2020年河北省衡水市高二(下)期中数学试卷(文科)

1、期中数学试卷（文科）题号一一二总分得分一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）1. f是虚数单位，,-=（）A. :B. - 一万C. D. 2.已知点P的极坐标是（1,兀），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是（A. p=1B. p=cose C.D. p 烹4.x0123y1357则y与x的线性回归方程3. 已知x与y之间的一组数据=bx+y a必过点（）A. （2, 2B. （1.5, 4）C. （1.5, 0）下列各式中，最小值等于2的是（）D. (1, 2)A.a CR+,且a +、夕工。亚+ y恒成立,5.若 x, V,A. 3m浦 + 加 D. 2x+2-x则a的最小值是

2、（）B.1C.di第13页，共12页6 .直线二；二，（t为参数）与圆p =2cos的位置关系为（）A.相离B.相切C.相交D.无法确定7 . 直线l: y+kx+2=0与曲线C： p=2cos侑交点，则k的取值范围是（）A. kw；B. k=C. kCRD. kCR但 k*O8 .函数：在区间（2, +8）上单调递增，那么实数a的取值范围是（）A. 0< a<2B. 0< a<4C. a>4D. a<4才："Il （ 0为参数）,直线的方程为（t为参数）则直线与圆的位置关系是（）A.相交过圆心B.相交而不过圆心C.相切D.相离10 .为使关于x的

3、不等式|x1|+X2| 42+a+i（aeR）的解集在R上为空集，则a的取 值范围是（）A. （0,1）B. （-1,0）C. （1,2）D.（巴1）11 .已知c是椭圆（ +1（口人，0：的半焦距，则 彳的取值范围是（）A. （1, +00）B. 1$. +8）C. （1,遂） D. （1,4212 .设b>a>0,且P= 4,Q=A, M=砸，N哼，R=E?,则它们的大小关系 是()A. PvQvMvNvRB. Qv PvMvNvRC. PvMvNvQvRD. PvQvMvRv N二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13 .不等式|2x-1|-|x-21V 0的解集为 .

4、14 .设P (x, y)是曲线C:=蓝泮(。为参数，0< k2兀)上任意一点，则:的取值范围是 .15 .设x"则函数¥ ="当14的最小值是16 .已知x>0, y>0,若也+”>m2+2m恒成立，则实数 m的取值范围是 工 y三、解答题(本大题共 6小题，共70.0分)17 .解不等式：|x+1|+|x-2|vx2+1 .18 .已知某圆的极坐标方程为任4f泛p coS氏)+6=0,求：(1)圆的标准方程和参数方程；(2)在圆上所有的点(x, y)中x?y的最大值和最小值.19 .已知函数 f (x) =|x-a|.(1)若不等式f

5、(x) W 3的解集为x|-1aW5,求实数a的值；(2)在(1)的条件下，若f (x) +f (x+5)油对一切实数x恒成立，求实数 m的 取值范围.20 .某班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数 据如下表所示：积极参加班级工作不太主动参加班级工作合计学习积极性高18725学习积极性一般61925合计242650(1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？(2)试运用独立性检验的思想方法点拨：学生的学习积极性与对待班级工作的态 度是否有关系？并说明理由.(参考下表

6、)p （K2 次）0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001ko0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.78910.82821 .已知椭圆1(口 A h A 0)的离心率为；F, 分别是椭圆的左、右焦点, 直线士过点杵与椭圆交于4、B两点，且4B的周长为弧2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在直线使的面积为:？若存在，求出直线1的方程；若不存在, 请说明理由.22 .已知 f (x) =ln (x2+1) - (ax-2).(1)若函数f (x)是R上的增函数，求a的取值范围;(2)若同1,求f (

7、x)的单调增区间.答案和解析1 .【答案】D【解析】【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轲复数，化简即可.本小题考查复数代数形式的乘除运算，基础题.【解答】解:Si(2 + t) Si(2+i),故选D.2 .【答案】C【解析】 解：点P的直角坐标是（-1,0）,则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是 x =-1 ,化为极坐标方程为p cos 0工即，二-三,，故选：C.利用点P的直角坐标是（-1,0）,过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是x =-1,化为极坐标方程，得到答案.本题考查参数方程与普通方程之间的转化，得到过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是x =-1 ,是解题的关键.3.【答案】

8、B1 1【解析】 解：由题意， 喏 （0+1+2+3） =1.5,歹=（1+3+5+7） =4.x与y组成的线性回归方程必过点（1.5, 4）故选：B.先分别计算平均数，可得样本中心点，利用线性回归方程必过样本中心点，即可得到结 论.本题考查线性回归方程，解题的关键是利用线性回归方程必过样本中心点.4 .【答案】D【解析】 解：A不正确，例如x, y的符号相反时，式子的最小值不可能等于2.B不正确，.蓑学”，J =，+4+7" 但等号不可能成立，故最小值不是 2.C不正确，当tan出。时，它的最小值显然不是 2.D正确，.2x+2-x=2x+*>2,当且仅当x =0时，等号成立

9、，故选D.A不正确，例如x, y的符号相反时；4 5+ 4） + 11-7 IB不正确，由于 护;4=+ * =也 + 4+JZ但等号不可能成立；C不正确，当tan出。时，它的最小值显然不是 2；D正确，因为2x+2-x=2x+>2当且仅当x=0时，等号成立.本题考查基本不等式的应用，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是 一种简单有效的方法.5 .【答案】B【解析】解：由题意x, y, a R+,且工+招£ 口也+，恒成立故有 x+y+2xya2 （x+y）即a2-l区a?-1解得a冠2则a的最小值是嫄 故选：B.先对不等式两边平方，整理成 B一1之 富,再求出

10、黑的最大值，令其小于等于 a2-i即 可解出符合条件的a的范围，从中求出最小值即可.本题考点是不等式的综合，综合考查了利用不等式的性质与基本不等式求不等式恒成立 问题中的参数的取值范围， 求解本题的关键是将不等式变形分离出常数，且分离后变成可以应用基本不等式的形式.6 .【答案】B【解析】解：直线【y = 1 +九，（t为参数），消去参数得直线的普通方程为：3x+4y+2=0 ,圆p =2cos的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0 ,圆心为（1, 0）,半径r=,"4=1,圆心（1, 0）到直线的距离 d：；：； =1 = r,.直线|y = 1 + 3! , （ t为参数）与圆P

11、 =2cos的泡置关系为相切.故选：B.求出直线的普通方程为：3x+4y+2=0 ,圆的直角坐标方程为 x2+y2-2x=0 ,圆心为（1,0）, 半径r=1,再求出圆心（1, 0）到直线的距离 d=1 = r,由此能求出结果.本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查参数方程、直角坐标方程、普通方程的互化等基础知识，考查学生的空间想象能力，是中档题.7 .【答案】A【解析】解：由曲线C： p=2cos犯为 抬2 p cos, 9x2+y2=2x,化为(1+k2) x2+ (4k-2) x+4=0.直线l与曲线C由交点，0. . (4k-2) 2-16 (1 + k2)化为 16kV12,.*的取

12、值范围是：k < 故选：A.把曲线C: p=2cos娈形为 声=2 p cos,毗为直角坐标方程 x2+y2=2x,与直线方程联立化 为关于x的一元二次方程，利用 >（）解出即可.本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的交点问题转化为方程联立得到一元二次方程的实数根与判别式的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题.8 .【答案】D>0在（2, +8）上恒成立,(x)(x) =1- =f （x）=宁封0在（2,【解析】解：根据题意，函数f= x + 其导数f' 若二戈+ ：在区间（2, +8）上单调递增，则f，则有a2在（2, +2）上恒成立, 必有a<

13、;4故选：D.根据题意，求出函数的导数，由函数导数与单调性的关系可得 + 8）上恒成立，变形分析可得答案.本题考查函数的单调性的判断、性质以及应用，注意函数单调性判断的方法，属于基础 题.9 .【答案】B【解析】【分析】把圆的方程及直线的方程化为普通方程，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d,判定发现d小于圆的半径r,又圆心不在已知直线上，则直线与圆的位 置关系为相交而不过圆心.此题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线与圆的位置关系，其中直线与圆的位置关系有：（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）0qvr,直线与圆相交；d=r,直线 与圆相切；d>r,直线与圆相离.【解

14、答】解：把圆的参数方程化为普通方程得：（x+1） 2+ （y-3） 2=4,.圆心坐标为（-1,3）,半径r=2,把直线的参数方程化为普通方程得：y+1=3 （x+1）,即3x-y+2=0,I-3- i + 21 人而.圆心到直线的距离 d= 一一一三<r=2,又圆心（-1, 3）不在直线 3x-y+2=0上，则直线与圆的位置关系为相交而不过圆心.故选：B10 .【答案】B【解析】解：不等式|x-1|+|x-2| 92+a+1 (aCR)的解集在R上为空集？ |x-1|+|x-2|>a2+a+1(aCR)恒成立? a2+a+1 <(|x-1|+|x-2|)min；因为 |x-

15、1|+|x-2户x(-1)-(x-2)|=1,当且仅当时，等号成立.所以(|x-1| + |x-2|)min = 1,所以 a2+a+i v 1,解得：-1 < a< 0.所以a的取值范围是(-1,0),故选：B.依题意，|x-1|+|x-2|42+a+i的解集在R上为空集? |x-1|+|x-2|>a2+a+1 (aCR)恒成立? a2+a + 1v(|x-1| + |x-2|)min,利用绝对值三角不等式的几何意义易求(|x-1| + |x-2|)min,从而解不等式a2+a+1<1即可.本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与恒成立问题，考查绝对值三角不等式

16、的几何意义，属于中档题.11 .【答案】D【解析】解：椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，两直角边 分别为b、c,斜边为a,由直角三角形的2个直角边之和大于斜边得：b+c>a,.科 1,又上 2=工1=2、<2,故选：D.利用椭圆的中心、一个短轴的顶点、一个焦点构成一个直角三角形，运用勾股定理、基本不等式，直角三角形的 2个直角边之和大于斜边，便可以求出式子的范围.本题考查椭圆的简单性质、基本不等式、及直角三角形的2个直角边之和大于斜边.12 .【答案】A【解析】解：Q为调和不等式，M为几何不等式，N为算术平方数，R为平方平均数， 由均值不等式性质可知四种平均数

17、满足调和不等式矶何不等式喙术平方数厘方平均数. Q< Mv Nv R 11 1.涔. PvQ 故选A.根据均值不等式的基本知识可知Q为调和不等式，M为几何不等式，N为算术平方数，R为平方平均数，进而可判断出Q, M, N, R的大小，根据均值不等式的性质可知片的大小，进而可判断出 PvQ最后综合答案可得.本题主要考查了均值不等式的应用.考查了考生对均值不等式的基本公式和变形公式的把握.13 .【答案】x|-1vxv 1【解析】解：|2x-1Hx-2|v0移向得：I 2x-1 I < I x-2 I两边同时平方得(2x-1) 2V (x-2) 2即：4x2-4x+1 < x2-

18、4x+4 ,整理得：x2<1,即-1vxv1故答案为：x|-1vxv 1.首先分析题目求不等式|2x-1|-|x-2|。的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平 方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案.此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握.14 .【答案】一泉各【解析】解：曲线C:言2rty*。（。为参数，0W之2兀）化为（x+2） 2+y2=1,表示 以（-2, 0）为圆心，1为半径的圆.设：=k,即 kx-y=0,则1.w L化为：必三,解得一空侏与?.故答案为：_1岁.?1s. 2 cos

19、Gj曲线 C： y = sin& （ 9为参数，0W 比 2兀）化为（x+2） 2+y2=i,设L=k,即 kx-y=0, 利用直线与圆的位置关系即可得出.本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式、不等式的解法、直线与圆的 位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15 .【答案】1【解析】解：4=''.；"=（x+1） + ：+3, 十JL卜*6 1.,.x>l,.x+1 >4又双率函数y=x+；在2, +8）上单调递增，.当x=1时，函数y='=取到最小值，ymin=6 .故答案为：6.利用双钩函数y=x+j在2, +8

20、）上单调递增的性质即可解决问题.本题考查双钩函数的单调性，利用基本不等式去做是易错之处，属于中档题.16 .【答案】-4<m<2【解析】解：根据题意，x>0, y>0,则?>0, ：>0,则"*21”=8，即？+£的最小值为8,若m2+2m恒成立，必有 m2+2mv 8恒成立，m2+2mv 8? m2+2m-8V 0,解可得，-4vmv2,故答案为-4<m<2.根据题意，由基本不等式的性质，可得 :+：>#F2=8,即+“：的最小值为8,结合题 意，可得m2+2m<8恒成立，解可得答案.本题考查不等式的恒成立问题与

21、基本不等式的应用，关键是利用基本不等式求出 +；的最小值.17 .【答案】解：当xwi时，原不等式可化为：-(x+1) - (x-2) <x2+1, 解得：xv-2或x>0. xv-2. (3 分)当-1vxv 2时，原不等式可化为：(x+1) - (x-2) Vx2+1,解得：xv -虚或工2<x<2. (5 分)当xR2时，原不等式可化为：(x+1) + (x-2) v x2+l ,解得xCR.x" (8 分)综上所述，原不等式的解集为+8). (10分)【解析】对x<1、-1vx<2、x>2分别去掉绝对值符号，然后解二次不等式，取并集即

22、 可.本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，是基础题.18 .【答案】 解：(1) 2-42. p coS 匕)+6=0,即 1-4月乂； p (cos 0 +sirn) +6=0,可得 x2+y2-4x-4y+6=0 ,配方为：(x-2) 2+ (y-2) 2=2.I 工三 2 + 2cus8可得参数方程：= 2 + ：彷，加日(。为参数).(2)设圆上的点 |(2 +2 + 2sin0),贝U xy=4+2、2sin 0 +2?cos 0 +2sin 0 cqs 0令 sin 0 +cos 够sin(p + +=曰一% 团,口 T贝U t2=1+2sin 0 cos 丽得 sin

23、0 cos 0 =.则 xy=4+2.2t+t2-1 = (t + g):+1 Q1 , 9.xy的最大值最小值分别为1, 9.【解析】(1)声-4%2 P cos ,)+6=0,即:?-42 乂、p (cos 0 +sirn) +6=0 ,利用互化公 式可得直角坐标方程，再利用平方关系即可得出参数方程.(2)设圆上的点(2 + 互30, 2 + ysinxyy,贝U xy=4+2'2sin 0 +2cos 0 +2sin。cqs金 sin 0 +cos森in(R + ：)=t超，可得 xy=4+2|t+t2-1,即可得出.本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、圆的参数方程及其应用，考

24、查了推理能力与计算能力，属于中档题.19 .【答案】解：(1)由f (x) W3得|x-a| wj解得 a-3x<a+3.又已知不等式f (x)的解集为x|-1aw 5,所以解得a=2. (6分)(2)当 a=2 时，f (x) =|x-2|. 设 g (x) =f (x) +f (x+5),于是g(x) = 1工一+ |工 + 3| =/5-2 Ml M22工十1>2L所以当xv-3时，g (x) >5;当-3<XW2时，g (x) =5;当 x>2 时，g (x) > 5.综上可得，g (x)的最小值为5.从而，若f (x) +f (x+5)利即g (x

25、)对对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(-8, 5, (12分)【解析】(1)不等式f (x) W3就是|x-a| w。求出它的解集，与x|-1版W5人目同，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，f (x) +f (x+5)油对一切实数x恒成立，根据f (x) +f (x+5) 的最小值 汨，可求实数 m的取值范围.本题考查函数恒成立问题，绝对值不等式的解法，考查转化思想，是中档题，20 .【答案】解：(1)积极参加班级工作的学生有24人，总人数为50人，概率为得=；不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生有19人，概率为11.5(2) k2=. K2>6.635,.有99%的把握说

26、学习积极性与对待班级工作的态度有关系.【解析】(1)是一古典概型问题，把基本事件的总数与满足要求的个数找出来，代入 古典概率的计算公式即可.(2)是独立性检验的应用，由题中的数据，计算出k2与临界值比较即可得出结论本题把独立性检验，概率的求法，列联表等知识联系在一起，是道综合性题，难度不大,符合新课标对于本部分的要求，希望通过本题把相关知识掌握好.21 .【答案】解：(1)由题意可得，e=；由FiAB的周长为4a，根据椭圆的定义可得 4a=4/2,解得a=。，即有 c=1 , b=H=1,则椭圆C的标准方程为y+y2=1 ；(2)假设存在直线l ,使F1AB的面积为由椭圆处+y2=1的焦点为F

27、1 (-1, 0) , F2 (1, 0),设直线 l： x=1 或 y=k (x-1),当 x=1 时，y= ±y, |AB|=/2,FiAB的面积为:XZK/?=思,不成立；由y=k (x-1)代入椭圆方程得,(1+2k2) x2-4k2x-2+2k2=0,设 A (Xi , y1), B (x2, y2),2k -2 X1+X2=, X1X2=,1+ 2k-1+ 2k'即有 |Xi-X2|= HN*±=； 1 1 + 比Mrt,+ If-)则 |y1-y2|=|k|?|x1-x2|=|k|?-,即有AFiAB的面积为斗yi-y2后,解得k2=1或-2 (舍去).即有k=±1.故存在直线l： y=± (x-1),使FiAB的面积为【解析】(1)运用离心率公式和椭圆的定义，可得 a, c,求出b,即可得到椭圆方程； (2)假设存在直线1,使k1人8的面积为;.求出椭圆：+y2=1的焦点，设直线l： x=1或y=k (x-1),代入椭圆方程，消去 y,运用韦达