行程问题——环形路(教师版)

1、行程问题一一环形路（教师版）一、【本讲知识点】在环行道路上的行程问题本质上讲是追及问题或相遇问题*当二人（或物）同向运动就 是追及问题，追及距离是二人初始距离及环形道路之长的倍数之和；当二人（或物）反向运 动时就是相遇问题，相遇距离是二人从出发到相遇所行路程和。二、【本讲经典例题】【铺垫】如下图，两名运动员在沿湖周长为2250 X的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250 米，乙每分钟跑200米。两人同时同地同向岀发，多少分钟后甲第1次追上乙若两人同时同 地反向出发，多少分钟后甲、乙第1次相遇分析与解答：2250÷ （250-200） =2250÷50=45 （分钟），即45分

2、钟后甲第1次追上乙： 2250÷ （250+200） =2250÷450=5 （分钟），即5分钟后甲、乙第1次相遇【例1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙每分钟 跑200米。两人同时同地同向出发，45分钟后甲追上了乙。如果两人同时同地反向而跑， 经过多少分钟后两人相遇200米/分250来/分（1） （2）分析与解答：根据图（1）用追及问题公式求出环形跑道的长，因从同一点出发，距离差二跑道长。 （250-200） ×45=2250 （米）。同理，在环形跑逍上，若反向而行，从同一点岀发两人相遇所经过的路程和=跑道长。 如图（2）,

3、2250÷ （250+200） =5 （分钟）即经过5分钟两人相遇。【随堂练习1】如下图，两名运动员在沿湖的环形跑道上练习长跑。甲每分钟跑250米，乙 每分钟跑200米。两人同时同地同向岀发，54分钟后甲追上乙。如果两人同时同地反向而 跑，经过多少分钟后两人相遇200米/分250米/分分析与解答：具体分析见例题。环形跑道周长:（250-200） X 54=2700 （米）,两人相遇时间:2700÷ （250+200） =2700÷450=6 （分钟）, 即经过6分钟后两人相遇。【拓展】甲、乙两运动员在周长为400米环形跑道上同向竞走，已知乙的平均速度是每分钟 80

4、米，甲的平均速度是乙的倍，甲在乙前而200米处。问几分钟后，甲第一次追上乙 分析与解答：具体分析过程略。15分钟。【铺垫】下图是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时 出发相向而行。他俩第1次相遇时，小军泄了 50米，当他们第2次相遇时，小军走了多少分析与解答；第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从1次相遇开始到第2次相遇两人共 迫了一周长，两次共走了一周半。所以，小军从开始到第2次相遇走了 50米的3倍，即走 T 50X3=150 （米）。【例2】如下图，是一个圆形中央花园，A、B是直径的两端，小军在A点，小勇在B点，同时出发相向而行。他俩第1次在C点相遇，C点离A

5、点有50米；第二次在D点相遇，D离B有30米。问这个花园一周长多少米分析与解答：第1次相遇，俩人合起来走了半周长，从C点开始第2次在D点相遇两人共 走了一周长,两次共走了一周半。小军从A-C-D走了 50米的3倍，即走了 50X3=150（米）。 去掉BD之间的距离，就是半个圆周的长，所以一周的长度为（150-30） ×2=240 （米）。【随堂练习2】如下图，A、B是圆直径的两端点，亮亮在点A,明明在点B,相向而行。他 们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米。求圆的 周长。分析与解答：具体分析过程见例题。440米。【拓展】如下图，在一圆形跑道上。

6、小明从A点，小强从B点同时出发，相向行走。6分钟后，小明与小强相遇，再过4分钟,小明到达B点.又再过8分钟，小明与小强再次相遇。2、明B问：小明环行一周要多长时间分析与解答：这是一个相遇问题，因为两人6分钟相遇，且再过4分钟小明到达B点，所 以，小明走4分钟的路程相当于小强走6分钟的路程。从第一次相遇到再相遇小明走了4÷8=12分钟.当然小强也走了 12分钟，但他走的路程只相当于小明走8分钟的路程，再次 相遇，一立是两人合走了一圈，因此小明走一圈需12÷8=2O分钟。【铺垫】如下图三个环形跑道相切排列.每个环形跑道周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫 分别从A. B两地按箭头

7、所示方向岀发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8"字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动, 已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟17.5厘米。 问：甲、乙两只爬虫多少分钟后第一次相遇分析与解答；由题意可知，甲、乙爬虫第一次相遇走的距离是一周半，即210÷210÷2=315 厘米。所以第一次相遇所用时间为315÷ (÷) =9 (分钟)。【例3】如下图三个环形跑道相切排列，每个环形跑逍周长均为210厘米。甲、乙两只爬虫 分别从A、B两地按箭头所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动， 乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8

8、”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟厘 米。问：甲.乙两爬虫多少分钟后第二次相遇分析与解答S解法一：由“铺垫”知，甲、乙两爬虫第一 次相遇用9分钟。又知甲、乙两爬虫从第一次相遇到第二次相遇又走了一个圆周。所以第一 次相遇到第二次再相遇所用时间为:210÷ ( + ) =210÷35=6 (分钟九即甲、乙两爬虫用15(9÷6=15)分钟后第二次相遇。解法二：因为甲、乙两爬虫的速度一样，所以，甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲、乙爬 虫分别爬了 ？周，即210X-=厘米。÷=15 (分钟)，即甲、乙两爬虫15分钟后第二次相44遇。注：这种解法用到了小

9、数和分数的乘除法知识，超出了五年级学生的认知水平。【随堂练习3】如下图，三个环形跑道相切排列。甲、乙两只爬虫分别从A、B两地按箭头 所示方向出发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动，乙爬虫绕3、2号环行跑 道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度都是每分钟20厘米，甲、乙两只爬虫 爬行20分钟后第二次相遇，问每个环形跑道的周长为多少厘米分析与解答：甲、乙两爬虫第二次相遇总爬行的距离为：（20+20） ×20=800 （厘米） 由题意及图可知：甲、乙两爬虫第二次相遇时，共爬行的距离为5个半周长。所以每个环形跑道的周长为：800÷5×2=320 （厘

10、米）。【拓展】如下图，三个环行跑道相切排列，每个环行跑道周长均为220厘米。甲、乙两只爬 虫分别从A、B两地按箭头所示方向岀发，甲爬虫绕1、2号环行跑道作“8”字型循环运动, 乙爬虫绕3、2号环行跑道作“8”字型循环运动，已知甲、乙两只爬虫的速度分别是每分钟 20、15厘米。问甲、乙两爬虫第二次相遇时，甲爬虫爬了多少厘米【铺垫】有一条长500米的环形跑道，小军从跑道上某一点出发逆时针跑步，他总共跑了 5525米。问：小军是在离起点多少米处停下来的分析与解答：因为5525÷500=ll-25 （米），所以5525米相当于11圈余25米，即小军是 在离起点25米处停下来的。【例4】甲、乙

11、从360米的环行跑道上的同一地点同向跑步。甲每分钟跑305米，乙每分钟 跑275米。两人起跑后，第一次相遇在离起点多少米处分析与解答：甲第一次追上乙需用时间360÷ （305-275） =360÷30=12 （分），第一次相遇甲跑的路程305X12=3660 （米），3660米相当于10圈60米（3660÷360=1060）,所以第一次相遇在离起点60米处。【随堂练习4】甲、乙从1740米的环行跑道上的同一地点反向跑步。甲每分钟跑300米， 乙每分钟跑280米。两人同时起跑后，第一次相遇在离起点多少米处分析与解答：甲、乙第一次相遇用时间1740÷ （30

12、0+280） =1740÷580=3 （分钟），相遇时 乙跑的路程280X3=840 （米）。（注：椭圆上两点间的距离是短孤的长）所以第一次相遇离 起点840米。【拓展】如下图，沿着长为70米的正方形，按逆时针方向，甲从A出发，每分钟走65米, 乙从B出发，每分钟走72米。当乙第一次追上甲时是在正方形的哪一条边上分析与解答：由题意可知，这是乙追甲的追及问题。因此甲在乙前方70X3=210米。乙第 一次追上甲时用时间：210÷ （72-65 ） =210÷7=30（分钟）。乙追上甲时形的路程：72 × 30=2160（米）。2160= （4×7+

13、2） ×70+60 （米），即，乙走了 4圈后又跑了两条边BC、CD,在AD 距D点60米处追上甲。故，乙第一次追上甲时是在AD边上。【铺垫】甲、乙两名运动员的速度和是800米/分，速度差是WO米/分，且已知甲运动员比 乙运动员跑得快，问甲、乙两名运动员的速度各是多少分析与解答：甲运动员的速度：（800+100） ÷2=450米/分，乙运动员的速度：（800-100） ÷2=350米/分。【例5】有一条长500米的环行跑道。甲、乙两人同时从跑道上某一点岀发，反向而跑，1 分钟后相遇：如果两人同向而跑，则10分钟后相遇。已知甲跑的比乙快。问甲、乙两人每 分钟各跑多少

14、米分析与解答：甲、乙的速度和为500÷ 1=500 分。甲、乙的速度差为500÷ 10=50米/分， 所以甲的速度为（500+50） ÷2=275米/分，乙的速度为500-275=225米/分。【随堂练习5有一条沿湖的环行跑道长1120米。甲、乙两人同时从跑道上某一点出发， 如果同向而跑，25分钟相遇：如果两人反向而跑则2分钟后相遇。又已知乙比甲跑得快。 问甲、乙每分钟各跑多少米分析与解答；甲、乙两人的速度差1120÷28=4O米/分，甲、乙两人的速度和1120÷2=560 米/分.又因为乙比甲跑得快，所以，甲的速度：（560-40） 

15、7;2=260米/分；乙的速度：（560+40） ÷2=300米/分.【拓展】一个圆的周长90厘米，甲、乙两只爬虫从同一地点同时爬行，若反向而爬，10分 钟后相遇：若同向而爬，90分钟后相遇。又已知甲爬虫比乙爬虫爬得快。问甲、乙两爬虫 每秒钟各爬多少米分析与解答：具体分析过程见例题。甲爬虫5厘米/秒，乙爬虫4厘米/秒。【铺垫】小明从A点岀发，沿400米环行跑道行走，每分钟上80米，问小明第二次出现在 A点时用多少分钟（不算起始时在A点）分析与解答：小明第一次出现在A点用时间：400÷80=5 （分钟），所以第二次出现在A点用时间：5X2=10 （分钟），【例6】甲、乙两人同

16、时从A点反向出发，沿400米环行跑道行走，甲每分钟走80米，乙 每分钟走50米，这两人至少用多少分钟再在A点相遇分析与解答：甲第一次岀现在A点用时间400÷80=5 （分钟），以后每隔5分钟就会出现在 A点一次：乙第一次出现在A点用时间400÷50=8 （分钟），以后每隔8分钟就会出现在A 点一次。如下表：第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次第八次甲出现 在A点 时 间（分）5101522025303540乙出现 在A点 时 间（分）81624340485664由上表可知，当40分钟时，甲、乙同时第一次出现在A点。注：此题也可用最小公倍数的知识解答。【随堂练习6】有一

17、条长480米的环行跑道，甲、乙两人同时从跑道上的A点同向岀发行走,甲每分钟走60米，乙每分钟走80米。这两人至少用多少分钟再在A点相遇分析与解答；具体分析过程见例题。甲回到A点用的时间:480÷60=8 （分钟）：乙回到A点用的时间:480÷80=6 （分钟）。（8和6的最小公倍数是24.故，这两个人至少24分钟用再在A点相遇。【拓展】有甲、乙、丙三个人，甲每分钟走120米，乙每分钟走100米，丙每分钟迫70米。 如果三个人同时同向从同地出发，沿周长是300米的圆形跑道行走，那么多少分钟后，三个 人又可以相聚分析与解答：设X分钟后，三人又可以相聚。由题意知，甲、乙相聚时，他

18、们行走的路程 差恰好是300米的整数倍，即（120-100） ×X=300n （n 是正整数）类似的有（120-70） ×X=300m （m是正整数）（100-70）×X=300p （P 是正整数）解得，X=15n;, X=Gm； , X=IOp:要想三人再次相聚，X必是15、6、20的公倍数，取他们 的最小公倍数15、 10、 6） =30即，30分钟后三人再次相聚。【铺垫】小红在400米长的环行跑道上跑了一圈，已知她前一半时间每秒跑4米，后一半 时间每秒跑6米，那么小红跑一圈需要多长时间分析与解答：小红跑一圈所用时间的一半是400÷ （4+6）=40

19、（秒），所以小红跑一圈需要40X2=80 （秒）。【例7】小明在360米长的环行跑道上跑了一圈，已知他前一半时间每秒跑5米，后一半时 间每秒跑4米，那么小明后一半路程用了多长时间分析与解答：小明前一半时间：360÷ （5+4） =40 （秒），小明前一半时间跑的路程：5X40=200 （米），小明后一半时间跑的路程：4X40=160 （米）。J所以小明后一半路程的180米（360÷2=180）中，前20米（180-160=20）的速度是5 米/秒，剩余的160米路程的速度是4米/秒。故小明后一半路程用的时间为20÷5+160÷4=4+40=44 （秒）。

20、【随堂练习7 一条环行跑道长30千米，一辆汽车沿着该跑道跑了一圈。已知该汽车前一 半时间每分钟跑2千米：后一半时间每分钟跑1千米，那么该汽车前一半路程用了多少分钟 分析与解答：该汽车前一半时间30F （2+1） =10 （分钟），该汽车前一半时间跑的路程2X10=20 （千米），该汽车后一半时间跑的路程1X10=10 （千米），所以，该汽车前一半路程15千米（30÷2=15）所用的速度都是2千米/分。故，该汽车前一半路程用的时间为15÷2=（分）。A【拓展】绕湖一周30千米，小刘绕湖走了一周，已知他前一半的时间的速度是4千米/小时， 后一半的时间的速度是6千米/小时，那么小

21、张前一半路程用多少时间 分析与解答：具体分析见例题。小时。【铺垫】在周长为200米的圆形跑道上一条直径的两端，甲、乙两人分别以6米/秒、5米/ 秒的速度同时同向出发，沿跑道行进。问：6分钟内，甲能否追上乙两次分析与解答：甲第一次追乙时相距：200÷2=100 （米）。故,甲第一次追上乙用的时间:100÷ （6-5） =100 （秒）：甲第二次追乙时相距：200米。故，甲第二次追上乙用的时间：200÷ （6-5） =200 （秒）。200+100=300秒=5分钟6分钟。所以，6分钟内，甲能追上乙两次。【例8】在周长为200米的圆形跑道一条直径的两端，甲、乙两人分别

22、以6米/秒，5米/秒 的速度同时同向出发，沿跑道行驶。问：16分钟内，甲追上乙多少次分析与解答：由"铺垫”知，甲第1次追上乙所用的时间是200秒。甲第二次追上乙所用的时间200 ÷（6-5） =200秒，且以后每隔200秒追上一次。又，16分钟=960秒，除去甲第1次追上乙用去100秒，剩余的时间内甲又追上乙4次 （960-100） ÷200=860÷200=4-60a故，16分钟内，甲追上乙5次。【随堂练习8在周长400米的圆形跑道一条直径的两端，李明与王军分别以4米/秒，5 米/秒的速度同时同向出发前行。问20分钟内，两人相遇多少次分析与解答：&第1次相遇用的时间:400÷2÷ （5-4） =200秒：第2次相遇用的时间：400÷ （5-4） =400秒，且以后每隔400秒相遇一次。又，20 分钟=1200 秒,（1200-200） ÷400=2200 秒。故，20分钟内两人相遇了 2+23次。【拓展】在400米环行跑道上，A、B两点相距100米。甲、乙两人分别从A、B两点同时 出发，按逆时针方向跑步。甲每秒跑5米，乙每秒跑4米。问30分钟内，甲追上乙多少次 分析与解答：甲第一次追上乙用的时间：100÷ （5-4） =100 （秒）甲第二次追上乙用的时