积分在计算物体体积和质量等问题中的应用

1、本科学年论文论文题目：积分在计算物体体积和质量等问题中的应用学生姓名：学号：专业：班级：指导教师：完成日期：2011 年12月20 日目录内容摘要 .关键词 . 1序言. 3一、定积分的微小元素法 61、内容要点 62、曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义 73、计算面积的元素法步骤： 8二、空间立体的体积 81、平行截面面积为已知的立体体积 82、旋转体的体积 12三、重积分在几何中的应用 16四、重积分在物理学中的应用 181、三重积分的概念 182三重积分的定义 203、三重积分的物理意义： 214、三重积分的性质 21五、质量 . 22参考文献 . 26积分在计算物体体积和质量等问题中

2、的应用内容摘要掌握定积分计算基本技巧； 并用所学的定积分的微元法 （元 素法）去解决各种领域中的一些实际问题； 掌握用定积分表达和 计算一些几何量与物理量（旋转体的体积平行截面面积为已知的 立体体积等）。对于重积分的计算其基本思想是将重积分化为累 次积分进行计算.本文首先给出如何应用定积分的微元法（元素 法）再到运用定积分解决实际问题，最后引出二重积分，三重积 分。再通过例子研究积分性质在计算实际问题中的应用关键词：积分 体积质量定积分2 / 29序言用找出未知量的元素（微元）的方法建立这些几何、物理的 公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方 法是解决积分问题的重要思想。而重

3、积分是一元函数定积分的推广，是多元函数积分学的重 要组成部分，在几何学与物理学中都得到了广泛的应用.在几何上，重积分可用来求空间曲面的面积、求空间区域的体积.在物理上，重积分可用来求物体的质量等 但与定积分相比较，重积 分的计算除了与被积函数的结构有关外，更大程度上与积分区域的特点有关.下面就针对积分对于计算物体体积和质量的问题进 行分析.4 / 295 / 29、定积分的微小元素法1内容要点定积分概念的引入，体现了一种思想，它X就是：在微观意义下，没有什么“曲直”(之分曲顶的图形可以看成是平顶的,，；“不匀匀；的可以看成是“均匀”的。简单地说，就是以“直”代“曲”，以“不变”代“变”；用这一

4、思想来指导我们的实际应用，许多计算公式可以比较便利地得出来。比如，求右图所示图形的面积时，在 a, b 上任取一点X，此处任给一个“宽度”x，那么这个微小的“矩形”的面积为dS f (x) x f(x)dx此时我们把dS f(x)dx称为“面积微元”。把这些微小的面积 全部累加起来，就是整个图形的面积了。 这种累加通过什么来实 现呢？当然就是通过积分，它就是bSf(x)dx。a这些“面积微元”，几乎就是细线段，当这些数都数不清的“细线段”一根一根地累加起来，就形成了整个图形的面积。打一个不很严格的比方，这些“细线段”的厚度，就好比我们课本纸张的厚度，当很多很多的纸张叠在一起的时候，这个面积就出

5、来了。不是吗？页数很多的书不是比较厚吗？人们就是在 这样一个思想下解决问题的。我们把这样的思想方法称为“微元法”。再比如，求变速直线运动的质点的运行路程的时候，我们在To到的时间内，任取一个时间值 t，再任给一个时间增量 t， 那么在这个非常短暂的时间内(t内)质点作匀速运动，质点的 速度为v( t )，其运行的路程当然就是dS v(t) t v(t)dtdS v(t)dt就是“路程微元”，把它们全部累加起来之后就是：S Tlv(t)dtTo用这样的思想方法，将来我们还可以得出“弧长微元”、“体积微元”、“质量微元”和“功微元”等等。这是一种解决实际问 题非常有效、可行的好方法。2、曲边梯形的

6、面积计算方法，定积分的定义x0= a x1 x2 x3xn= b X面积A叫i1f(i) Xif(x)dxa3、计算面积的元素法步骤：(1)画出图形；(2)将这个图形分割成n个部分，这n个部分的近似于矩形 或者扇形；( 3)计算出面积元素；( 4)在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、空间立体的体积1、平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V是位于a,b间的一空间立体，A(x) ( a x b)是截面积的 函数，且在a,b上连续，则立体 V的体积为bV A(x)dx证明：在 x,x+dx 上的体积微元是 dV=A(x)dx, 则体积为：bV A(x)dx解析：设某空间立体垂直于一定轴的各

7、个截面面积已知 , 则 这个立体的体积可用微元法求解 .不失一般性，不妨取定轴为X轴,垂直于x轴的各个截面面 积为关于X的连续函数S(x), X的变化区间为a,b.该立体体积V对区间a,b具有可加性.取x为积分变量，在 a,b内任取一小区间x,x dx,其所对应的小薄片的体积用底面积 为S(x),高为dx的柱体的体积近似代替，即体积微元为dV S(x)dx于是所求立体的体积bV S(x)a【例2求由双曲抛物面z x2 y2、平面x 1与z 0所围立体 的体积。分析该立体如图10-14 (a)所示。由于它不是一个旋转体，因此只能通过先求出截面面积函数， 而后再求定积分的方法 来计算立体体积。 从

8、我们对双曲抛物面的认识可以知道， 垂直于 z轴的截面形状是一族双曲线弓形(示于图10-14 (b),垂直于x轴的截面形状是一族抛物弓形(示于图10-14 (c)。若能求得截面面积函九A (z)或A (x),便有1 1V °A(z)dz °A(x)dx.解 下面人出两种解法，以便于进行比较。解法一在计算A (z)时，应把z看作在0,1上的任一 固定实数。此时，水平截线是一族双曲线x 04 y2 z (每个z的值对应一条双曲线)，或写作y 、x2 z, x 、. z,1.于是所求双曲线弓形的面积为A(z) 2、- x2 zdxu，z22x 1x x z z1n(x x z) x z、.1 z z1n(1,1 z z1n._z).由此便有:z1n (1. 1 z)dz1 1 z1 n z