二级相变的平均场理论

1、第五章二级相变的平均场理论一.微观模型由于粒子的全同性，波函数在交换粒子坐标和自旋的时候， 如果是费米子，波函数变号，如果是波色子,波函数不变. 考虑相邻原子中的二个价电子当自旋平行，自旋波函数为 总自旋为1的3重态.这时波函数坐标部分要在交换粒子坐 标时候变号.当自旋平行，自旋波函数为总自旋为0的单态. 这时波函数坐标部分要在交换粒子坐标时候不变号.对应2种态的能量是不一样的.则我们可以把能量和自旋的 依赖关系写为：一一 ir _JS“S2=J 2|_1一 2-= -J- S S1 -52 =-J- 2L- 2 *2 2（S1 + S2） -Si -S2一2 一2；S（S + 1）-S +

2、1）-S2（S2+1）其中S1=S2=-，自旋3重态为5 = 1 ,自旋单态态为S=o.这2个态的能量差为： -百1(1+1)=-丿 其中丿可正可负(依赖具体材料).量子海森堡模型：J吝i 瓦其中是最邻近的原子指标.其中$为量子算符其经典近似E为一般数值，SiSi=S.通过变换Sr=SS,模型可以化为，/如果E是3维矢量，上面的模型就是经典海森堡模型如果 是2维矢量，上面的模型则称为-y模型.如果&是1维矢量，上面的模型则称为Ising模型.这时&=0=1,模型一般写为：H=_J工吋兮q =1.门其中D是最邻近的原子指标.如果有外加磁场,日=-吃55-吃5力i统计模型的求解需要我们计算Z =e

3、xp-0H（q）5这个配分函数的计算是非常困难的在统计物理的模型中, 只有少许模型可以严格求解，如一维和二维Ising模型，一 维量子海森堡模型等这些严格求解,对统计物理的研究进 展在历史上有非常巨大的推动.另外一个无序模型，H =-工人,p J, q = h 仏 j ) = 0,仏M j ) = J 门A j是任意2个自旋指标,这个模型称为Sherington-Kirkpatrick模型，是自旋玻璃的最基本模型. 此模型解被Parisi得到.这个模型对计算机逻辑计算，神经 网络的研究有非常重要的应用.如果模型不能精确求解，统计物理发展出很多方法.如平均场近似及其微挠展开（低温和高温极限下，这

4、个方法 一般不错）.一般在低温和高温之间，会有相变产生.对相变 附近区域的研究，平均场近似已经不适合如果是2阶相变, 可以用重整化群方法来.对1阶相变，现在还是没有好的方 法来研究.当然还有一个重要的方法是数值模拟方法.二.Ising模型的平均场近似.现在我们来分析模型H =-丿工 q J -/送er：Jih = /llB其中，是磁矩，是外磁场考虑丿0,对应的系统是铁磁系统（考虑丿0,对应的系统是反铁磁系 统），力0 （如果力0,可以通过变换0 T-0得到一个 等价的模型，力0）如果对某微观态系统的能量为H,此态出现的几率为 exp0H.5）和配分函数的关系如下:= Nai) = kTainz

5、dh/ 、 kTdhiZ在低温情况下，系统处于较低能量态，对应的0T1.在 7 = 0,系统处于基态，0 = 1.因而当温度较低时候5的 统计平均应该有5=加 0m为磁化强度这种也工0态我们称为有序态.在高温情形下Ts, 0=1和1出现的几率几乎 一样.这时：匕）=0这种态我们称为无序态.故在高温和低温之间，存在一个相变温度低于此温度，态 是有序的，高于此温度，相是无序的对哈密度量，我们可写 为i I 丿 丿其中Y T的求和是指和自旋,颐的指数求和.J其中d每个自旋相邻的自旋数目.这样HmHmf,%=“（+皿）对济，我们可以计算其配分函数,Znnf 二2xp-側济二exp -冏-q（/? +皿

6、） L I iJ=另 口 exp 0 （ 十 Jdm） Q = 口 为 exp /?（ + Jdm） cri 9 i二匚2cosh/?（力+ /d加）/=12 cosh /?（h + 丿d/训= -kTN hi 2 cosli （ /? + Jdm）由此得到一个自恰方程=taiili 0（力 + Jdm）kT OIdZn,耐 _ sinh0（/2+皿” N dhcosh 0（/i +儿加）T q）=加=taiili 0 （力 + Jdtn）现在考虑磁场为零时候的自恰方程的解：m = taiili 0Jd叫=taiili, T =Jd/k.请看图示发现TTc,只有一个解加=0.当TTm = T0

7、J对2阶相变，4附近，在Cocir-r.平均场理论给出a = 0.现在考虑磁场不为零情况:m = tanh #( h+Jdrri)如果磁场有磁场，对任何温度加HO .如果力很小，当 T /,加因该很小，上式可以展开为：Tm = taiili 0(力+ Jdm) q 0/z + 扌 m这里的是最小的数,不然上述展开有问题.磁化率定义为力=1方丄，故在小磁场下，T.一般的实验给出Z = cr-Tc/Ising模型的平均场近似的结果给出7 = 1.当厂T盯，力phm =oo如果温度T = TC,公式_显然不成立在这种T情况下，自恰方程要展开到下一阶，m = tank /3h + 呵(ph + m)在

8、方程左边，由于“很小,我们把力只保留到一阶项,加3m = taiili/?/z + m (/?/? + m)m =(3y/z)13.在临界温度附近，实验发现，mx严，故平均场给出J = 3.如果T叫(T) + /耳(巧力=0/z + (叫(T)+% (厂)力)一 厂 F -13F和F项的方程:叫（丁）u 叫（卩）一空丄（叫（t）T v3 八2(吨)20儕(7)0 1-故在小磁场和T T；心70 + 呻门一 (T)(/n0(T)2 - 0-用(叫(吋0 +叫(。)7n0(T) + /n1(T)/z m0(T) +Ph磁化率为Z =我们在这一节中，详述了 Ising模型的平均场近似理论.如 果系统

9、处于高维空间，平均场理论的结果一般都不错如果 空间维度低，如1维空间，平均场的结果一般都不可靠请看 下面对一维Ising模型解.三.一维Ising模型的严格解 一维情形下，Ising模型可严格求解我们考虑个自旋,1周期边界条件简单起见,让系统满足周期性边界条件（不同的边界条件一 般不会影响热力学量边界的效应在热量学极限下是可以忽备的）.周期性边界条件为。二乐+】一维I s i ng模型可写为:NN/=i/=i由于周期边界条件,显然：Nh “H = -吃 0 0+厂諾(q + 0+J/=i乙 /=i故配分函数为Zn 二 Yexp-0H二exp 0q&-= Yriexpb“qq L Ih N50+

10、】+詔(0+有L /=!q+i+(。+q+其中Mu%jexp 0gq+ + (q + a+j 各矩阵元为；exp /?(J + A)exp-/?jexp-/7J exp /?(/+!由于:NZn = 丫口性创q匸 1a吃（叫，严ce（）i由于M是实对称矩阵，它可以对角化（几 Q M=U + U UU+=lI。入丿这样可以证明：Zw=nace（MN）二舟 + 疋现在我们来求忑，它们为矩阵M本征值满足下列久期方 程exp0（丿+力）卜兄exp-/?jexp -/?/ exp/?（它的解为detexp -/?/ exp/?（exp/?（丿+ ）-兄 exp-/7j=exp/Vcosh/?/2土 Je

11、xp2J（sinh/7）Zexp2J在热力学极限下自由能为：G = -kTnZN=-kTNn磁化率为:2丄西二好沁N dh dhexp/?J siiili/7A +exp 2/?J( siiili ph ) cosli ph exp2/?J(siiili/?/7)2 + exp-2/?Jexp/?J cosh/?/? +Jexp2/U(si 讪+ exp-2/Vsinh创(siiili/?/?)2 + exp-4/?J当/20,上式加TO.故在非零温情况下，磁化强度为零. 没有任何相变.结果和平均场近似是不一致的.在低温极限下，在任意小的不为零的外磁场下，我们有/ 0 T 8,. sinh/z

12、 exp-4/?J /. ml我们可以讲，相变温度是丁 =。一般来讲，低维系统，如1维，对任何模型，平均场近似都不好. 其原因是在低维系统，热涨落强度很大.如果考虑对平均场 计算的修正，修正项会和平均场的结果差不多量级.故其平 均场计算一般不正确.2自由边界条件和关联函数计算 考虑无外磁场情况下，配分函数NZn =工工exp/V工J(T(N/=1由于对Gv的依赖项的求和丫 exp0 丿乙一1 乙=2 cosh /3J%ZN =2cosh/?JZ_1 tZN =2cosh(/?J)A 2 Z254N-l=2cosh(/?J)A 2 为 exp/VcF 还= 22cosh(0/)配分函数为:FkT

13、lnZkTln二灯ln2+(N l)ln2cosh(刃) -kTN hi 2 cosh (0丿)和周期边界条件得到的一致.实际上平均场论是假设了 2个自旋之间没有关联即:实际上这个等式不是严格的，是一种近似（即平均场近似）.即关联函数（50+） 0）0+工0.我们现在可以对一维模型计算.N定义日=一工d S+i，上面的计算一样可以进行/=!Zn=2cos1】0丿“一胪心N-lZn =H2cosh(04)Z2i=2N-l=2匚2 cosh (04)/=!叽 j exP 0 g % I5 可I /=iJIn=Z(05+】)(5+0+2 )(_】 ) eXP 0仏 N I /=!对一维Ising模型0)= ,故关联函数为(qq+j) = tanh(0J)=exp = -lntanh(0 丿)1在低温极限下:y = exp-20J低温极限下f = 1exp2 几/ t oo在高温极限下：lii taiili (pJ) = h