21.2 一元二次方程的根与系数的关系 课件

1、21.2.4 一元二次方程的根与系数一元二次方程的根与系数的关系的关系1.1.一元二次方程的解法一元二次方程的解法2.2.求根公式求根公式复习提问复习提问旧知回顾一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的求根公式： x=aacbb242(b2-4ac 0)填表，观察、猜想填表，观察、猜想 方程 x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 x2-2x+1=0 1,121x2+3x-10=02,-5-3-10 x2+5x +4=0-1,-4-54问题：你发现什么规律？用语言叙述你发现的规律； x2+px+q=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律. 探究新知根与系数关系根与系数关系 20p

2、x qx 如果关于如果关于x的方程的方程的两根是的两根是 , ,则则:x1x2pxx 21qxx 21如果方程二次项系数不为如果方程二次项系数不为1 1呢呢? ? 方 程x1, x2 x1,+ x2 x1. x2 2x2-3x-2=0 3x2-4x+1=0 问题：上面发现的结论在这里成立吗？请完善规律；用语言叙述发现的规律； ax2+bx+c=0的两根x1, x2用式子表示你发现的规律：一元二次方程的根与系数的关系：如果方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根是x1 , x2 ,那么 x1 + x2 = x1 x2= ba- -ca（韦达定理）（韦达定理）注：能用根与系数的关系的前提条件为b2

3、-4ac0探究归纳韦达（韦达（15401603） 韦达是法国十六世纪最有影响的数学家之一.第一个引进系统的代数符号，并对方程论做了改进. 他生于法国的普瓦图.年青时学习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会的议员，在对西班牙的战争中曾为政府破译敌军的密码.韦达还致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂，带来了代数学理论研究的重大进步.韦达讨论了方程根的各种有理变换，发现了方程根与系数之间的关系（所以人们把叙述一元二次方程根与系数关系的结论称为“韦达定理”）. 韦达在欧洲被尊称为“代数学之父”. 一元二次方程根与系数关系的证明：一元二次方程根与系数关系的证明：a

4、acbbx2421aacbbx2422x1 + x2 =aacbb242aacbb242+=ab22=ba- -x1 x2 =aacbb242aacbb242=242)42(2)(aacbb=244aac=ca1、 x2 - 2x - 1=02、 2x2 - 3x + =03、 2x2 - 6x =04、 3x2 = 421x1+x2=2x1x2=-1x1+x2=x1+x2=3x1+x2=0 x1x2=x1x2=0 x1x2= -234134小试身手例例1根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根方程两个根 x1，x2 的和与积：的和与积：（1）

5、 x 2 - 6x - 15 = 0（2）3x 2 + 7x - 9 = 0（3）5x - 1 = 4x 2 x1 + x2 = 6x1 x2 = -15x1 + x2 =x1 x2 = -3x1 + x2 =x1 x2 =735414例题探究例例2、已知已知3x2+2x-9=0的两根是的两根是x1 , x2 . 求：求：(1) (2) x12+x222111xx解：解：由题意可知x1+x2= - , x1 x2= -323(1)2111xx= 2121xxxx =332=92(2) (x1x2)2 x12+x22 2x1x2x12+x22 (x1x2)2 -2x1x2(- )223 -2(-

6、3)649变式变式 练习：练习： 设x1，x2是方程2x2+4x- 3=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值.) 1)(1(21xx2112xxxx（2） （1）（3）（x1- x2）2例例3、已知方程已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2 , 求它的另一个根及求它的另一个根及k的值的值.解：解：设方程的另一个根为x1.把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0解这方程，得 k= -2由根与系数关系，得x123k 即 2 x1 6 x1 3答：方程的另一个根是3 , k的值是2.解二：解二： 设方程的另一个根为x1.由根与系数的关系，得x1 2= k+1x1

7、 2= 3k解这方程组，得x1 =3 k =2答：方程的另一个根是3 , k的值是2.例例3、已知方程已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是的一个根是2 , 求它的另一个根及求它的另一个根及k的值的值.1、已知方程3x219x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.解：解：设方程的另一个根为x1,319则x1+1= , x1= ,316又 x11= ,3m m= 3x1 = 16 课堂练习2、设x1,x2是方程2x24x3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.解：解： 由根与系数的关系，得x1+x2= -2 , x1 x2=23 (x1+1)(x2+1) = x1 x2

8、+ (x1+x2)+1 =-2+( )+1=32251、当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.解：设方程两根分别为x1,x2(x1x2)，则x1-x2=1 (x2-x1)2=(x1+x2)2-4x1x2由根与系数的关系得x1+x2= , x1x2=21k23k12342)21(kk解得k1=9,k2= -3当k=9或-3时，由于0，k的值为9或-3.拓展探索2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且x12+x22=4，求k的值.解：由方程有两个实数根，得0242) 1(4kk即-8k+4021k由根与系数的关系得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4由x12+x22 =4，得2k2-8k+44解得k1=0 , k2=4经检验， k2=4不合题意，舍去. k=0 通过本节课的学习你学到了那些知识？通过本节课的学习你学到了那些知识？一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程的根