分式典型易错题难题

1、分式一分式的概念一般地，如果 A , B表示两个整式，并且 B中含有字母，那么式子 A叫做分式.B整式与分式统称为有理式.在理解分式的概念时，注意以下三点：分式的分母中必然含有字母；分式的分母的值不为 0;分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开.与分式有关的条件 分式有意义：分母不为 0 ( B - 0) 分式无意义：分母为 0 ( B =0)分式值为0:分子为0且分母不为0A =0)B = 0分式值为正或大于 0:分子分母同号A：0)B：0分式值为负或小于 0:分子分母异号从或B <0'AcO)B>0 分式值为1分子分母值相等(A=E) 分式值为-1 :分子分母值

2、互为相反数(A+B=0)增根的意义：(1)增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。 的根。(2)增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式?1 , X(x 2), t 3x2 -2x 1x -12x 4x5a , 2m ,2x+13 x3x 2x -1 na3 a3a【例2】代数式2 2x X 1 X 1 a b 13 2x x 12A.1 个 B.1个 C.1 个2 23 a b abm n , xy中分式有(y 23D.1 个练习：12 2下列代数式中：,1y；a_b,x 匚,丄丄，是分式的有:兀 2Ja +b x+y x_y二

3、、分式有意义的条件【例3】 求下列分式有意义的条件：1丄 _Jxx 亠 32a - b m T【例4】x为何值时，分式 一1一 有意义？11 -1 x x yx - 2x -8要使分式 一没有意义,1 +3a1 -2a1【例5】x为何值时，分式 有意义?2+-2 xx为何值时，分式x2 9x - 3求a的值.有意义？【例6】若分式x| 250有意义，则若分式250 xx -250无意义，则250 x【例7】若分式x2 -16(x 3)(x4)有意义，则若分式x2 -16(x -3)(x 4)无意义，则练习：当x有何值时，下列分式有意义1、（ 1）T（ 2）（ 3）x +4x2 +22(5)2、

4、要使分式空有意义，则x须满足的条件为x 33、若至有意义，则 3a （）.3 -a3 |a|A.无意义 B.有意义 C. 值为0 D.以上答案都不对4、x为何值时，分式 x 9有意义?1丄3 +x、分式值为零的条件【例8】当x为何值时，下列分式的值为0?x -1x 1【例9】2x 2x -3x -1：2x 2x(7)巳 11x +4(8)X2 2x 3(x 1)(x2)如果分式 匚3x 2的值是零，那么x 1x的取值是【例10】x为何值时，分式9分式值为零?练习：1、若分式 4的值为0,则x的值为x 12、 当x取何值时，下列分式的值为0.(1)x -1x 3(2)|x| -2x2(3)-42

5、x2 -5x -625-x22x 6x 5(5)2x -1x 3(6)lx -62x 5x 6(7)x2 -16x 3x 4(8)8xx28(9)25 -x2(x-5)2(10)(x_8)(x 1)x-1四、关于分式方程的增根与无解(二)原方程化去分母后的它包含两种情形：(一)原方程化去分母后的整式方程无解;整式方程有解，但这个解却使原方程的分母为0,它是原方程的增根，从而原方程无解现举例说明如下:【例11】解方程 2x 2【例12】4x 3x2 -42解方程二空2 .x+22 + x【例13】例3若方程_ = m 无解，则m=.x2 2x【例14】(1)当a为何值时，关于x的方程_?異 L会

6、产生增根X2 x -4 x+2(2)若将此题“会产生增根”改为“无解” ,即: a为何值时，关于x的方程22ax无解?X2 x-4 x+2练习：x 1k1、当k为何值时，方程 - = 会出现增根?x 3 x 33 ax +32、已知分式方程y2有增根，求a的值。3、分式方程 芒 m L有增根x =1，贝U m的值为多少?X 1 X 1 X +142x + a4、a为何值时，关于 x的方程一 二有解?x1Xx（x 1）5、关于x的方程一 -2= m 有一个正数解，求 m的取值范围。x 3x 326、使分式方程 _一2=产生增根的m的值为x 3 x 32 mx7、当m为何值时，去分母解方程 x-2

7、 +芦=0会产生增根。、1 k4x8、若方程 k 1 -巴会产生增根，则（）x +2 x -2 x -4A、k - -2 B、k=2 C 、k= 2 D、k 为任何实数9、若解分式方程2x m 1x 1 x2 xx亠1二-产生增根，则xm的值是（A. 1 或一2 B.1 或 2 C. 1 或 2D. 1 或一210、已知关于x的方程2 -旦有负数解,x -'33 xm的取值范围。2x m111、当m为何值时，关于 x的方程2 -三厂巴=1 * 无实根xx -xx1分式二分式的基本性质及有关题型1.分式的基本性质:A _A MB _ B MA-：M B “M（M不为0）2 .分式的变号法

8、则:-a_b "b _b b【例15】分式基本性质:(1)(3)abb(2)x3x 亠xy x亠yx y x2 xy2 2x y x 2xy y【例16】分子、分母的系数化为整数不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数(1)1x 1y34(2)0.2a 0.03b0.04a b(3)0.03x-0.2y0.08x + 0.5y30.4ab5练习：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数. 1.03x 0.02y3.2x 0.5y32xy43_15xy32【例17】分子、分母的首项的符号变为正号不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号(1 )3(2

9、)-aa - b(3)b练习:-a -1 .2a -2-a3a2 -5【例18】未知数同时扩大或缩小相同的倍数1、若x , y的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化?口孕x yx _yx y2、若x , y的值都缩小为原来的 】，下列分式的值如何变化？3（1） 2X 3y（2） 2Xy（3）爲3x -2y4x 5yx +yx+y练习：A _B. xyC. 4D.三y1 如果二=3,则王二=（）y y2.如果把的x与y都扩大10倍，那么这个代数式的值（）A.不变B.扩大50倍C.扩大10倍D缩小到原来的川3.若分式 厂中的a、b的值同时扩大到原来的 10倍，则分式的值（）a+bA.是原来的2

10、0倍B.是原来的10倍C是原来的一D.不变I |104.如果把分式中的x和y的值都缩小为原来的 一，x+y3那么分式的值（）A扩大3倍B.缩小为原来的3C.缩小为原来的D不变5.如果把分式中的x和y都扩大为原来的4倍，那么分式的值（）x+yA.扩大为原来的4倍缩小为原来的-4C.扩大为原来的16倍D.不变6.若把分式"中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（）2zyA.扩大3倍B.缩小3倍C.缩小6倍D .不变7.如果把2y 中的x和y都扩大5倍，那么分式的值（）2x 3yA扩大5倍 B 不变C 缩小5倍 D 扩大4倍8、若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是

11、（3x2y22y2磴D、驾2y2y2【例19】直接通分化简1、已知：丄丄=5,求2x 3xy 药 的值.x yx+2xy+y2、已知:=3，求2a 亠3ab -2bb . .ab . .a的值3、若 1 -1a_ b1ba,贝U3的值是多少?a b a b练习：!、已知丄1=7，求x八细x yx + y +5xy2、已知，求2a 3曲一加的值a ba -2abb3、已知1 丄=5，求2x 一3xy 2y的值.（8分） x yx +2xy + y- 1 o 14、已知：x - =2，求x2 的值.Xx25、如果-a b、 11【例20】先化简成x+或x，再求值xx1111、若 x2 -3x +1

12、 = 0，求 x+ ，x'+ , x 的值xxx2、已知:a2 -3a “ =0，试求（a211）（a _）的值. a2a3、已知:1 2x =3，求的值.xx4 x2 1练习已和 ai_ 3a+l=0（己知工+丄:=4.求二的值已知:1X- 一=2 ,+ -T- + 1【例21】利用非负性求分数的值1、若 |x -y 1 | （2x -3）2 =0，求 一1一 的值.4x2y2、若a2 2a »2低10二。，求刖的值.练习：若|x-y化-3)0，求吉的值.若 a2 4a b2-6b 13=0，求 a _3b 的值.3a+5b【例22】求待定字母的值1若1严=上 N，试求M,

13、N的值. x2 -1 x 1 x -12、已知： 5x 4A ，试求A、B的值.(x_1)(2x_1)x_1 2x_1练习:1、已知:2x - y 2xy - y2 2 2 2x -y x y x -y2、若已知B 2x 3x 1 x -1 x2（其中-1A B为常数），贝U A=,B=【例23】较难分式化简求值1(x -1)(x 1)(x 1)(x 3)(x 3)(x 5)+1+o + 1)( + 2)(« + 2)(° + 3)(v + 2007)( + 200W(x + l)(x+3) + (J + 3)( + 5)练习:1 + 1x2 + 3x + 2 x2 + 5

14、x + 61J十十12I11(jc-1Xx + 1) + (x +1X + 3) +(i + 3Xj+5)【例24】代数式值为整数1、当a为何整数时，代数式44 的值是整数，并求出这个整数值a 22、当a为何整数时，代数式399a 805的值是整数，并求出这个整数值a 2练习：1、当a为何整数时，代数式18的值是整数，并求出这个整数值3a-22、当a为何整数时，代数式19a65的值是整数，并求出这个整数值a 3分式三一.分式的意义及分式的值2x + aab的值时多少?例题1、当x=3时，分式a的值为0，而当x=2时，分式无意义，则求5x3b例题2、不论x取何值，分式总有意义，求 m的取值范围。

15、x -2x m.有条件的分式的化简求值（一）、着眼全局，整体代入2 2的值.例 3、已知 a 2b = 2006，求 3a 12ab 12b 2a +4b例4、已知1 _1 = 3 ,求2x 3xy -2y的值.x yx 2xy _ y、巧妙变形，构造代入例5.已知a, b, c不等于0，且a b 0，+111111、求 a( ) b( ) c( )的值.b caca b例6.若b+1, c+ i=1，求咛三、参数辅助，多元归一例7、已知乞，求xy yz zx的值。234 x+y+z四、打破常规，倒数代入1x2例8、已知x 4，求二 2 的值.xX4 +x2 +1例9.已知aba b1,求ab

16、cab ac bc的值.（五）活用（完全平方）公式，进行配方例 10.设实数 x, y满足 x2 y2 8x 6y 25 = 0，求x2 4y2x2 4xy 4y2的值。x 2y(六)大胆消元，解后代入3m _2b +5c例 11.已知 a+ b c=0, 2a b+2c=0(c 丰0),求的值.5a 3b + 2c三无条件的分式的求值计算例10.计算:1+a(a 1)1+(a 1)(a 2)1(a 2)(a3)1(a 2005)(a 2006)2 2例题11、计算22-(x+1)(x+3) (x + 3)(x+5)2(x 2007)(x2009)四.分式方程的无解及增根(1) 给出带参数的分

17、式方程求增根例12.关于x的方程上 磐 3有增根则增根是()x-2 x-4x + 2A 2 B.-2 C.2或-2 D. 没有(2) 已知分式方程的增根求参数的值例13.分式方程 m 有增根x = 1，则m的值为多少?x T x T x +1(3) 已知分式的的有增根求参数值3 ax +3例14.已知分式方程2有增根，求a的值。x x 1(4) 已知分式方程无解求参数的值例15 (2007湖北荆门)若方程 匕3二旦 无解，则m=x22x例16.当a为何值时，关于x的方程2 ax+x - 2 X2 - 4无解?(5) 已知分式方程解的情况求参数的范围例17.已知关于x的方程 有负数解，求m的取值

18、范围x 33 x五.阅读理解型问题例18.阅读下列材料方程 -= 的解为 x=1,方程 - 的解为 x=2,x+1x x2 x3x x1 x3 x4方程的解为x=3,x 1x 2 x 4 x 5(1) 请你观察上述方程与解的特征，写出能反映上述方程一般规律的方程，并求出这个方程的解(2) 根据(1)中所求得的结论，写出一个解为一5的分式方程.例19.阅读下列材料111关于 x的分式方程 xH=cH 的解是 X1=c, X2=;xcc11刚-1-11x =c ，即x+_C+的解是X1-c , X2xcxcc222x+=c + 的解是X1=C,X2-；xcc33 ,3x+=c + 的解是X1=c,

19、X2-.xcc(1) 请观察上述方程与解的特征,比较关于x的方程x+ m =c + m (mM0)与它的关系，猜想它的解是什么x c并利用方程解的概念进行验证.(2) 由上述的观察，比较,猜想,验证可以的出结论；如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程右边形式与左边的完全相同，只是把其中未知数换成某个常数.那请你利用这个结论解关于2 2x 的方程:x + =a+x-1 a -11、若方程X-81-8有增根，则增根是。x -77 -X2、m取时，方程xmX2 - m会产生增根；x3x -33、若关于x的方程X 一 a二£ 有解，则必须满足条件（）b - xdA. a丰 b ， c

20、m d B. a工 b ， c 工-d C.a 工-b , c 工 d C.a 工-b , c 工-d4、若分式方程13- a 一 X有增根，则a的值是x-2a x5、当m=时,方程x2m会产生增根.x - 3x - 3x -316、若方程L =4有增根，则增根是x-22-x1 k 47、关于x的分式方程2 有增根x=-2，则k= .x2x+2x-48 .关于x的方程3一2x + 2 FX = _1无解，m的值为x 33 x9.若a使分式a -4没有意义，那么a的值是（ 1+也2a10.分式11.分式A、12.已知1或0二有意义，那么a的取值范围是1 一1|aex? _5x _6的值为°，则x的值为（A、0B、3x 2|或B 或2C、-号23233x 一1的值是-1，那么x的值是4C、1_gx13.已知 ab =0，a2曲丸，那么記的值为14.已知x _ y _ z2 一3 一4，2 2 2则X -2y 3z的值是15.已知16.已知xy 2yz 3xz2 2 2 x=y