北师版八年级上册数学同步培优讲义

1、第一节勾股定理【知识要点】1 .中国传统文化源远流长，你了解“勾股定理”吗？2 .什么样的数组是“勾股数组”呢？你能列出至少六组基本勾股数组吗？3 .能使用两种方法作长为 jn的线段(以，5为例)吗？4 .解题技巧.(1)利用勾股定理解题一定要找准斜边、直角边.(2)作辅助线构造直角三角形解题.(3) 30°、45°锐角的直角三角形三边的比例关系.(4)数形结合的实际问题，运用点到直线距离最短、两点间线段最短，空间图形展开成平 面图形等知识点.暑假邦德学员：你还记得这个表吗？ ？3, 4, 55, 12, 13,7, 24, 258, 15, 179, 40, 412 倍

2、6, 8, 103倍15, 36, 3927, 120, 1234倍28, 96, 1005倍40, 75, 855.观察勾股数组的形成规律，你能得出什么结论呢？【典型例题】# 例1求下图中字母所代表的正方形的面积.&=SB=a=; b=; c=. a=; b=; c=从中发现：(1)三个正方形的面积之间有什么关系？(2)三个正方形围成的直角三角形三边长度之间有什么关系?# 例2 直角三角形的周长为 30cm,斜边长为13cm,那么 这个三角形的面积为多少？# 例3如图，四边形 ACD提长方形，它的面积是 39m2,CD=3m AB=5m / ABC毛0 :求以BC为直径的半圆的面积(

3、结果保留几)# 例4 如图，已知 ABC中，AR AE分别是 BC边上的高和中线，AB=9cm , AC=7cm, BC=8cm ,求 DE的长.# 例5如图，在点D处有甲、乙二人同时出发，甲沿DA AB过桥到达点B处，乙沿DC过桥由C点直达点B 处.已知 DA=6里，AB=6里，DC=2里.假设甲、乙二人 速度相同，问甲、乙二人谁先到达点B处？说明理由.# 例 6 已知 ABC中，AB=AC AB=6cm BC=4cm求（1） Sa ABC(2)腰AC上的高BEC# 例7 在钝角三角形 ABC中，CB=9cvm AB=17cm AC=10cm AD)± BC的延长线于 D, 求AD

4、的长.例 8 如图所示，在 ABC中，AB=9, AC=6, ADL BC于点D, M为AD上任一点，求 MB MC的值.例9 一艘轮船以16海里/小时的速度离开港口向东南航行, 另一艘轮船在同时同地以 12海里/小时的速度向西南方向 航行，它们离开港口一个半小时后相距多远？# 例10在数轴上用点表不：22.* 例11如图所示，B点在AC上，且AB:BC=1:2, ABD和 BCE都是等边三角形，求证：/ EDB=90* 例12如图，已知 ABC中，AB=ACP是边BC上的一点.求证： AE2=AP2+BP- PC* 例 13 如图，RtABC中，/ ACB=90 , CD是高，求证： AE2

5、+BD)+2CD=AE2.* 例 14 如图，已知 RtABC中，/ ACB=90),CD是边AB上的高.求证：(1) CD=AD-DB22 _(2) AC=AD- AB (3) BC=DB- AB大显身手姓名：成绩：#1 .若直角三角形三边长为三个连续偶数，则它的三边长为（）A.2,4,6B.4,6, 8C.6,8,10D.8,10, 12#2 .在直角三角形ABC中，/ C=90° , AC=48, BC=7, AC边上中线BD的长为（A. 24B. 14C. 25D. 27# 3 .如图所示，ABC中，ADL BCT D, AB=25, BD=7, DC=1&则 AC=

6、()A. 24B. 25C. 30D. 35# 4 .直角三角形的两边为 9和40,则第三边长为（A. 50B. 41C. 31D.以上答案都不对# 5.直角三角形两直角边长分别为6cm和8cm,则连结这两条直角边中点的线段长为（).A. 10cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm# 6 .如图，正方形 ABG林口正方形CDEB勺面积分别是100和36,则以AC为直径的半圆的面积是（A. 8 二B. 16 二C. 32 二D. 64 二# 7 .在 ABC中，/ C=90° ,三内角 A, B, C的对边长分别为 a, b, c,若 a=9, b=12,则 c=;若 b=7, c=

7、25,则a=(1)若 a=2, b=6,则 c=(2)若 c=61, b=60,则 a=(3)若 a：b=3:4,c=10,贝 tja=,b=(4)若 a=60, b=144, c=(5)若 a=35, b=120, c=(6)若 c=200, a=120, b=(7)若 c=340, a=160, b=9.边长为4的等边三角形的面积等于10.等边三角形一边上的高为6,则它的边长等于11.直角三角形的两直角边为6、8,则斜边上的高等于# 12 .如图，在 ABC, / ACB=90 , BC=8cmAC=15cm CD! AB, D为垂足，求 CD的长.# 13 .已知直角三角形的两边长为10

8、、6,求另一边长.# 14 .已知直角三角形周长为24,面积为24,求各边之长.15.在数轴上用点表示下列各数：73, 73-1*16 .如图，在 ABOP, / C=90o, AD为/ CAB的平分线，交 BC于D, BC=4, CD=1.5,求 AC的长.17.如图，一个古代棺木被探明位于A点地下24米C处，由于A点地面下有煤气管道，考古人员不能垂 直向下挖掘，他们被允许从距A点10米远的B点处挖掘，若考古人员要沿最短路线挖到棺木，则需要挖 多长的距离？*18 . 一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图，火柴盒的一个侧面 ABCDU下到AB'C

9、'D'的位置, 连结CC',设AB=a, BC=b AC=g请利用四边形 BCC'D'的面积证明勾股定理： a2 +b2 =c2第二节勾股定理的逆定理【知识要点】1 .发挥你的智慧，能根据上节勾股定理推测出其逆定理吗?2 .利用智者的智慧：利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤:【典型例题】#例1判断以下各组线段为边能否组成直角三角形.111(1) 9、41、40;(2) 5、5、542、；345(4) 32、42、52近、后、后# 例2 已知， ABC的三边分别为 a、b、c,且a+b=4, ab=1, c=J14,试判断 ABC的形状.2 22

10、 244# 例3 若a、b、c是 ABC的二边，且满足a c b c =a b , 试判定三角形的形状.# 例4 试判断：三边长分别为2n2+2n、2n+1、2n2+2n+1 ( n>0)的三角形是否直角三角形？# 例5希望学校有两个课外小组的同学到校外去采集植物标本，已知第一组的速度为 30米/分钟，第二组的速度为 40米/分钟，且两组行走的路线为直线，半小时后，两组同学同时停下来，这时两组同学正好相距1500米.# 1)请你判断一下两组同学行走的方向是否为直角？并说明理由？# 2)如果接下来两组同学以原来的速度相向而行，那么经过多长时间后才能相遇？a、b,斜边长*例6 已知：直角三角

11、形中，两直角边长为 为c,斜边上的高为h.求证:1 11!=2 .2.2 .a b hP*例7 如图，已知锐角 ABC中，P是边BC上的一点, 求证：AB" - PC+AC - PB=BC(AP2+PB- PQ* 例 8 如图，在 RtAABC 中，/ BAC=9Gb, 点D为BC边上的中点，点 E、F分别为AR AC 上的点且/ EDF=9S.求证：BU+FCDU+Dd大展身手姓名：成绩：# 1 .如图，分别以 RtABC的三边 AB BG CA为直径 向外作半圆，设直线 AB左边阴影部分的面积为 Si,右边阴影部分的面积和为S2 ,则（）.A.S1 =S2B.Si:二 S2C.S

12、iS2D.无法确定# 2. 4ABC中，AB=J5, BC=2j3, BC边上的中线 AD=/2 ,则 ABC是 三角形.# 3 .已知 x_12|+,z13 和 y2 10y+25是相反数,则以x、v、z为边的三角形是 三角形.# 4. ABC的两边分别为5, 12,另一边c为奇数，且a +b +c是3的倍数，则c应为,此三角形为三角形.# 5. 一根铁丝折成 RtAABCC /C=90： AC=15cm BC=8cm若用这根铁丝折成正方形，则它的边长为cm .# 6.若 ABC的三边a、b、c满足2.22、(a b)(a +b c ) = 0 ,试判断 abc的形状.# 7 ,如图，RtA

13、ABC 中，/ C=90o, D为 CA上任一点, 试判断Ad-BD2与AC2-CD2之间的关系，证明之.* 8 .已知：如图， AD是 ABC的高，且 AD=BD- DCa2 b2 c2 338 =求证： ABE RtA.* 9 .若 ABC的三边长a、b、c满足条件,10a +24b +26c,判断 ABC勺形状.10.已知 ABC三边上分别为 a, b, c, a=n2 16,b=8n, c=n2 +16(n>4 ),求证：/C =90"#11 .如图，已知四边形 ABC冲，AB=20, BC=15 CD=7；AD=24, Z B=90 ,求证/ A+Z C=180c#

14、12 .如图，正方形 ABC力，F为DC中点，E为BC上, 日 1一点，且 EC = BC ,求证/ EFA=9Q .4AB第三节 特殊的直角三角形【知识要点】你了解两类特殊的直角三角形及其性质吗？【典型例题】# 例 1 已知如图，/ ABDI C=90° , AC=BC /DAB=30 , AD=122 求 BC 的长.# 例 2 如图，在 RtABC中，/ ACB=90 , ZA=30° , CDL AB于 D, AB=1.6,求 AD的长.# 例3 如图所示，在 ABC中，/ C=30° , /BAC=105 , AD± BC 垂足为 D, AC=

15、2cm 求BC的长.例 4 如图，AB=AC / BAC=120 , AB的垂直平分线ED交BC于点D,求证：BD=- DCAD2# 例 5 ABC中,Z C=90 , Z ABC=75 , D是 AC上的一点，Z CDB=30 , BC=3cr 求AR AC的长.# 例6如图所示，四边形 ABCDK Z ABC=135 , ZBCD=120 , AB=a/6 , BC=5 - 73 , CD=6求AD的长.例7如图，已知在 ABC中，AB=AQ Z BAC=120 , ADL AC, CD=6 求 BQ AC 的长.# 例8如图， ABC中，Z ABC=45 , H为两条高AD和BE的交点.

16、求证： BH=AC# 例9已知：如图，在 ABC中，Z ACB=90),AC=BQ P是 ABC内一点，且 PA=3 PB=1,CPPC=2 求/ BPC大显身手姓名：成绩：# 1 .三角形的三个内角之比为1: 2： 3,它的最大边长为 a,那么它的最小边是.# 2 .在RtABC中，/ C=90° ,三内角 A, B, C的对边长分 别为 a, b, c,若/ A=30° , a： b: c=; / A=45° , a： b: c=.3.直角三角形斜边的平方等于两条直角边乘积的2倍，这个三角形有一个锐角是（）A. 15°B.30°C. 45&

17、#176;D.60°# 4 .如果直角三角形有一个锐角为30° ,那么它的三条边长的比（由小到大）是 .5.在RtABC中，/ C=90° , / A=60° ,较大直角边的长为6点,则AB=,斜边上的高.# 6 .在RtABC中，一条直角边为 6,斜边上的高是 3, 则两个锐角为 、.# 7.若三角形的三个内角之比是1:2:3 ,最短边长为10cm,则其他两边长为8.如图，/ ABC=/ ACB CEE/ AB, AD±CE于点 D,且 AD=1 AB,则 / BAC=、2/ ABC=.* 9 .如图，已知 AE BC, CtU BC, /

18、AMB=75 , /DMC=45 , AM=DM 求证：AB=BC* 10 .如图，在四边形 ABCD43, AB=2 CD=1, ZA=60° , / B=Z D=90° ,求 BC和 AD 的长.A* 11 .如图所示，已知：/ B=/D=90° , Z A=60° ,AB=4, CD=2求四边形ABCM面积.第四节勾股定理的应用一、梯子问题【知识要点】你见过梯子吗？它有什么特点呢?C B。图1-2#例1 如图1-1 , 一个梯子 AB长5米, 斜靠在一竖直的墙 AC上，这时梯子下端 B与墙角C的距离为3米，梯子沿墙滑动 后停在DE的位置上，如图1-

19、2,所示， 测得BD长为1米，求梯子顶端 A下落了 多少米？二、两点间的距离问题【知识要点】1 .今天，大家来谈谈立体图形表面两点间的最短距离问题吧!#例2 如图，长方体的长为 15cm,宽为10cm,高为20cm, 点B离点C5cm 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A爬 到点B,需要爬行的最短路程是多少？102 .大家知道立体图形中的最长线段问题怎样解决吗？#例3 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cmx 36cmx 23cm的长方体空间。一位旅客携带一件长60cm的画卷，这件画卷能放入行李架吗？例4如图，有一长、宽、高分别为5cmi 4cm, 3cm的木箱，在它里面放入一根细

20、木条（木条的粗细、形变忽略不计） ，要/ 广求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大山长度是（）A. . 41cmB. . 34cmC. 50cmD. 75cm三、行程类问题【知识要点】你知道行程类问题该如何解决吗？你能说出相关的数学公式吗？#例5 一艘轮船以32海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以24海里/时的速度向西南方向航行，则一个小时后两船相距多远？例6某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A处运往正西方向的B处，经16小时到达，到达后必须立即卸货，此 时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A向北偏西60 ：方向移动，距台风中心

21、 200海里的圆形区域（包 括边界）均会受到台风影响。（1）问：B处是否会受到台风的影响？请说明理由。（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果精确到0.1小时）*例7阅读材料并解答问题:我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、 希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应 用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方 勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”。关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组， 在课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”。以下是毕达哥拉斯等学派研究出 的确定勾股数组的两种方法：1 C方法 1

22、:右 m为奇数(3),则 a=m, b =_ (m2 -1 ) 2和c=l(m2 +1屋勾股数。2方法2：若任取两个正整数 m和n (m>n),则a=m2 -n 2 ,b=2m" c =m2 +n2 是勾股数。(1)在以上两种方法中任选一种，验证以a、b、c为边长的 ABC是直角三角形。(2)请根据方法1和方法2按规律填写下列表格:勾m3511股(m2 -1 )241260弦 Lm2 +1)251361表2m233444556n12132143522a =m -n3587121591611b=2mn4126241684030602 -k 2 c =m + n5131025201

23、7413461（3）某园林管理处要在一块绿地上植树，使之构成如图所示的图案景观，该图案由四个全等的直角三角形组成。要求每个三角形顶点处都植一棵树，各边上相邻两棵树之间的距离约为1米，如果每个三角形最短边上都植6棵树，那么这四个直角三角形的边上共需植树 棵。小试锋芒姓名：成绩：一、精心选一选#1 .直角三角形的一条直角边是另一条直角边的-,斜边长3为10,它的面积为（）。A. 10cm2B. 15cm222C. 20cmD. 30cm# 2 .如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1,则 ABC的形状是（）。A.直角三角形B.锐角三角形C.等边三角形D.钝角三角形# 3 .如图，一扇矩形大

24、门，高 3m,宽4m,为了加固大门，在大门的四边及对角线位置分别订上铁条，问至少需要铁条的长度为（）。A. 10mB. 12m# 4 .小明把一根长为160cm的细铁丝剪成三段，做成一个 等腰三角形风筝的边框 ABC（如图），已知风筝的高 AD=40cm则小明把铁丝剪成三段的长度分别为（）。A. 40, 40, 80B, 50, 50, 60C. 60, 60, 40D, 70, 70, 205.编制一个底面周长为 a、高为b的圆柱形花柱架，需用沿圆柱 表面绕织一周的竹条若干根，如图中的A1clB1, A2c2B2则每一根这样的竹条的长度最少是（）。A. a2，b2B. a2 -b22.22.

25、2C.a -bD. .a b二、耐心填一填# 6 .小明用火柴棒摆直角三角形，已知他摆两条直角边分别 用了 6根和8根火柴棒，则他摆完这个直角三角形共用火柴棒 根。# 7 .如图，太阳能热水器的支架AB长为90cm,与AB垂直的BC长为120cm。则太阳能直空管 AC的长度是 蹩膏# 8 .从地图上看（如图所示），南京玄武湖东西向隧道与中央路北段及龙姗路大致成直角三角形。从B处到C处，如果直接走湖底隧道 BC,将比绕道 BA©1.35km）和AC2.25km） 少走的路程是 km 。9 .如图，某建筑物 BC直立于水平地面， AC=9米且AB=2BC要 建阶梯AB,使每阶高不超过 2

26、0厘米，则此阶梯最少要建 阶。（最后一阶的高不足 20厘米时，按一阶计算；V3取1.732 ）、专心解一解10 .如图所示，厂房屋顶人字架（等腰三角形） 的跨度 BC为12m,中柱 AD为2.5m,中柱 AD垂 直于BC,且垂足D为BC的中点，为防雨需在厂 房顶部铺上油毡，若厂房长10m,则需要油毡多少平方米？# 11 .有一个传感器控制的灯，控制范围是：以它为中心5米（包括5米），即只要有物体进入距离它 5米以内（包 括5米）的区域，灯就会自动打开，现将它安装在学校大门 上方离地面高4.5米的墙上，如果小明身高 1.5米，那么小 明离门多远的地方，灯刚好打开？大显身手姓名：成绩：一、精心选一

27、选# 1 .夏令营里，一次野营训练，同学们分为红、蓝两军。红军以80米/分的速度沿东南方向行进，蓝军以60米/分的速度沿西南方向行进，半小时后，两军相距（）。A. 3000 米B. 3200 米C. 4000 米D. 4200 米# 2 .如图，一座楔形台，高 14米，底座长48米，一位 自行车运动员要在 5秒钟驶过楔形台斜面，则平均速度至 少应达到（）.C. 6m/sA. 10m/sB. 8m/sD. 4m/s3 .如图，某校 A与直线公路距离为 3000米，又与该公 路上某车站D的距离为5000米，现要在公路边建一个小 商店C,使之与学校 A及车站D的距离相等，那么该商 店与车站的距离是（

28、）米.A. 1800B. 2000C. 3000D. 31254 .在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树。在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米。出门在外的张大爷担心自己的房子被倒 下的大树砸到，大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通 过计算、分析后给出正确的回答（）。A. 一定不会B.可能会C. 一定会D.以上答案都不对二、耐心填一填# 5 .如图，小明将一张长 AE=20cm宽DE=15cm的长方形纸 减去了一角，量得 AB=3cm CD=4cm则剪去的直角三角形的 斜边长为 cm 。6.有一个边长为 50cm的正方形洞口，想用一个圆形铁片盖住 这个

29、洞口，圆形铁片的直径至少是cm 。（结果精确到0.1cm）*7 .小明从矩形操场的一个顶点沿对角线走到另一顶点，比 沿操场两邻边少走了矩形长边的一半的距离，则这个矩形操场 的短边与长边的比是 。三、专心解一解8.如图，在 ABC中，/B=451 AC=V5, AB =<2 , 求BC的长。# 9 .“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行 16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里。若“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？10 .登山员在山顶一平坦处竖起一面会旗，旗杆被系在A处的三条等长的铁

30、索拉紧，并分别固定在地面的G H E处，如图所示，如果/ ABCW ABDI ABE=90 ；那么BC BD BE三条线段有怎么样的关系？11 .如图，台阶的下端点 B到上端点A的直线 距离是多少？12 .如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避仅少走了几步路（假设 2步为1米，却踩伤了花草?开拐角走“捷径”，在花圃内走出一条“路”，问他们仅13 .中俄两国在某海域举行联合军事演习，甲、乙两艘船同时从某港口 O出发，分别向北偏西 60 :南偏西30”方向航行围攻敌船，已知甲、乙两艘船速度分别为60海里/时，80海里/时，问两艘船出发后多长时间相距200海里？*14 .为筹备迎新生晚会，同学

31、们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸。如图，已知圆筒高108cm,其圆筒底面周长为36cm,如果在表面缠绕油纸 4圈，应裁剪多长油纸?第一节平方根【知识要点】1、什么是平方根？什么是算术平方根？它们有什么关系呢?2、平方根有哪些运算性质?3、试说说你对平方、平方根、开平方三者的认识吧?4、洋葱头认为，算术平方根ja具有双重非负性。你觉得是吗?【典型例题】#例1识别平方根、算术平方根的概念(1) 一个正数 m的算术平方根可记作 ,平方根 记作;(2) 2的算术平方根为 ; J16的平方根为(3)如果3x +2的平方根为±1 ,则x=;,、八1,，(4) 2的算术平方根

32、为，算术平方根的倒数4为,算术平方根的相反数为 算术平方根的立方为,平方根的相反数为(5)平方根等于它本身的数是 ,算术平方根等于它本身的数是.#例2 求下列各数的平方根(1) 144;(2) 丝；(3) (5)2;81(4) 0.0036 ;(5) 4.#例3求下列各数的算术平方根81(1) 100；(2)64(4) 13 ;(-出(6) 11M12M13M14+1#例4 根据平方根与算术平方根的概念，判断下列说法是否 正确，正确的在后面括号中打，错误的打“X” 。(1) ±7的平方根是 49。()(2) 49的平方根是1。()(3) (12的算术平方根为1;()(4) _5没有平

33、方根；()(5) V所的算术平方根为9;()(6)任何数的平方根都是非负数；()(1)-m2没有平方根；()(8) 3没有平方根；()(9) -m2 +1没有算术平方根；()(10) 0.49的算术平方根是 0.01;()(11)"表示1的算术平方根的相反数。()例5 已知3x+1的平方根是土 4, 4x-y+2的算术平方根是 5, 求x -2y的平方根。例6自由下落的物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为h=4.9t2。有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地 面需要多长时间？算术平方根的双重非负性在计算中可以怎样巧妙应用* 例 7 (1)已知(3_4m 2 +；

34、6+n=0,求(mnf 的值；(2)已知m _n +5与Jn +m -9互为相反数,求 m2+n2的值。(3) 4ABC的三边长分别为 a, b, c,且b, c满足b -3 + cc -5 =0 ,求a的取值范围。(4)若二6 +j2y+4 =0 ,求yx的值。(5)已知程二4 一卷二64 +2 =b，求a22的值。(2) V016(4) 7441 -720.25 +V1 -0.75 ;例8计算与求值：(1)/169 +痣;(3) ；(3.14-n 2 ;当1 <x <2 时，化简 V(x 力 2 +y(x -2 2 .* ( 6)若 a <0 , b <0 ,求 J

35、(_a j 2 的值.* (7)求 j6+a + J5 2a 弋2 3a + Y二02 的值.*( 8)已知(m +n+2jjm+n_2j=45,求 m+n的算术平方根例9小数部分求值：(1)已知 四 的整数部分为 m小数部分为n,求3m 一个正方形的面积为原来的 n倍时，它的边长变为原来的多少倍?n2的值.* ( 2)若8+/3的小数部分为 m 8-73的小数部分为n,求m+n的值.思考：1. 一个正方形的面积为原来的100倍时，它的边长变为原来的多少倍?大展身手姓名：成绩：# 1 . (1) 81的平方根是 , 144的算术平方根是(2)所的平方根是 , 质的算术平方根是(3)加6的算术平

36、方根的相反数是 ,在6的算术平方根的倒数是(4)屏的平方根的绝对值是 .(5) ；(_4 2的算术平方根是(6) 4的算术平方根是9(7) (_1.44 2的算术平方根为(8) 70.04=.# 2 .如果一个数的一个平方根是 -3 ,那么这个数是# 3 .如果的平方根是等于土 3,那么x= .# 4 .一个自然数的算术平方根是a,则下一个自然数的平方根为# 5 .判断对错：(1)1的平方根是1;()(2) 1是1的平方根；()(3) (-1 2的平方根是-1 ；()(4) 一个数的平方根等于它的算术平方根，则这个数只能是零；()(5) 一个数的平方根一定有 2个；()(6) 一个非负数的非负

37、平方根一定是它的算术平方根；()(7) 一个正数的平方根一定是它的算术平方根；()(8) 一个非负数的正的平方根是它的算术平方根；()(9) G/a 1 =a;()(10) Ua2 =a ;()(7.4 2 ；(-3.9 f;(12) fVa2 +1 J =a2 +1 ;()# 6 .如果历访=3,那么(a +bf是().A 81B、9C 3D 1627.如果 C有意义，则a的取值范围是 ;如果JU 有意义，则a的取值范围是 ;如果F竺有意义，则x的取值范围是6 -如果 卜万-1 =1 -<'a ,则a的取值范围是8 .已知 历年 3b +9 =0 ,求 a 2008 Mb200

38、9 的值.9 .某数的平方根是 3a+1和2a-16,求这个数* 10 .求 vF-(a +1 2 +<5+a -v19+8a +V1 -3a 的值.11.已知747的整数部分为a,小数部分为b,求a2_b2.# 12 .求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来(1)(3 )# 13(1)(2 )(3 )(4 )(5 )(6 )(7 ), 、12.25;(4 ) 24.计算求值闹 JT44十必6；V196 - - <144 +7225；35V361 -3VZ324 +2JT69 ；<0.64 - V025 + &5600 ; 4225 v81 十一J225 ；5351

39、 - -V 22500 - J121 +v/256 -5(8) v149 -2169 +5；2.56 ；(9) J0.0256 - J169 + '福;一 一 1 一(10) 8121 069 + 4324；4立方根【知识要点】1、学完了平方根后，你能指出立方根的定义和特征吗?2、立方根具有什么性质呢?3、聪明的你，能写出立方根的表示方法吗?4、对照平方根的小数点移动规律，你能推测出立方根的小数点移动规律吗?# 5、n次方根的定义和性质?例1下列各数有立方根吗?若有,请你把它求出来(1),、125-27(2)64(4 )-0.001(5 ) . 64【典型例题】;若没有，说明理由。(3

40、) 0(6) -216 103例2求下列各式的值:,、3 (3 ) 3 -8 2(1) 3 -643 10 3 -8 0(5 ) 5 -32 - 6 -1 24 16 - 23 - 27 -5 32例3求满足下列各式的未知数X :317(1) x3 -3 =1 -27(3) (x+2f 32=0(4) (2 x)4 =1若也y _1 = Mx -1且xy #0 ,试求学的值。y例5若%3x 1与3/1 x互为相反数，求x的值。例 6 (1)已知 3/3.049 定 1.45, 3/30.49 之 3.124 ,求"3049,0.03049, 3/3049000, 3/30490 的值

41、。(2)若 3/456 % 3.57, 3/456 毛 1.66, 3/a =0.357,求 a 的值。大展身手姓名：成绩：一、选择题1、下列说法正确的是（）A 0不存在算术平方根日一个数的算术平方根-一定是 正数C 一个数的立方根一定比这个数小D 一个非零的数的立方根，仍然是一个非零的数2、如果-m是n的立方根，那么下列结论正确的是（）A m也是n的立方根B> m也是-n的立方根C -m也是-n的立方根D以上答案都不正确3、J16的平方根与-8的立方根之和是（）A 0B、-4C 0 或-4D 44、一个数的平方根与这个数的立方根之和为0,则这个数是（）A -1B、±1C 不存

42、在D 05、下列四个说法中：1，一 11的算术平方根是1;的立方根是土 一；82-27没有立方根；互为相反数的两数立方根互为相反数其中正确的是（）A B、 C Dk6、下列说法正确的是（）A、一个数的立方根有两个，它们互为相反数；日一个数的立方根与这个数同号；C如果一个数有两个立方根，那么它一定有平方根;D 一个数的立方根是非负数。7、若3a+4 =4,那么（a 65的值是（）A 64 B、-1C -125Dk 125则a的值是(B、116116二、填空题1、的立方根是，125的立方根是。27 2、-1是的立方根，-3/5是的立方根。4 3、V64的立方根是。4、343的立方根等于, -343

43、的立方根是。5、0.064的立方根等于 ,(-1)的立方根等于 。6、81的平方根的立方根等于 , 9的立方根可表示成 。7、计算一信卜。8、若 x3 =0.027,则 x=;若 x2 =(6上则(x-1f=。9、 一( 4)的平方根是 , 一( -4)的立方根是 。10、有一个圆形喷水池的面积为25 n m2 ,则这个喷水池的直径为 三、解答题1、求下列各式的值:(5 )(7 )(9 )(11)(3 )(4 ) _3 0.0643 -27 . 2567291.x 3 =1 -12412564x3 -125 =0(6 ) - 3 - 0.064(8 ) 3 1.25 1053(10 ) x -

44、125 = 0_ 3_(12 ) 27x -2 =3432、已知 144x2 =49 ,且 y3 +8 = 0,求 x + y 的值。3、 如果4x +16的立方根是6,求x3的立方根。4、若V4x -5口&丫 + 6互为相反数，试求 x + y的值。5、将一个体积为 216cm3的正方体，分成等大的 8个小正方体, 求每个小正方体的表面积。6、李师傅打算制作一个正方体水箱，使其容积是3.375 m3,试问此木箱至少需多长的木板？7、希望中学欲在教学楼顶上建一个正方体的水池，其体积为 64m3,打算由一名建筑工人独立完成，已知该建筑工人一天 可垒1米高，一天的工资为 40元，问垒完水池

45、后希望中学应付给建筑工人多少钱?第二节实数【知识要点】1、你知道实数的定义吗？你能给实数具体分类吗？2、什么叫做无理数呢？了解无理数后，你知道无理数主要具有哪些方面的特征吗3、有关实数的相关概念和运算法则，你了解多少？4、有关比较大小，你知道几种方法？t己t己：2 ： 1.414, ,3 -1.732, .5 ： 2.236, .6 ： 2.449, ,7 ： 2.6465、你知道怎样作长为jn的线段（以J5为例）吗？【典型例题】#例1将下列各数填入相应的集合内：7, Y5,-5，石,7 , 八 ,0.345345，2.101001 ，/225,6, <7,0262整数集合有理数集合无理

46、数集合正数集合负数集合：'#例2 在下列实数中是无理数的为(A 0 R -3.1415926C 3125D、4 二例3-1 如果a:-乔-四,b =西J4c =_/6 /卜_66 -(-7 ),试确定a,b, c,d的大小关系.例3-2求下列各式中的X.(1) X二 J7x :二 0(2)例3-3已知a、b、c在数轴上的位置如图所示,求代数式-.a2 a + b+J(acf +b+c 的值.4-1比较下列各组数的大小(1)1山二(2)(3)12 ”3110例4-2 求适合下列条件的数.# （1）绝对值小于 J7的所有整数；（2）大于君且小于、斤0的所有整数;例4-3通过估算比较它们的大

47、小(1)(3)例4-4现有四个无理数 V5,J6,J7,%；8,其中在 虎十1与时+1之间的有（）B、2个D、4个A、1个C 3个例4-5 若9+J13与9 -63的小数部分分别为 a与b,贝Uab -4a +3b -2 =.#例5-1 在数轴上彳出-J5和J34的点，要求留下作图痕迹, 并写出作图过程实数快速练习A姓名：成绩：1 .下列各组数中，都是无理数的一组是（）A10 , n , j 5, 3100日-加,-茅,",33C J1 , 0, J1D 0.12, 0.23, 0.452 .下列叙述中，不正确的是（）A、绝对值最小的实数是零日算术平方根最小的实数是零C平方最小的实数

48、是零D立方根最小的实数是零3 .若实数a满足J2a-1 =0,则a的值为（）A 2 R 3C、4D 0.54 .下列命题中，错误的是（）A、相反数等于本身的实数是0日绝对值等于本身的实数是1C倒数等于本身的实数是1D算术平方根等于本身的实数是1或01 O.5.在 W44 , -3.14, , x,4 , 0.3 , v0.01 , 2.303003 n22（两个3之间的0依次多一个），中无理数有（）7D、5个B、3个6.已知x是169的平方根，且2x+3y = x2，则y的值是A 65143B、士 65143Dk 65或37.如图2 61,若数轴上的点 A, B, C, D表示数-1 , 1,

49、2,3,则表示4 J7的点P应在线段（A AB上B、BC上C CD上A O B C D _ I I I-1013图26吃1D、OB上8.已知实数x满足x =x,则（）A x _ 0B、x , 0C x < 0Ckx ：: 09.与数轴上的点对应的是（）A、整数B、有理数C无理数H实数10 .已知a,b是实数，下列命题正确的是（）A若 a Ab,则a2>b2B、若 a ab,则a2 > b2C若 a ab,则a2>b2dk若 a3 a b3,WJa2> b211 .下列各式中，无论 x为任何实数都没有意义的是（）A. - 3xB - x2C.-x2-1Ch3'

50、;： x2 712 . ja为无理数时 a是一*个（）A、非完全平方数B、正实数C完全平方数DK非负实数13 .在数轴上表示 ）5和-J2的两点间的距离是（）A 5 5,2B、-、5-2C -（<'5 + V2）D v5 -2114 .若a是一个实数，那么 -a表示的数是（）A、负数B、正数C非正数H实数15 .若圆的半径是有理数，那它的面积值为（）A、有理数B、无理数C有理数或无理数H任意实数16 .已知a #0,a,b互为相反数，下列各组数中，不互为相反数的一组是（）A 3,'a与3/bB、J02与一处2C 3a与3bDk a 3f b 317 . 一个实数与它的相反数的倒数的和是零，这个实数是（）A 0 R 1C - 1Dk ±118 .负数a与它的相反数的差是（）A 2 aB、01c 2ad> a- -a19 .下列说法中正确的是（）A、无限小数一定不是有理数日有理数一定不带根号C 一个数如果不是有理数，那么它一定是无理数D若a, b互为相反数，那么它一定是无理数20 .设x是最大的负