奥数专题：蝴蝶定理

1、A蝴蝶定理知识点定理1:同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。Si : S2 = a : b定理2:等分点结论(鸟头定理)如图，三角形 AAED的面积占三角形 AABC的面积的3 135 420定理3:任意四边形中的比例关系 (蝴蝶定理)1) Si：S2=S4：S3或Six S3 = S2XS4上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积2) AO： OC = (S1+S2) : ( S4+S3)梯形中的比例关系(梯形蝴蝶定理)1) Si ： S3 =a2 : b2上、下部分的面积比等于上、下边的平方比2)左、右部分的面积相等3) S1 ： S3 ： S2 ： S4

2、=a2 : b2 : ab ： ab4) S的对应份数为(a+b) 2定理4：相似三角形性质abch1)一一一一ABCH2)Si : S2 = a2 : A2定理5:燕尾定理SAABG : SAAGC = SA BGE : SAGEC = BE ： ECSABGA : SA BGC = SAAGF : SAGFC = AF ： FCSAAGC : SA BCG = SA ADGSADGB = AD ： DB例题分析例1、如图，AD多少平方厘米？DB, AE EF FC ,已知阴影部分面积为 5平方厘米，ABC的面积是例2、有一个三角形 ABC的面积为1,如图，且ADAB111-AB,BE-BC

3、 , CF-CA,234三角形DEF的面积.例3、如图，在三角形 ABC中，D为BC的中点,1上的一点，且BE=AB,已知四边形 EDCA勺面积是35,求3形ABC的面积.例4、例1如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）例5、两条对角线把梯形 ABC防割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示）另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）例6、如下图，图中 BO=2DO阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形 ABCM面积是多少平方厘米?例7、（小数报竞赛活动试题）如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD ,被对角线 AC、BD分成四个部分， 4AOB面积为1平方千米，BOC

4、面积为2平方千米, COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？例8、如图：在梯形 ABCD中，三角形 AOD的面积为9平方厘525平方厘米，求梯形 ABCD的面积。D90 25例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O （如图）所示。1 一如果三角形ABD的面积等于三角形 BCD的面积的-,且3AO 2, DO 3,那么CO的长度是DO的长度的 倍。例10、左下图所示的 口 ABCD勺边BC长10cm,直角三角形 BCE的直角边EC长8cm,已知 两块阴影部分的面积和比 EFG的面积大10cn

5、f,求CF的长。例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少?例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是 分的面积。10厘米和12厘米，求阴影部甲L例13、如图，大正方形 ABCM边长为6,依以下条件求三角形 BDF的面积。例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分 别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？1S30例15、如下图，已知 D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且 ADG的面积比EFG的面积大6平方厘米。ABC的面积是

6、多少平方厘米 ？练习题1、如图，四边形 ABCD43, AC和BD相交于。点，三角形ADO勺面积=5,三角形DOC勺面积 =4,三角形 AOBW面积=15,求三角形BOC勺面积是多少？ CED的面积是2、如图所示，BD, CF将长方形 ABCM成4块， DEF的面积是4 cm6cm2。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米?344题国，-113、如右图BE=- BC, CD AG那么二角形 AED的面积是二角形 ABC面积的4.如图，ABCD是直角碎 如=5JB米，此=3匣米，三角形!）«的面积是L5平 方厘米，则明导部分的面积是平方厘米.5、如图所示，已知 ABCD长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2,三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形 ABE的面积是多少平方厘米?6、如右图，ABCD是梯形，ABED是平行四边形，己知三角面积如下图所示（单位：平方厘米），阴影部分的面积是多少平方厘米。7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形的面积大30平方厘米，求 DE的长是多少？BCABC的面积，比直角三角形（CDEcm2, P是BC上任意一点，P到8、已知 ABC中，AB AC 12cm,