高等数学-微积分下-课件-华南理工大学 (17)

1、1/15一、最小二乘法一、最小二乘法第十节第十节 最小二乘法最小二乘法二、小结二、小结三、作业三、作业2/15 在工程问题中，常常需要根据两个变量的在工程问题中，常常需要根据两个变量的几组实验数值几组实验数值实验数据，来找出这两个变实验数据，来找出这两个变量的函数关系的近似表达式通常把这样得到量的函数关系的近似表达式通常把这样得到的函数的近似表达式叫做的函数的近似表达式叫做经验公式经验公式. .问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？3/15例例1.1.为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的为了测定刀具的磨损速度，我们做这样的实验：经过一定时间实验：经

2、过一定时间( (如每隔一小时如每隔一小时) )，测量一，测量一次刀具的厚度次刀具的厚度, ,得到一组试验数据如下：得到一组试验数据如下：顺序编号顺序编号i01234567时间时间it(小时小时)01234567刀具厚度刀具厚度iy(毫米毫米)27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.3试试根根据据上上面面的的试试验验数数据据建建立立y和和t之之间间的的经经验验公公式式)(tfy . .一、最小二乘法一、最小二乘法4/15 观观察察可可以以认认为为)(tfy 是是线线性性函函数数, ,并并设设,)(battf 其其中中a和和b是是待待定定常常数数. .tyo1

3、247356824252627如图，在坐标纸上画出如图，在坐标纸上画出这些点，这些点，因为这些点本来不在一条直线上，我们只因为这些点本来不在一条直线上，我们只能要求选取这样的能要求选取这样的 ，使得，使得 在在 处的函数值与实验数据处的函数值与实验数据 相相差都很小差都很小ba,battf )(710,ttt710,yyy解解.首先确定首先确定)(tf的类型的类型. .5/15就是要使偏差就是要使偏差 )7 , 2 , 1 , 0()( itfyii都很小都很小.因此可以考虑选取常数因此可以考虑选取常数 ，使得，使得 ba, 702)(iiibatyM定义定义这种根据偏差的平方和为最小的条件来

4、选这种根据偏差的平方和为最小的条件来选择常数择常数 的方法叫做的方法叫做最小二乘法最小二乘法ba,这种确定常数的方法是通常所采用的这种确定常数的方法是通常所采用的.最小来保证每个偏差的绝对值都很小最小来保证每个偏差的绝对值都很小6/15M把看成自变量把看成自变量 和和 的一个二元函数，的一个二元函数，ab那么问题就可归结为求函数那么问题就可归结为求函数 在那在那些点处取得最小值些点处取得最小值.),(baMM 7070; 0)(2, 0)(2iiiiiiibatybMtbatyaM令令即即 7070. 0)(, 0)(iiiiiiibatytbaty7/15将括号内各项进行整理合并，并把未知数

5、将括号内各项进行整理合并，并把未知数 和和 分离出来，便得分离出来，便得ab)1(.8,70707070702 iiiiiiiiiiiybtatytbta计算得计算得,2870 iit,140702 iit, 5 .20870 iiy0 .71770 iiity8/15代入方程组（代入方程组（1）得）得 . 5 .208828,71728140baba解此方程组，得到解此方程组，得到.125.27,3036. 0 ba这样便得到所求经验公式为这样便得到所求经验公式为)2(.125.273036. 0)( ttfy由（由（2）式算出的函数值）式算出的函数值 与实测与实测 的有的有一定的偏差一定的

6、偏差.现列表比较如下：现列表比较如下：)(itfiy9/15it01234567实实测测iy27.026.826.526.326.125.725.324.3算算得得)(itf27.125 26.821 26.518 26.214 25.911 25.607 25.303 25.000偏偏差差-0.125-0.021 -0.018-0.0860.1890.093-0.003-0.200偏差的平方和偏差的平方和 ，它的平方根它的平方根 108165. 0 M329. 0 M我们把我们把 称为称为均方误差均方误差，它的大小在一定，它的大小在一定程度上反映了用经验公式来近似表达原来函数关程度上反映了用

7、经验公式来近似表达原来函数关系的近似程度的好坏系的近似程度的好坏M10/15例例2.2. 在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：在研究单分子化学反应速度时，得到下列数据：6.58.912.216.622.731.041.957.6242118151296387654321ii iy其中其中 表示从实验开始算起的时间，表示从实验开始算起的时间， 表示时刻表示时刻反应物的量试定出经验公式反应物的量试定出经验公式 y).( fy 解解. .)( fy 由化学反应速度的理论知道，由化学反应速度的理论知道， 应是应是指数函数：指数函数：, mkey 其中其中 和和 是待定常数是待定常数.km11/1

8、5由于由于所以仿照例所以仿照例1中的讨论中的讨论,通过求方程组通过求方程组)3(lg8,lg81818181812 iiiiiiiiiiiybayba 的解的解,把把 确定出来确定出来.ba,lgbay 讨论：讨论：通过计算得通过计算得,10881 ii ,1836812 ii , 3 .10lg81 iiy.122lg81 iiiy 12/15将他们代入方程组（将他们代入方程组（3）得）得 . 3 .108108,1221081836baba解这方程组，得解这方程组，得 .8964. 1lg,045. 04343. 0kbma.78.78,1036. 0 km因此所求经验公式为因此所求经验公

9、式为.78.781036. 0 ey13/15用的一种用的一种，其中最小二乘法是常，其中最小二乘法是常作曲线拟合有多种方法作曲线拟合有多种方法，给定平面上一组点给定平面上一组点), 3 , 2 , 1(),(niyxii 最小二乘法的原理：最小二乘法的原理： 达到最小达到最小，使，使求求 niiibatyMtf12)()(注意：计算机与数据拟合注意：计算机与数据拟合（参看高等数学实验课）（参看高等数学实验课）二、小结二、小结14/15练习练习:(%)0的数据如下表的数据如下表与与，由实验测得，由实验测得为为，其溶解温度，其溶解温度为为比比某种合金的含铅量百分某种合金的含铅量百分 pCp之间的经验公式之间的经验公式与与试用最