群的同构定理

1、编辑版 word 3.4 群的同构定理同态基本定理：设%er用图表示：是群G到群G的一个同态满射，则GO将同态基本定理推广就得到下面的第一同构定理定理 1 1 ( (第一同构定理) )设 是群G到群G的一个满同态，且当N ker时，(N) e，GNGeG，第一同构定理退化 成同态基本定理第一同构定理也可以用图表示：证明首先，由 NGNG 有N (N)G。作映射：GNGN，(XN)(X)N，XNGN。以下验证 是GN到GN的一个同构映射。(1) _是映射:设aN bN(a,b G)，则a1b N，于是(a)1(b) (a1b)(N) N，从而(a)N (b)N，kerN G，记(N) N，则GN

2、GN，或GN(G)(N)。即GN中的每个赔集在下的像唯一，因此确为GN到GN的一个映射。所以是GN到%的一个同态映射。作业：P104P104 第 4 4 题(提示：用同态基本定理)推论 1 1. .设H G,N G且N H，则证明取自然同态：G%，(a) aN，其核Ker N(2(2) 是满射:aNa G，使得(a)即一是满射。(3(3)是单射：设(a G)，因为是满射，所以存在a，从而存在aNGN，使得(aN) aN，(aN)(a1b)(a)1(b) N(a1b)(bN)，即(a)N但是满同态且(c) (a1b c1)N得a1bc1(b)N，从而(N)c N，使得于是由已知条件ker从而aN

3、 bN，即是单射。(4)又由于(aN bN) (ab)N) (ab)N (a) (b)N(a)N1bN，所以1bc1Ker。bc1c N，(b)N(aN) (bN),综上所述，是%到所以GN在第一同构定理中取GGN，取N为这里的H，并注意编辑版 word编辑版 word（H）HN，由第一同构定理得注意：交换H,K的位置也可以得定理2（第二同构定理）设G是群，H G，NG，贝UHlNH，且H%H I N）。第二同构定理也可以用图表示：证明：由H G,NG有HN G，且NHN。作映射:HHNN,（X） XN,X H,贝U显然是H到HNN的满同态。且。又显然H HK,直接由推论得例 1 1 设H G

4、,KG，证明证明编辑版 wordKer xx H, （x） N xx H,xN N xx H,x N H I N编辑版 word于是由同态基本定理得HNN。例2S3,S4设分别为 3 3 次、4 4 次对称群，K4是 KleinKlein 四元群， 证明：S/K4S3。证明 首先K4S4（见前面）。以下验证：S4S3K4且S3I K4e，再用第二同构定理即可得证。事实上，把S3中 的每个置换看成保持 4 4 不动，则显然S3IK4e成立。于是又S3K4S4且IS4I 24，所以S4S3K4。于是由第二同构定理定理 3 3（第三同构定理）设G是群，且NG，H GN，贝 I I（1 1）存在G的唯

5、一子群HG,H N，使得HHN；（2 2）当HGN时，存在G的唯一正规子群HG,H N,使得H H%，且。第三同构定理表明：商群GN的子群仍为商群，且呈HN的IS3K4ILSJIS3I K4I24。S3编辑版 word形式，其中H G,H N；而且旦是G的正规子群当且仅当 % 是 % 的正规子群。证明(1 1)取自然同态：G GN，(a) aN，其核Ker N由上一节定理 4 4 知，在G的包含N的子群与GN的所有子群 之间可以建立一个保持包含关系的双射，因此当H GN时， 必然存在G的唯一的子群H G,H N与之对应，即(H) H另一方面，根据的定义有(H)HN，所以H呀N。(2 2)还是由上一节定理 4 4,当HGN时， 存在G的唯一的正 规