圆的有关计算与证明

1、圆的有关计算与证明解答题1 .AABC的内切圆。与BC,CA,AB分别相切于点D、E、F,且 AB=11cm,BC=16cm,CA=15cm,求AF、BD、CE的长?2 .如图，在4X4的方格纸中（共有16个小方格），每个小方格都是边长为1的正方形.。、A、B分别是小正方形的顶点，求扇形 OAB的弧长，周长和面积.（结果保留根号及兀）3 .如图，直线y= 4工+版与x轴、y轴分别相交于 A,B两点，圆心P的坐标为（1,0），圆P与y轴相切于点O.若将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相交时，求横坐标为整数的点P的个数.4.如图所示，已知F是以。为圆心，BC为直径的半圆上任一点,A是弧BF的中点

2、，AD± BC于点D,求证:5 .如图，在 "BC中，BE是它的角平分线，/ C=90°,点D在AB边上，以DB为直径的半圆 O经过点E,交BC于点F(1)求证：AC是。的切线；(2)已知sinA= 1 ,。的半径为3,求图中阴影部分的面积6 .如图，已知 是.IBU的外角 ZEJC的平分线，交 5。的延长线于点 D,延长 nd交.工BC的 外接圆于点F,连接FB, FC(1)求证：/-FBC= -FCB.(2)已知若仍是外接圆的直径， FA = 2,求CD的长.7 .已知：如图，在 那BC中，AB=BC=1Q以AB为直径作。O分别交AC, BC于点D, E,连接

3、DE和DB,过 点E作EF± AB,垂足为F,交BD于点P.C若CE=2求线段CD的长；(3)在(2)的条件下，求 ADPE的面积.8 .如图，AB是半圆。的直径，AD为弦，/ DBC=Z A.(1)求证：BC是半圆。的切线；(2)若 OC/ AD, OC交 BD于 E, BD=6, CE=4 求 AD 的长.9 .如图1,在正方形 ABCD中，以BC为直径的正方形内，作半圆O, AE切半圆于点F交CD于点E,连接OA、OE.(1)求证：AO± E0； 如图2,连接DF并延长交BC于点M,求 需 的值.却10 .如图，AD是。的切线，切点为 A, AB是。的弦.过点B作BC

4、/ AD,交O 0于点C,连接AC,过点C作CD/ AB,交AD于点D.连接A0并延长交BC于点M,交过点C的直线于点P,且/ BCP=/ ACD.P C(1)判断直线PC与。0的位置关系，并说明理由;(2)若 AB=9, BC=6.求 PC 的长.11 .如图，点A在。上，点P是。外一点，PA切。0于点A,连接0P交。0于点D,作ABLOP于点C,(1)求证：PB是。的切线;(2)若 PC=9, AB=6 R,求图中阴影部分的面积；12 .如图，AB是。的直径，过点 A作。的切线并在其上取一点 C,连接OC交。O于点D, BD的延长线 交AC于E,连接AD.(2)若AB=2, AC=2日求A

5、E的长.13 .如图，AB是。的直径，C是。是一点，过点B作。的切线，与AC延长线交于点 D,连接BC, OE/BC 交。于点E,连接BE交AC于点H.D(1)求证：BE平分/ ABC；(2)连接OD,若BH=BD=2,求OD的长.DP (x,y)的动圆经过点A (2, 8),且与x轴相切于点B.14.如图，在平面直角坐标系中，圆心为图(1)当x> 0, y=5时，求x的值;(2)当x = 6时，求。P的半径；(3)求y关于x的函数表达式，请判断此函数图象的形状，并在图 中画出此函数的图象(不必列表, 画草图即可)15 .如图，4AB的底边经过。O上的点C,且OA=OB, CA=CR。与

6、OA、OB分别交于 D、E两点.(1)求证：AB是。的切线；(2)若D为OA的中点，阴影部分的面积为0专，求。的半径r.16 .如图，在"BC中，/C=90°, / ABC的平分线交 AC于点E,过点E作BE的垂线交 AB于点F,。是ABEF 的外接圆.(1)求证：AC是。的切线；(2)过点E作EHI±AB,垂足为 H,求证：CD=HF;(3)若 CD=1, EH=3,求 BF 及 AF 长.17 .如图，CD为。的直径，CD± AB,垂足为点 F, A0± BC,垂足为点 E, CE=2(1)求AB的长；(2)求。0的半径.18.如图，在AA

7、BC中，/ ABC=90°,以AB的中点0为圆心，0A为半径的圆交 AC于点D,连接DE, 0E.E是BC的中点,(1)判断DE与。0的位置关系，并说明理由；(2)求证：BC2=2CD?0E(3)若 cos/ BAD= I , BE=导，求 0E的长.19.如图，AB为。0的直径，点C在。上，过点C作。的切线交AB的延长线于点D,已知/ D=30°.(1)求/ A的度数；(2)若点F在O0±, CF±AB,垂足为E, CF= 班,求图中阴影部分的面积20 .如图，在 Rt祥BC中，/ C=90°,点D, E, F分别在 AC, BC, AB边上

8、，以 AF为直径的。恰好经过 D,E,且 DE=EFC(1)求证：BC为。的切线；(2)若/ B=40°,求/ CDE的度数；(3)若CD=2, CE=4,求O O的半径及线段 BE的长.21 .如图，O的圆心 M在反比例函数的图像上，且与 1轴、T轴相切于点 尻 C, 一次的图像经过点C,且与 工轴交于点 D,与。.4的另一个交点为点(1)求b的值及点。的坐标；(2)求CE长及占 CBE的大小;(3)若将。a沿I轴上下平移，使其与 卜轴及直线 ,=当工+匕均相切，求平移的方向及平移的距离参考答案解答题1.解：ABC的内切圆。O与BC, CA, AB分别相切于点 D、E、F,.AF=

9、AE BF=BD, CD=CE设 AF=AE=X 贝U BF=BD=11-x, EC=DC=15- x.根据题意得11 -x+15-x=16.解得；x=5cm.，AF=5cm. BD=11 x=11 5=6cm, EC=15- x=10cm.，AF=5cm, BD=6cm, EC=10cm.2 .解：由图形可知，/ AOB=90。,9词班丁=2兀.360OA=ObK?=2也,.= 一,扇形OAB的面积="1802 K弧ab的长是：9版总2 =r兀180 广.周长=弧AB的长+2OA=J2k4寸2 .综上所述，扇形 OAB的弧长是J2兀，周长是J2兀+42 ,面积是2兀.3 .解:二直

10、线y= gr+也与x轴、y轴分别相交于A,B两点，A点的坐标为（-3,0）,B点的坐标为（0, "）,.AB=2如图，将圆P沿x轴向左移动，当圆P与该直线相切于 Ci时，连ZPiCi,则PiCi=l,1 仍易知APiCisA ABO,，1= 市，APi=2,，Pi的坐标为（-1,0），同理可得P2的坐标为（-5,0）.-5与-1之间的整数（不含-5和-1）有:-4,-3,-2，故满足题意的点P的个数是34 .证明：连接 OA,交BF于点E,.A是弧BF的中点，O为圆心， . OA± BF, . BE= BF, . AD± BC于点 D, . / ADO=Z BEO

11、=90 ,在 OAD 与 AOBE 中， AOD= £ BOE , ! BO = AO .OAD。 OBE (AAS), . AD=BEAD= =BF5. (1)证明：连结OE,MISSING IMAGE:,. BE平分/ ABC,/ ABC=2/ ABE, OB=OE, . / OBE=Z OEB, . / AOE=Z OEB-+Z OBE=2/ ABE, . / ABC=Z AOE,又. / C=90,.A+Z ABC=90 ,.A+Z AOE=90 ,/ AEO=90 ,即 OEL AC, .AC为。O的切线(2)解：连结OF,sinA=,/ A=30° ,由(1)知

12、 OEL AC,/ AOE=Z ABC=60 ,.。0半径为3,OD=OE=OF=OB=BF=3 . / BOF=Z EOF=Z ABC=60 , .S扇形OE.震二鹭贮二冬， 36"36"2 '在 RtAAOE 中,AO=6, AE=3在 RtAACB 中,AB=9, BC提,CE=AC-AE=Sf iFCES扇形四诬-寺 826. (1)解：.四边形内接于圆，ZF5C+ ZFJC=1SO0 , ZCW+ ZFJC= ISO0 ,. 是.心。的外角平分线，. I.21 一 二一,.丁一；二 一又，(2)解：由(1)得 士FAB= £FCB= ZFBD ,

13、又£EFD， AFBs BFD,BF-L1 .工.厂E ； , 丁。，S7 二,， 又， ， ，.亦是直径，"二".次一二.一二：， BD=:小不：一 A又. / D=Z D, . DBFs DAC, CD _AD .CD=24,解彳导:CD= .7. (1)解：: AB是O O的直径， ./ ADB=90 ,即 BD± AC AB=BC, . ABDCBD/ ABD=Z CBD在0O中，AD与DE分别是/ ABD与/ CBD所对的弦 . AD=DE；(2)解：二四边形 ABED内接于。O,CED=Z CAB,/C=/ C, .CE2 CAB,CE _

14、CDCA Tii，AB=BC=10, CE=2 D 是 AC 的中点,CD=反；(3)解：延长EF交。于M ,在 RtAABD 中，AD= 痴 AB=10,- BD=3， EMXAB, AB是。的直径，工前, / BEPN EDB,.BP。 BED,BL> BE诙二丽,BP=一一DP=BD-BP=1丽IT-，S?DPEE： Szibpe=DP: BP=13: 32,S?bcc= 4 X y10 x 3y1() =15Sbde： Sabcd=BE BC=4: 5,S/bde=12,Sadpe=52158. (1)证明：AB是半圆O的直径/ D=90 . A+Z DBA=90 / dbc=z

15、 a / DBC+Z DBA=90 . BC± ABBC是半圆O的切线(2)解：/ BECN D=90。,BD±AD, BD=6,be=de=3 / DBC=Z A,.BC& BAD, CEBE nn 43RD AD '6.W. AD=4.59. (1)证明：二.四边形 ABCD为正方形, B=/C=90 , AB/ CD, AB和CD为。O的切线， AE切半圆于点F, OA 平分/ BAE, OE 平分/ AEC,而 AB / CD, ./ BAE+/ AEC=180, / OAE+Z OEA=90 ,/ AOE=90 ,OA± OE(2)解：作

16、Fhl± CD于H,如图，设正方形ABCD的边长为4a,贝U AF=AB=4a OB=OC=2a/ AOE=90 , ./ AOB+Z COE=90, / AOB+Z OAB=90 , . / OAB=Z EOC . RtAABg RtAOCE .AB： OC=OB： CE,即 4a： 2a=2a： CE,解得 CE=aEF=EC=a .EA=5a, ED=3a, FH/I AD, . EFH EAD,.FH_ EF_ EH FH_ a _eh _ _ ,即 AD EA ED 5a 4a 3aR3FH=二 a, EH= _ a,4439 . DH=3a a= a,449.CH=4a-

17、a= 一 a,44 FH/I CM,DF DH 9= =FXi CH 710. (1)解：pc与圆o相切，理由为：过C点作直径CE,连接EB,如图，E.CE为直径， ./ EBC=90,即/ E+/ BCE=90,1. AB/ DC,/ ACD=Z BAC, / BAC=Z E, / BCP=Z ACD./ E=Z BCP, ./ BCP+Z BCE=90,即/ PCE=90, .CEL PC, .PC与圆O相切；(2)解：: AD是。的切线，切点为 A,OA± AD, BC/ AD,AM± BC,. BM=CM=BC=3,. AC=AB=9,在 RtAAMC 中,AM=一

18、L.=6 ,二，设。O的半径为r,贝U OC=r, OM=AM - r=6 JT - r,在 RtAOCM 中,OM2+CM2=OC2即 32+ (6 6r) 2=r2 ,解得r=二二BE=2OM=. / E=/ MCP,，OM=6 .二2172 RtAPCMRtACEBPCCEEB. AC=BCPCOP±AB, OP经过圆心 O, OP垂直平分AB,AP=BP,OA=OB, OP=OP, .APO。 BPO (SSS , . / PAO=Z PBO, PA切。O于点A,/.API OA, . / PAO=90 ,/ PBO=Z PAO=90 ,OB± BP,又点B在O O

19、上， .PB与。相切于点B;(2)解：如图1,OP±AB, OP经过圆心 O,1厂 .BC= AB=3 ,一 / PBO=Z BCO=90 , / PBC-+Z OBC=Z OBC+/ BOC=90 ,/ PBC=Z BOC . PBC BOC,BC PC 一OC BC. OC;L- - / =3OC-_3PC在 RtOCB 中,OB=、_L =1 一二=6, tanZCOB= _ = F ,oc. OA=1/ COB=60 ,$opb= 2 X OPX BC=*(3 + 9卜3/=18 ", s扇D2竺竺360 . S 阴影=Saopb S 扇 dob=18 若点E是。上

20、一点，连接 AE, BE,当AE=6 & 时，BE=3 # 3 逝或 3 # +3 012. (1)证明：.AB是。的直径，/ ADB=90 ,. / B+/BAD=90 ,.AC为。O的切线，BA± AC, . / BAC=90 ,即/ BAD+Z CAD=90 ,.B=/CAD,OB=OD, ./ B=ZODB,而/ ODB=Z CDE, ./ B=ZCDE,/ CAD=Z CDE,而 / ECD之 DCA,.CD& ACAD(2)解：AB=2,在 RtAOC 中，AC=2 及, -oc=如：+3 =3,CD=OC- OD=3- 1=2, / CDEA CAD,.

21、 .包二”即三生, CE CD CE 2 . CE= 72 .AE=AC-CE=2 色-、£ = R13. (1)证明：: AB为。的直径，Z ACB=90 ,.OE/BC,OEXAC,CE，./ 1 = Z2, BE平分/ ABC(2)解：: BD是。的切线,Z ABD=90 , ： L ACB=90 , BH=BD=2, ./ CBD=Z 2, / 1 = Z2=ZCBD,Z CBD=30 , Z ADB=60 , / ABD=90 ,AB=2 0, 0B= 后 1 otf=ob2+bd2 ,OD=14. (1)解：由 y=5,得到 P (x, 5),连接 AP, PB,11 :

22、圆P与x轴相切,J <LZ0B XPB±x 轴，即 PB=5,(2)解：由x=6,得到P=2+4=6,1- x=6由AP=PB,由勾股定理得，x=2+(6, y),连接 AP, PB,二圆 P与 x 轴相切，PB，x 轴，即 PB=y,由 AP=PR(3)解:同(2),由 AP=PB，得至ij (x- 2)2+(8一即图象为抛物线，画出函数图象，如图 -y)2=y2,整理得：丫=也工二一3工 + ¥= =h-2+4所示；Xc二炉解得：y=5,则圆P的半径为5得至U=y，15. (1)证明：连OC,如图， OA=OB, CA=CR OCX AB,.AB是。O的切线；(2

23、)解：: D为OA的中点，P J0B国OD=OC=r,OA=2OC=2r,/ A=30° , / AOC=60 , AC= Jq r120排160 ./AOB=120, AB=2r,S 阴影部分=Soab- S扇形 ode= ' ?OC?AB. 5?r?2 4r 号2= G 号, 即。O的半径r为116. (1)证明：如图，连接 OE.BE± EF,b B BEF=90, .BF是圆O的直径. BE平分/ ABC,/ CBE=Z OBE, OB=OE/ OBE=Z OEB,/ OEB=Z CBE .OE/ BC, . / AEO=Z C=90 ,.AC是。的切线;(

24、2)证明：如图，连结 DE. .Z CBE=Z OBE, EC± BC 于 C, EHL AB 于 H,EC=EH / CDE+/ BDE=180 , / HFE+Z BDE=180 ./ CDE=Z HFE在4CDE与AHFE中,LCDE = £HFE <2C = jEHF = 9郎,ECEHI. CD匹 HFE (AAS),CD=HF(3)由(2)得 CD=HF,又 CD=1,HF=1,在 RtAHFE 中，EF=Tio，EF± BE,Z BEF=90 ,Z EHF=Z BEF=90 , / EFH=Z BFE,.EH 匕 BEF,巴竺，即尽去,BF E

25、F BF V10BF=1O,1OE= - BF=5, OH=5- 1=4,4RtOHE中，cosZ EOA= 一 ,OE 4 .RtEOA中，cosZ EOA= =-, OA 55 _ 4OA 5 )25 OA=)4耳/. AF= - - 5=4417.(1)解：.CD 工 AB, AO± BCZ CEO = 90°在MOF和COE中(£.4FO= LCEOL AOF =乙 COEI AO = COA AOF 冬 A COECE=AF"二2 CD是 0。的直径，CDL.4B." = 4(2)解：是0。的半径，AO1BCCE = BE=2,/JO

26、 = 90 °,B2=«B-4-3rj=c J即0O的半径是轴18. (1)证明：连接 OD, BD,AB为圆0的直径，Z ADB=90 ,在RtABDC中，E为斜边BC的中点,1CE=DE=BE=- BC,Z C=Z CD匕 OA=OD, ./ A=Z ADO,. /ABC=90,即/ C+/A=90°, / ADO+Z CDE=90 ,即/ ODE=90 ,DE± OD,又OD为圆的半径，.DE为圆O的切线；(2)证明：: E是BC的中点，O点是AB的中点,.OE是那BC的中位线，AC=2OE, / C=Z C, / ABC=Z BDC, . ABC

27、 BDC,.二一一 r-=，即 BC2=AC?CDCD BCBC2=2CD?OE(3)解：: cos/ BAD=二, qBC 4 一 . sin/ BAC= = 一 , AC 5E是BC的中点，即BC=14又 BE= , 3 35 . AC=. . J又二 AC=2OE135OE= AC=2619. (1)解：连接 OC,.CD切。O于点C/ OCD=90 / D=30/ COD=60OA=OCA=Z ACO=30 ;(2)解： CF，直径 AB, CF=4 CE=2CF在 RtOCE中，tan Z COE=/,OE=上OE=2,OC=2OE=4S 扇形 boc= 60Tx43603 '

28、;SEOC=3 X 2X03 =2S 阴影=S扇形 BOC-SZEOC=20. (1)证明：连接 OD、OE、DF,如图,AF为直径，/ ADF=90 ,而/ C=90 ,DF/ BC, DE=EF=OE± DF,OE± BC,BC为。O的切线(2)解：. / OEB=90, / B=40° , ./ OFE= 1 (180 - 50°) =65°,/ CDE=Z AFE=65(3)解：易得四边形 CDHE为矩形，HE=CD=Z DH=CE=4,设。的半径为 r,则 OH=OE- HE=r- 2, OD=r, 在 RtAOHD 中，(r- 2)

29、 2+42=r2,解得 r=5, . OH± DF, . HF=DH=4, HF/ BE, . OHFs OEB, .HF: BE=OH: OE,即 4: BE=3: 5,. BE=-.。人与*轴、y轴相切于点B、C,AC±OC, AB±OB, AC=AB,四边形 ABOC是正方形，设 A (m, m),一点A在y= g上，m2=3,m>0,.点a坐标(w，5 , OC=,点C坐标(0,:一次函数y= Bx+b的图象经过点C,T 一次函数的解析式为 令 y=0 得 x=-3, D (-3, 0) , b=(2)解：如图 2中，连接 BC BE,彳AM

30、77; GET M .在 RtADOC 中,. tan / CDO= QC_ _ 也, DC = 3/ CDO=30 ,1. AC/ BD,/ ECA=Z CDO=30 , / CAM=60 , .AMICE, ./ CAM=Z EAM=60 , ./ CAE=120,/ CAE=60在 RtAAMC 中，CM=AC?cos30= 5 , . CE=2CM=3/ CBE=(3)解：如图3中,当。A与直线y= gt+B相切于点E, AB与直线CD交于点K, AB/ OC, ./ A KE = DKB=Z DCO=60 ,在 RtAA” E曲,Ae=5A K=A E+ cos30； =2 RtAC

31、KA,AK=CA?tan30 ° =1.AA' =A" K+AK=1+2=3 O A向上平移3的单位。A与y轴及直线y= 同理可得。A向下平移1个单位。A与y轴及直线y=均相切。专题八圆的有关计算、证明与探究1. (2019荆州中考)如图，AB是。的直径，点C为。上一点，点P是半径OB上一动点(不与O,B重合)，过点P作射线lAB,分别交弦BC, BC于D, E两点，在射线l上取点F,使FC=FD.求证：FC是。的切线;(2)当点E是BC的中点时.若/ BAC =60°,判断以O, B, EC为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由;3若 tan / A

32、BC =4,且 AB =20,求DE的长.(1)证明：连接OC. .OB = OC, ./ OBC =Z OCB.FC= FD, ./ CDF = Z DCF. . / CDF = Z PDB, ./ PDB = / DCF. LAB, PDB + Z OBC =90°. ./ DCF + Z OCB = Z OCF = 90°. .OC是。O的半径，FC是。的切线；(2)解：连接 OE, CE, BE,设OE与BC相交于点G.四边形OBEC为菱形.理由：. / BAC = 60°, .-.Z BOC=120°.又. E 是BC的中点， ./ COE =

33、 Z BOE = 60°. ，OE=OC=OB, .OCE和AOBE都是等边三角形.,-.OC = CE = OB = BE. 四边形OBEC是菱形；AB 是。的直径，./ ACB = 90°. AC 3由 tan / ABC =叁=4,可设 AC=3x, BC = 4x. . AC 2+ BC2= AB ：即(3x)2 + (4x)2= 202.解得 x= 4./.AC = 12, BC= 16. 点 E 是BC的中点，COE = Z BOE.1又. OCnOB, .OG，BC.，BG = 2BC=8.在AOBG和OEP中错误！.-.OBGAOEP(AAS), /. PE

34、 = BG = 8.OP= JOE2 PE2 = 6.'. PB = OB- OP= 4.3 PD= PB tan /ABC=4x4=3. .DE = PE PD =8- 3=5.2. (2019保定二模)如图1, AB为半圆O的直径，AB =4,点M为AB上一动点，连接 AM ,以点M 为旋转中心，将弦 MA逆时针旋转90。，得到线段MN.(1)当AM =2时，AM的长为；(2)当点M到直线AB的距离为1时，求点N到直线AB的距离；(3)如图2,过点O作OPLMN于点P.当点P与点N重合时，求线段 OP的长.解：（1看；（2）过点M作MDLAB于点D,过点N作NE ±MD

35、, NFXAB ,垂足分别为 E, F. 易证得 ADMMEN ,四边形 DENF为矩形. .ME = AD, EN = MD=1, NF = DE.1连接 OM ,则 sin / DOM = 2. ./ DOM =30 . .OD= 3.如图，当点 M在点O的左上方时， ME = AD =OA OD = 2 ®NF = DE = MD ME = 1 （2 艰）=淄一1;如图，当点 M在点O的右上方时，ME = AD =OA+ OD = 2 + 73,NF = DE = ME - MD = (2 + 3) - 1 = 73+ 1.综上所述，点N到直线AB的距离为巾-1或3+ 1； (

36、3)如图，当点 P与点N重合时，连接 PB.图 . /AMN =90°, 直线MN过点B,即点M, P, B在同一直线上. . OPXMN ,PB=PM = AM.在 RtAAMB 中，AM2+BM2=AB2,4 ,58 ；5AM 5AM = 5，BM = 5 . sin / ABP = AB = 5 .,52 EOP= 5 OB = 5 .专题八圆的有关计算、证明与探究1. (2019荆州中考)如图，AB是。O的直径，点C为。O上一点，点P是半径OB上一动点(不与O,B重合)，过点P作射线l，AB,分别交弦BC, BC于D, E两点，在射线l上取点F,使FC=FD.(1)求证：FC

37、是。的切线；(2)当点E是BC的中点时.若/ BAC =60°,判断以O, B, E, C为顶点的四边形是什么特殊四边形，并说明理由；3若 tan / ABC =4,且 AB =20,求 DE 的长.(1)证明：连接OC.,.OB = OC, ./ OBC =/ OCB. FC= FD, ./ CDF = Z DCF. . / CDF = Z PDB, ./ PDB = Z DCF.l± AB , . PDB + /OBC=90°. ./ DCF + Z OCB = Z OCF = 90°. OC是。O的半径，FC是。的切线；(2)解：连接OE, CE,

38、 BE,设OE与BC相交于点G.四边形OBEC为菱形.理由：. / BAC = 60°,BOC =120°.又 E 是BC的中点， ./ COE = Z BOE = 60°. ，OE=OC=OB, .OCE和AOBE都是等边三角形.,-.OC = CE = OB = BE. 四边形OBEC是菱形；AB 是。O 的直径，/ ACB = 90°.AC 3由 tan / ABC = bc = 4, 可设 AC = 3x, BC = 4x.AC2+ BC2= AB2,即(3x)2+(4x)2= 202.解得 x= 4.AC = 12, BC= 16. 点 E 是

39、BC的中点，COE = Z BOE.1又. OCnOB, .OG，BC.，BG = 2bc=8.在aobg和oep中错误！.-.OBGAOEP(AAS). .PE = BG = 8.OP= OE2 - PE2 = 6. PB = OB OP= 4.3PD= PB tan / ABC =4x4=3. .DE = PE PD=8 3=5.2. (2019保定二模)如图1, AB为半圆O的直径，AB =4,点M为AB上一动点，连接 AM ,以点M 为旋转中心，将弦 MA逆时针旋转90。，得到线段MN.当AM =2时，AM的长为;(2)当点M到直线AB的距离为1时，求点N到直线AB的距离；(3)如图2

40、,过点O作OPLMN于点P.当点P与点N重合时，求线段 OP的长.解：(1冷；(2)过点M作MDXAB于点D,过点N作NE ±MD , NFXAB ,垂足分别为 E, F. 易证得 ADMMEN ,四边形 DENF为矩形. .ME = AD, en = md=i, nf = de.1连接 OM ,则 sin / DOM = 2. ./ DOM =30°.-.OD= V3.如图，当点 M在点O的左上方时， ME = AD =OA OD = 2 8NF = DE = MD ME = 1 (2 73)=陋一1;如图，当点 M在点O的右上方时， ME = AD =OA+ OD =

41、2 + 73,NF = DE = ME MD = (2+ #)1 =m+ 1.综上所述，点N到直线AB的距离为V3- 1或小+ 1；(3)如图，当点 P与点N重合时，连接 PB.r 0 F图 . /AMN =90°, 直线MN过点B,即点M, P, B在同一直线上. OP，MN ,PB=PM = AM.在 RtAAMB 中，AM 2+BM 2= AB 2,4 .58.5AM . 5AM = 5 , BM = 5 .sin / ABP = ab = 5 .5 2 2OP= 5 OB = 5 .专题八圆的有关计算、证明与探究I#，河北中考命题规律）年份题型考点题号分值难易度2019解答题

42、与圆的位置关 系、弧长2510较难题2018解答题弧长公式、锐角 三角函数、切线 的性质、勾股定 理2510较难题2017解答题切线的性质、求 扇形的弧长、三 角形的外接圆239中等题考情及预测J河北中考对圆的考查独具匠心，纵观历年中考试题，每年都是原创题，并且出题角度新颖，多以残缺圆出现，并且把平移、旋转、翻折三 种变换融入其中，复习巩固时要多复习河北历年中考题圆的内容.预测2020年圆还会以解答题形式呈现，并且与其他考点综合考查1 1 4，中考重难点突破）备考建议？解答此专题问题要熟练掌握圆的基本性质，垂径定理，弦、弧、圆心角、圆周角之间的关系，能够快速作出辅助线找到解题思路与方法.一般辅

43、助线有：连半径、作垂直、构造直径所对的圆周角等.类型1圆中动点问题【例1】（2019石家庄内四区模拟）如图，在 AOB中，Z AOB = 90°, AO =6, BO= 6/3,以点 O为圆心，以2为半径作优弧DE,交AO于点D,交BO于点E.点M在优弧DE上从点D开始移动，到达点 E时停止，连接AM.（1）当AM =4m时，判断AM与优弧DE的位置关系，并加以证明；(2)当MO /AB时，求点M在优弧DE上移动的路线长及线段 AM的长;(3)连接BM,设 ABM的面积为S,直接写出S的取值范围.备用图【解析】(1)根据勾股定理判定 AM2, MO2, AO2三者的关系即可证明结论;

44、(2)分MO在直线AO的左侧和 MO在直线AO的右侧两种情况，分别计算 DM和线段AM 的长即可；(3)分别确定Sa ABM最大 和最小时点 M的位置，根据锐角三角函数求得此时ABM的高，进而求得面积，从而得到面积的取值范围.【解答】 解：在 RtAAOB 中，AO = 6, BO = 6/3, /. Z BAO =60°, /OBA =30°, AB = 12.(1) AM与优弧DE相切.证明：当 AM=42时， OM = 2, AO = 6, .AM2+OM2= (4虚)2+ 22= 36= AO2.AMO为直角三角形， /AMO =90°. 点 M 在。O

45、上，OM ± AM , AM与优弧DE相切；(2)当MO /AB时，如图1,分两种情况讨论:60 tiX 2 2i)当M1O在直线AO的左侧时，Z AOM 1 = Z BAO = 60 , DM 1的长为 180 =3式过点M1作M1GXAO于点G.M1G .3 在 RtA M 1OG 中，sin 60 = M 1O = 2 ， M1G= V3, OG=1, AG = AO -OG = 5.在RtA AM 1G中，由勾股定理得AM i = AG2+MG2 =，52+ (<3) 2 =2中；ii)当M2O在直线AO的右侧时，连接 AM 2,交OE于点H.易得/ M2OB = /

46、B = 30;(60+ 180) tiX 2 8. . DM 2的长为 180=3式 M2O/AB, .OM 2Hs BAH.OH OM 2OH OM2, BH = AB ，即 OB OH = AB .OH 2_6 13, 6正OH = 12- OH= 7 .AH =aO2+OH2=12 .137在RtAAOH中，由勾股定理得由 AOM 2Hs BAH 可知，AM 2=6AH =273.AM =25或2乖;(3) 12木0 S& 12+ 1好.如图2,过点。作OHLAB于点H,交。于点M,此时Saabm的面积最大. / ABO =30°, OB = 6y3,1在 RtA OH

47、B 中，OH = 2OB = 3乖.1 .MH =OM + OH = 2 + 3展此时 Sa abm = 2AB MH = 2 X 12 X (2 + 33)= 12+18 出；过点D作DFXAB于点F,即点M与点D重合，此时Saabm的面积最小.在 RtAAFD 中，AD = AO -OD = 4,3 DF= AD sin 60 =4x 2 =23.此时 Saabm = 2AB DF = 2x 12X273= 12/3.2 .12 5 wSw 12+ 1873.针对切 Qi1.(2019石家庄裕华区模拟)在4ABC中，AB=AC=5, BC = 8,点M是 ABC的中线 AD上一点, 以M为

48、圆心作。M ,设其半径为r.(1)如图1,当点M与点A重合时，分别过点 B, C作。M的切线，切点为 E, F,求证：BE = CF；(2)如图2,若点M与点D重合，且半圆M恰好落在 ABC的内部，求r的取值范围;(1)证明：图1中，连接AE, AF.BE, CF是。M的切线， ./ BEA = ZCFA = 90°. AB =AC, AE = AF , RtA BAERtACAF (HL)BE = CF；图2(2)解：图2中，过点D作DGAB于点G.AB =AC= 5, BC = 8, AD 是中线，1AD ±BC, BD = 2BC=4. .AD =AB2-BD2 =3

49、.11又Saabd = 2BD AD = 2AB DG ,12DG = 5 .12.当0<r<不时，半圆M恰好落在ABC的内部；(3)解：当点M为4ABC的内心时，如图，过点 M作MH , MP分别垂直于 AB, AC于点H, P,则MH=MP = MD.连接BM , CM.A111SAABC =2AB MH +2BC MD +2AC MP 1=2ADBC,4mh = mp = md=3.5AM = AD - MD =3.，类型2 圆中线段的动态问题【例2】(2019石家庄新华区模拟) 如图，在RtA OAB中，/ AOB = 90°, OA = OB=4,以点。为圆 心

50、，2为半径画圆，点 C是。O上任意一点，连接 BC , OC.将OC绕点O顺时针方向旋转90°,交。O于 点D ,连接AD.(1)当AD与。相切时，求证：BC是。的切线；求点C到OB的距离；(2)连接BD, CD,当 BCD的面积最大时，点 B至ij CD的距离为.【解析】(1)根据切线的性质和半径相等及已知的线段相等，可证明 BOCAOD,再根据全等 三角形的对应角相等证明 / BCO = 90。，即可判定直线 BC是圆的切线；过点C作CEXOB于点E,在 RtABCO中利用勾股定理求出 BC的长，再根据三角形面积公式求出 CE的长，即为点C到OB的距离；(2)由于CD的长为定值，

51、则当点 B到CD的距离最大时4BCD的面积最大，此时 CD与BO的延1长线垂直，则点 B到CD的距离为BO +2cD.【解答】(1)证明：. AD与。相切，/ ADO = 90°. /AOB = / COD = 90°, / AOB / AOC = / COD / AOC ,即 / BOC = / AOD.又.OBnOA, OC=OD, /.A BOC AOD (SAS). ./ BCO = / ADO =90°.OC为。O半径，.BC是。的切线；解：过点C作CEOB,垂足为E.在 RtBOC 中，OB = 4, OC = 2,BC = Job2OC2 = ,42_22 = 273.1 1. Sabco = 2oB CE=2BC OC,即 2CE=2V3,.CE = 43.，点C到OB的距离是 小；(2) 4+ 成.,田副副目2. (2019兰州中考)如图，RtAABC内接于。O, Z ACB = 90°, BC = 2.将斜边 AB绕点A顺时针旋 转一定角度得到 AD,过点D作DEL AC于点E, / DAE = / ABC , DE = 1,连接DO交。O于点F.(1)求证：AD是。的切线；(2)连接FC交AB于点G,连接FB.求证：FG2 = GO GB.证明