二次函数知识点总结与典型例题讲解

1、二次函数知识点总结及典型例题讲解一、二次函数的概念和图像1 、二次函数的概念一般地，如果y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0),那么y叫做X的二次函数。y ax2 bx c(a,b,比常数,a 0)叫做二次函数的一i般式。2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x 2对称的曲线，这条曲线叫 抛物线。2a抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。3、二次函数图像的画法五点法：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y ax2 bx c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点 A,B及抛物线与y轴的交点C

2、,再找到 点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二 次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C M D三点可粗略地画出二次函数的草图。如果需要画出比较精确的图像，可再描出一 对对称点A、B,然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：(1) i 般式：y ax2 bx c(a,b,c是常数，a 0)(2)顶点式：y a(x h)2 k(a,h,k是常数、a 0)(3)当抛物线y ax2 bx c与x轴有交点时，即对应二次好方程ax2 bx c 0有实根x1 和x2存

3、在日寸，根据二次三项式的分解因式ax2 bx c a(x x)(x x2),二次函数y ax2 bx c 可转化为两根式y a(x xi)(x x?)。如果没有交点，则不能这样表示。三、二次函数的性质.下载可编辑函数y ax2 bx图像a>0y/I0性质(1)抛物线开口向上，并向上无限延伸；，一，一b(2)对称轴是x二 一，顶点坐标是2a/ b 4ac b2、( , )；2a4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< B 时，y随x的增2a大而减小；在对称轴的右侧，即当 x> 2时，y2a随x的增大而增大，简记左减右增；(4)抛物线有取低点，当 x= 时，2a/u24ac by有束

4、力、值， y最小值4a一伙闺缎c(a,b,c是常数，a0)a<0yr0 x(1)抛物线开口向卜，并向卜无限延伸；，一，一b(2)对称轴是x=一,顶点坐标是2a/ b 4ac b2 、( , )；2a4a(3)在对称轴的左侧，即当 x< 上时，y随x的增大2a而增大；在对称轴的右侧，即当 x> -b时，y随x2a的增大而减小，简记左增右减；(4)抛物线有最tWj点，当 x= !二时，2a、，右”/古4ac b2y有取人直， y最大值4a2、二次函数y ax2 bx c(a,b,c是常数,a 0)中，a、b、c的含义：a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上a<0时，

5、抛物线开口向下b与对称轴有关：对称轴为x= 2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：(0, c)3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。因此一元二次方程中的b2 4ac,在二次函数中表示图像与x轴是否有交点当0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当0时，图像与x轴没有交点。补充：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A坐标为（xi, y。点B坐标为（X2, v2则AB间的距离，即线段AB的长度为% x2 2Vi 寸 y |AxB 012、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但掌握这

6、个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减，即当x时,四、二次函数的最值24ac b如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）y最值丁4a如果自变量的取值范围是xix x2，那么,首先要看是否在自变量取值范围xix x2内，若在此范围内，则当x= B时,2ay最值24ac b4a若不在此范围内，则需要考虑函数在x1x x2范围内的增减性,如果在此范围内，y的增大而增大,则当x x2时,y最大2ax2bx2当x %时，y最小ax； bx1 c;如果在此范围内的增大而减小，则当x x1时，y最大2ax1bx1xx2 时，y 最小ax2

7、 bx2Co典型例题1.已知函数y1 x<31 x> 3，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（A. 0 B.【答案】DC. 2D. 32.如图为抛物线ax2 bx c的图像，A、B、C为抛物线与坐标轴的交点，且O&OG1,则下列关系中正确的是A. a+ b=1B. a-b=-1 Cb<2aD . ac<0a与一次函数y bx c在同一坐标系中的 xbx3.二次函数yax2 bx c的图象如图所示，则反比例函数 y4 .如图，已知二次函数y x2c的图象经过点（一1,0）,（1, -2）,当y随x的增大而增大时，x的*5 .在平面直角坐标系中，将抛物线x2

8、 2x 3绕着它与y轴的交点旋转180。，所得抛物线的解析式().A. y (x 1)2 2 B . y(x(x 1)2 2(x 1)2 46. 已知二次函数y ax2 bx的图像如图，其对称轴给出下列结果 b2 4ac abc 0 2a b 0 a0,则正确的结论是（B CD 7.抛物线y ax2从上表可知，下列说法中正确的是bx c上部分点的横坐标x,纵坐标y的对应值如下表:x-2-1012y04664.（填写序号）抛物线与x轴的一个交点为（3,0）;函数y ax2 bx c的最大值为6;.下载可编辑抛物线的对称轴是x 1;2在对称轴左侧，y随x增大而增大.【答案】8.如图，在平面直角坐标

9、系中，O是坐标原点，点A的坐标是（一2,作AB，y轴，垂足为B,连结OA（1）求OAB勺面积;若抛物线y x22x c经过点A.求c的值;将抛物线向下平移m个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在（不包括。用的边界），求m的取值范围（直接写出答案即可）解：（1） ;点A的坐标是（一2.AB=2, OB= 4,S OAB4), AB±y 轴,1 -1AB OB 2 4 42 2（2）把点A的坐标4)代入 y x2 2x c得(2)2 2(2)c 4, c = 42 2x 4 (x 1)2 4 ,（第22题图）抛物线顶点D的坐标是（一1, 5）, AB的中点E的坐标是（一1, 4）, OA

10、的中点F的坐标是（一1, 2）,，- m的取值范围为l< m<3.下载可编辑9.已知二次函数y= 4 x 2+ 2 x的图像如图.（1）求它的对称轴与x轴交点D的坐标；（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x轴、y轴的交点分别为A B C三点，若/ AC展90。，求此时抛物线的解析式；（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为 M以AB为直径，D为圆心作。D,试判断直线CMWOD的 位置关系，并说明理由.一,一一 1 0 3 解：(1)二次函数y=-X与乂的对称轴为x=3,D (3, 0). 1c 3(2)设抛物线向上平移h个单位(h>0),则平移后的抛物线解析

11、式为y=-4X2+2X+h. / ACE=90° , 二 OC=OA- OB设点A、B的横坐标分别为Xi、X2,则h2=- x i - X2.一.一1 c 3Xi> X2是一兀二次方程-4X+2X+h=0的两个根，1 o 3 .X1 - X2=-4h,h =4h,h=4, 二抛物线白解析式为 y=-4X +2X+4.(3) CM与OD相切，理由如下：连结CD CM过点C作CN!DMT点D,如下图所示:AB是。D的直径，/ AC母90° ,点 C在OD±.根据平移后的抛物线的解析式丫=-%弓+4可得：OD=3, OC=4, DM? CD=5.CN=3, Mb=

12、4,CD=5,.CDM1直角三角形且/ DCM9O0 ,CM与OD相切.10.如图10,在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，AB= 10,以AB为直径的。O'与y轴正半轴交于点 C,连接 BQACCD OO 的切线，ADL CDT 点D,tan / CA&_1,抛物线 yax2bx c 过A,B, C(1)求证：/ CA庄/CAB(2)求抛物线的解析式;.下载可编辑判定抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由;(3)在抛物线上是否存在一点 P,使四边形PBCA直角梯形.若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由.(1)证明：连接O' C.vC

13、D。0'的切线，；O C± CD.V ADL CDO' C /ADI. / O CA= / CAD.O' C=O' A, ./O' CA= /CAB ./CA庄 /CAB(2):AB是。O'的直径，AC氏90°vOCL AB, . ./CA氏 /OCB.CAO ABC(O.OC OBOA OC即 OC2 OA OB , tan/CAatan / CA&-,/. OA= 2OC2,.OO 00), C (0, 4).又AB= 10,/. OC2 2OC (10 2OC),.OC= 4, OA= 8, OB= 2. . .

14、 A ( 8, 0), B (2,;抛物线y ax2 bxc过 A, B, C二点.= 4由题意得4；a £ 4400，解之得3x 42设直线DC交x轴于点F,易证AOCl AAD(C-.A* AO= 8. O' C/ AD, . .F。Cs/XFAD /.O'F O'C .8(BF+ 5) =5(BF+ 10) , B BF10AF ADFg , 0) .3,设直线DC的解析式为y kx m ,则；y 4x4由 y2x2 2x 442m 416kk m31 (x 3)4.下载可编辑顶点E的坐标为E(3,25),将E( 3,学)代入直线DC的解析式y 44右边

15、:(3) 4 25左边.抛物线的顶点e在直线cd上.11.如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD1直例$形，BC/AR/ BAB 90于点M且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是 A (-1 , 把线段DMft DA方向平移到ON若抛物线y=ax2+bx+c经过点D、0),蜕 -1M N.(1)求抛物线的解析式(2)抛物线上是否存在点P.使得PA= PC若存在，求出点P的坐标;若不存在.(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E.点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当',BC与y轴相交,0),连接DM并请说明理由。【Q在什么位置时有QE QC最大？并求出最大值。(1)解：由题意可

16、得M (0, 2), N (-3, 2)2 c2 9a 3b c0 9a 3b c，1 a9解得：b -3c 2y=AC的垂直平分线经过B (-1 ,2), (1, 0),(2) v PA= PC,，P在AC的垂直平分线上，依 H意, 这条直线为y=-x+1.1x 2 3解得:x13 3.2y12 3、. 2. . R (3 3>/2, 2 372 ),x2 3 3 .2y22 3、. 2R ( 3 3&, 2 372 ).(3) D为E关于对称轴x=1. 5对称，CD所在的直线y= x+3. .yX 5,.Q (-1 . 5, 4. 5).QE QC最大值为CD=/2乎=2垃个

17、单位/秒.i(9 丫 121呼7,其(。J<5),一二如加。-。=-卜或+丁 ,二当t 9时，S有最大值为 回，此时P(U,些).242212.如图，抛物线y=1x2+bx 2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A ( 1, 0)2求抛物线的解析式及顶点 D的坐标；判断 ABC勺形状，证明你的结论；点Mm1 0)是x轴上的一个动点，当CMDM勺值最小时，求m勺值.叶(1) ;点A (-1 , 0)在抛物线 y=-x2+ bx-2上，1 x ( -1 ) 2 + bx ( -1) -2 = 0 ,解得b =-222抛物线的解析式为y=lx2- 3x-2.y=lx2- 3x-2= -(

18、x2 -3 x- 4 )=(x-3)2-25,22222228顶点D的坐标为(3,-冬). 28(2)当 x = 0 时丫 = -2,- C (0,-2), OC= 2 .当丫= 0 时，-x2- 3x-2 = 0 ,Xi = -1, x2 = 4,. B (4,0)22 .OA= 1, OB= 4, AB = 5.vaB? = 25,AC = OA+ OC= 5, BC = OC+ OB = 20, . AC+BC = AE2.ABC是直角三角形.(3)作出点C关于x轴的对称点C',则C' (0, 2), OC =2,连接C' D交x轴于点M根据轴对称性及两点之间线段最短可知,MC+ MD的值最小.n 2设直线C' D的解析式为y = kx + n ,则3 k n225 ,解得 n = 2, k8411241 y 一x 2 .当 y = 0 时 1241 x 2