰好比单独购买 B 类图书的数量少 10 本.请求 出 A、B 两类图书的标价(2) 经市场调查后，陈经理发现他们高估了 读书节”对图书销售的影响，便调整了销售 方案：A 类图书每本按标价降价 a 元(0a5 )销售，B 类图书价格不变那么书店应如 何进货才能获得最大利润？【逐步提示】本题考查了解分式方程的实际问题和一次函数的实际问题，解题的关键是 如何寻求恰当相等关系构建方程和函数模型以及利用分类讨论思想求一次函数实际问 题中的最值.(1)设 B 类图书的标价为 x 元，利用相等关系“54