利用空间向量求空间角训练题

1、利用空间向量求空间角训练题、题点全面练1.如图所示，在正方体 ABCDAiBCD中，已知 M N分别是B/口 AD的中点，则BM与DN所成角的余弦值为()A.,30B.,30 "15"C.30 Tq-D.1575"解析：选 C建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体的棱长为 2,则 B(2,2,2) , M1,1，0) ， D(0 , 0,2)F.1, 1, -2) , DN = (1,0 , 2), BM与 DN所成角的余弦| "BM - C1N|值为；ziT-I 丽 cTn | 一,N1Q0) ，= BM=(2.如图，已知长方体 ABCDA1B1CD中

2、,DEC所成角的正弦值为AD= AA=1, AB= 3, E| 1 + 4|30x + y- z=0, 3y z= 0,取 y=1,得 n= (2,1,3)cos DC , n|D11 |n|3d35 '，DC与平面DEC所成的角的正弦值为飞3.在直三棱柱 ABCABG中，AA=2,二面角 BAA-C的大小为60° ,点B到平面ACCA 的距离为 聒点C到平面ABBAi的距离为2g3,则直线BC与直线AB所成角的正切值为 ()A. 7B. 6C. 5D. 2解析：选A由题意可知，/ BAC= 60° ,点B到平面ACS的距离为。3,点C到平面 ABBAi 的距离为

3、2班,所以在三角形 ABC43, AB= 2, AC= 4, BC= 243, Z ABC= 90° ,> > > > > >贝U AB BC = ( BB BA) ( BB + BC) = 4,| 皓| =2/，| 封| =4,> >cos AB , BC故Lan 疝，前 =V7.4.如图，正三棱柱 ABCAiBiCi的所有棱长都相等，E, F, G分别为AB AA, AiG的中点，则BF与平面GEFW成角的正弦值为()3A.5C.3,3i0D.3.6i0解析：选A 设正三棱柱的棱长为 2,取AC的中点D,连接DG DB分另1J以DA

4、 DB DG所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角 坐标系，如图所示，则 Bi(0,小,2), F(i,0,i),E1,乎,0 j 00,0,2),江= (i, - ® - i),百=1,-乎 i & =(i，0，- i) .设平面GEF勺法向量n = (x, y, z),+ z= 0,即/,X z= 0,所以 cos n, BF >1-3-1V5x福35'3所以BF与平面GE所成角的正弦值为5.5.在正方体 ABCD-ABGD中，点E为BB的中点，则平面A1ED与平面ABCW成的锐面角的余弦值为()1A.2C手D于解析：选B以A为坐标原点建立如图所示的空间直

5、角坐标系设棱长为1,1则 A1(0,0,1) , E, 0, 2) 口0,1,0),AQ=(0,1 , - 1),A-xyz,-2)设平面AED的一个法向量为 m=(1 , y, z),n1 , A D = 0,C AE = 0,y- z = 0,即,1 c|1-z= 0,y= 2,=z = 2, m= (1,2,2)又平面ABCD勺一个法向量为n2= (0,0,1),cosn2>22=二3X1 32即平面AiED与平面ABCD/f成的锐二面角的余弦值为 -.36.如图，菱形 ABCDK Z ABC= 60° , AC与BD相交于点 O AE1平面ABCD CF/ AE AB=

6、 2, CF= 3.若直线 OF与平面BE所成的角为45IeF - n=0,则、GF , n= 0,取 x = 1,则 z = 1, y = 8故n = (1,、/3, 1)为平面GEF勺一个法向量,解析：如图，以 O为坐标原点，以 OA OB所在直线分别为x轴,y轴，以过点 O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设 AE= a,则 B(0，艰，0) , D(0 ,一斓，0) , F(-1,0,3)a) ,7OF =(- 1,0,3) , 15b =(0,2 中，0), 肩=(-1,a）.设平面BED勺法向量为 n = （x, v，z），E(1,0 ,Idb =0,"EB =

7、 0,12 艰y=0,、x + /y az= 0,得 x= - a,-n=(-a,0,1)， . cos n, OF> =a+ 3|n| 岳| g5直线OF与平面BED所成角的大小为45。，|a+3| 二也a2+ 1 x Tq2一八1人，一解得 a=2 或 a= 2（舍去），AE= 2.答案：27.如图，已知四棱锥 P -ABCD勺底面ABCDI等腰梯形,AB/ CD且 ACL BD ACW BD交于 Q POL底面 ABCD PO= 2, AB= 2隹 E, F 分别是AB AP的中点，则二面角 F -OE -A的余弦值为 .解析：以O为坐标原点，OB OC OP所在直线分别为x轴，y

8、轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz,由题知，OA= OB= 2,则 A(0, 2,0) , B(2,0,0), R0,0,2), E(1 , 1,0) , F(0 , -1,1),友=(1 , 1,0) , "OF=(0 , 1,1),设平面OEF勺法向量为nn= (x, y, z),m.则即.x y= 0m-OF=0,-y + z= 0.令 x= 1,可得 m= (1,1,1)易知平面OAE勺一个法向量为n= (0,0,1),mn 3贝U cos( m n> = r=妾. I m| n|3由图知二面角F-OEA为锐角，所以二面角F-OEA的余弦值为 当答案:&q

9、uot;338. (2018 全国卷出)如图，边长为2的正方形ABC所在的平面 与半圆弧C'D所在平面垂直，M是C'D上异于C, D的点.(1)证明：平面 AMDl平面BMC(2)当三棱锥 MABC积最大时，求平面 MABf平面MC所成二面角的正弦值.解： 证明：由题设知，平面CMD_平面 ABCD交线为CD因为BCLCD BC?平面ABCD所以BCL平面CMD又DM平面CMD所以BCL DM因为吊为而上异于C, D的点，且DC为直径，所以DM_ CM又 B6 CM= C,所以DM_平面BMC因为DM平面AMD所以平面AMD_平面BMC(2)以D为坐标原点，DA的方向为x轴正方

10、向，建立如图所示的空间直角坐标系 Dxyz.当三棱锥 MABC的体积最大时，M为"CD的中点.由题设得 D(0,0,0) , A(2,0,0)，日2,2,0) , C(0,2,0) ,M0,1,1),，八_>-_AM=(2, 1,1) , AB = (0,2,0) , DA = (2,0,0)设n = (x, y, z)是平面MAB勺法向量,-2x+ y+z= 0, 即2y=0.可取 n= (1,0,2),又"DA是平面MCDJ一个法向量,. n，DA"V5. ,、2V5所以 cosn, DA> =, sin n, DA> =>55|n|D

11、A|所以平面MAB<平面MC叫成二面角的正弦值是2.5 丁.9. (2018 全国卷n )如图，在三棱锥 RABC43, AB= BC= 2，2, PA = PB= PC= AC= 4, O为 AC的中点.(1)证明：POL平面ABC(2)若点M在BC上，且二面角 MPAC为30° ,求PC与平面PAM所成角的正弦值.解：(1)证明：因为 PA= PC= AC= 4, O为AC的中点,所以POL AC,且PO= 2次.连接OB因为AB= BC= r -1-所以ABC等腰直角三角形，且 OBLAC OB= 2AC= 2.所以 PQ+OB = PB,所以 POL OB又因为OBH

12、AC= O所以POL平面ABC一、. . ,» . . 、，. 、 ， ， 、 * 、(2)以O为坐标原点，OB的万向为x轴正万向，建立如图所小的空间直角坐标系 Qxyz.由已知得 Q0Q0), B(2,0,0), A(0 , 2,0),a0,2,0), P(0,0,2 小),AP= (0,2,2 小)一 一 , * , ，一取平面PAC勺一个法向量 OB= (2,0,0).、1- -_.上一设 Ma,2 a, 0)(0 vaw2),则 AM=(a, 4 a, 0).设平面PAM勺法向量为n=(x, V，z)，2y+2V3z=0,、ax+ 4- a y=0,令y =ma,得z = a

13、, 季a, a)，x=y3(a4),所以平面PAM勺一个法向量为n= b/3(a-4),所以 cos OB, n> =一不 22 3 a-Ia-42+3a2 + a2.由已知可得|cos "OB, n>| = cos 30所以所以 cos PC, n>64 16 16产费.、石+在十9,3彳.一 14 ,、人，解得a=6或a=- 4(舍去).3if挛孚又"PC =（0,2 , -2嫄）,所以PCW平面PAM成角的正弦值为-43.、专项培优练素养专练一一学会更学通1 .直观想象、数学运算如图，四棱柱 ABCDABGD的底面ABCD1 菱形，ACA BD= Q

14、 AO1底面 ABCD AB= 2, AA=3.证明：平面ACOL平面BBDD;(2)若/ BAD= 60° ,求二面角 BOBC的余弦值.解：(1)证明： AO,平面 ABCD BD?平面 ABCD. AOL BD四边形 ABCD1 菱形，COL BD. AOn CO= Q .BD,平面 AiCO. BD?平面 BBDD,平面ACOL平面BBDD.2 2） . AOL平面 ABCD COL BD . . OB OC OA两两垂直,:以O为坐标原点， OB, OC, OA的方向分别为x轴，y轴, z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系. AB= 2, AA=3, / BA氏60.

15、OB= OD= 1, OA= OC=木,OA= QaAOA=近则ao,0,0）,B（1,0,0）,C（0, m，0） ,A（0,m，0） ,A1（0,0 ,乖）,. ."OB =（1,0,0）,笳=AA = （0,乖）,CHS ="OB +庙=（1 , 73,乖）.设平面 OBB的法向量为 n=(x, y, z),x=0,d + q3y+q6z=0.令y = #，得z= 1, n=(0 , p 1)是平面OBB的一个法向量. 同理可求得平面 OCB勺一个法向量 m=(乖,0, 1),C'C'S n, m21 ，由图可知二面角 B- OB- C是锐二面角,，二

16、面角BODC的余弦值为 孑212.直观想象、数学运算如图，在四棱锥 P-ABCD,底面 ABCD直角梯形，/ ADC=90 , AB/ CD AB= 2CD平面PADL平面ABCD PA= PD点E在PC上，DEL平面(1)求证：PAL平面PCD(2)设AD= 2,若平面PBCW平面PAD所成的二面角为 45。DE的长.解：(1)证明：由DE!平面PAC彳寻DEL PA又平面PADL平面 ABCD平面PACT平面ABC呼AD CDL AD所以CDL平面PAD所以CDL PA又CDT DE= D,所以PAL平面PCD(2)取AD的中点Q连接PQ因为PA= PD,所以PCL AD又平面PADL平面

17、 ABCD平面PADT平面 ABCD= AD所以PCL平面ABCD以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ,由(1)得PAL PD由AD= 2得PA= pd= 2, PO= 1,设 CD=a,则R0,0,1),D(0,1,0),C(a, 1,0) ,R2a, 1,0),则 BC=(-a,2,0) , PC=(a, 1, 1).设m= (x, y, z)为平面PBC勺法向量,m- IBC =0, 由冬 一1m P C= 0,ax + 2y = 0,令 x=2,贝U y = a, z= 3a,故 m= (2 , a, 3a) &x+ y z= 0,为平面PBC勺一个法向量,由

18、(1)知n= "DC =(a, 0,0)为平面PAD的一个法向量.由 |cosm n | =|m n| =|2a|也I ml n| a/l0a2+4,解得a=¥0，即CD=乎,所以在Rt由等面积法可得 DEE= Cp pD)=3PC 33 .直观想象，数学运算如图，在三棱锥 P-ABC中，平面PABL平 面 ABC AB= 6,BC= 2g AC= 2g D, E分别为线段 AB BC上的点，且 AD= 2DB CEE= 2EB PDL AC(1)求证：PDL平面ABC(2)若直线PA与平面ABC所成的角为45。，求平面 PAC与平面PDE所成的锐二面角大 小.解：(1)证

19、明：. AC= 2#,BC= 2木,AB= 6, .AC+ BC= A氏，/ACB= 90 , cosZ ABC=毡=更 63又易知BD= 2, . CD= 22+(2 -/3) 2-2X2X2 /3cos / ABC= 8, .CD= 25，又 AD= 4,. CD+ aD= AC, . CDL AB 平面PABL平面 ABC平面PA由平面 ABC= AB, CD?平面ABC. CDL平面 PAB又 PD?平面 PABCDh PDPDLAC ACn CD= C,. PDL平面 ABC,(2)由(1)知PD CD AB两两互相垂直，可建立如图所示的空间/K直角坐标系Dxyz,/ 直线PA与平面ABC所成的角为45° ,即/PA氏45° ,，PD= AD 1一左少*=4，厂