高数高等数学19连续函数的运算与初等函数的连续性

1、,)(),(0处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxf00( )( )( ),( )( ),( ()0)( )f xf xg xf xg xg xxg x 都都连连续续. .在在sin ,cos(,),xx 在在内内连连续续tan , cot, sec , csc.xxxx 在在其其定定义义域域内内连连续续连续单调递增函数的反函数也连续单调递增连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.( )xyf xI 如如果果在在上上单单调调增增加加且且连连续续，(或递减或递减)1( )( )yxfyIy yf x 反反函函数数也也在在对对应应区区间间，xxI 上上单单调调增增加加且且连连续续. .(或递减

2、或递减)(递减递减)(递减递减)上单增、连续。上单增、连续。在相应的区间在相应的区间要证明其反函数要证明其反函数上单增、连续上单增、连续在区间在区间设设yxIyfxIxfy)(,)(1 )()(, 0011,0yfyfIyy要使要使对对 )()()(01101yfyfyf即即)()()(01101 yffyffyff)()(00 xfyxf只要只要00000)()(yxfyyyxf 只要只要)(),(min(0000yxfxfy 取取.)()(0110 yfyfyy时，就有时，就有当当22sin,yx在在上上连连续续单单调调递递增增，arcsin 1,1yx在在也也连连续续单单调调递递增增.

3、.1122 sin xarcsin xxyoarccos 1,1.yx在在上上单单调调减减少少且且连连续续arctan ,arccot,.yx yx 在在上上单单调调且且连连续续反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.(,)xye 指指数数函函数数内内单单调调增增加加且且连连续续，ln(0,).yx对对数数函函数数在在内内单单调调增增加加且且连连续续lnyx 1xye 1xyo0(),of gU xD ( )( )( )yf g xug xyf u 设设由由与与复复合合而而成成，00lim( ),xxg xu 若若0( )yf uu 而而在在连连续续，000lim ( )li

4、m( )()xxuuf g xf uf u0( ),f uuu 在在点点连连续续00,0,uu使使当当时时 恒恒有有0( )().f uf u 成成立立00lim( ),xxg xu 又又00,0,0,xx对对于于使使当当时时恒恒有有00( ).g xuuu 成成立立00( )() ( )().f uf uf g xf u 成成立立故故000lim( ),( ),xxg xuf uu 若若而而函函数数在在点点连连续续0 ( )limxxf g x 000lim ( )lim( )().xxuuf g xf uf u(1)( ).ug x 变变量量代代换换的的理理论论依依据据0lim ( )xx

5、f g x00lim( )().uuf uf u ( )ug x 00 xxuu(2) 极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换.f 连续连续0lim( ).xxg xf0log (1)lim.axxx 求求10limlog (1)xaxx原原式式10log lim(1) xaxx例例1 解解: logae 1.lna 特别地特别地 . 1 10limln(1)xxx)1(limln10 xxx eln 0ln(1)limxxx 0,ln(1) .xxx10lim(1)exxx 例例2 解解: .1lim0 xexx 求求11.lne0limln(1)ttt 原原式式1,xet令令

6、ln(1),xt 则则0,0.xt当当时时101limln(1)ttt 0,1 .xxex同理可得同理可得 .ln1lim0axaxx 10lim(1)exxx 例例3 解解: 1lim2 .xx求求11limlim22xxxx 021.0(),f gU xD ( )( )( )yf g xug xyf u 设设由由与与复复合合而而成成，000( ),()ug xxxg xu在在连连续续 且且，而而0( )yf uu 在在连连续续，0 ( )yf g xxx 在在也也连连续续. . 0lim ( )xxf g x 0lim( )xxfg x0 ()f g x 0 ( ).fxx 故故复复合合函

7、函数数在在连连续续由定理由定理3，可得，可得f 连续连续g连续连续000( ),()ug xxxg xu设设在在连连续续 且且，而而0( )yf uu 在在连连续续，0 ( )yf g xxx 在在也也连连续续. . 0lim ( )xxf g x 0lim( )xxfg x0 ()f g x 0 ( ).fxx 故故复复合合函函数数在在连连续续由定理由定理3，可得，可得f 连续连续g连续连续,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy1sinyx ，xyo1sinyx (1) 三角函数在它们的定义域内是连续

8、的三角函数在它们的定义域内是连续的.(3)(0,1)(,).xyaaa 指指数数函函数数在在内内连连续续(4)log(0,1)(0,).ayx aa 对对数数函函数数在在内内连连续续已有结果：已有结果：(2) 反三角函数在它们的定义域内是连续的反三角函数在它们的定义域内是连续的. xy lnxe ,uye ln .ux (5).yx 幂幂函函数数在在定定义义区区间间内内连连续续,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续21 1,1.yx的的连连续续区

9、区间间为为(端点为单侧连续端点为单侧连续)lnsin(2 ,(21),Z.yxnnn的的连连续续区区间间为为(1) 初等函数仅在其初等函数仅在其定义区间定义区间内连续内连续, 在其在其定义域内定义域内不一定连续，不一定连续，, 1cos xy:0,2 ,4 ,D x定定义义域域,)1(32 xxy, 1, 0: xxD及及在在0点的邻域内没有定义点的邻域内没有定义.), 1上连续上连续函数在区间函数在区间因此它无连续点因此它无连续点.注意定义区间与定义域的区别注意定义区间与定义域的区别;00lim( )()xxf xf x 0( )f xx 若若为为初初等等函函数数，定定义义区区间间，则则例例

10、4 解解: 2limlnsin .xx 求求2limlnsinxx lnsin2 0. 例例5 解解: .11lim20 xxx 求求)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 220lim( 11)xxxx -求极限的又一种方法求极限的又一种方法. . 3sin0lim(12 ).xxx 求求1 型型lneaa 对对数数恒恒等等式式 原原式式0limx3ln(1 2 )sin0limexxx eu连连续续03ln(1 2 )limsinxxx 03 2limexxx 6e . 等价无穷小代换等价无穷小代换 00(1)lim( )0, lim

11、( ),xxxxu xv x 若若则则有有 0( )lim1( )v xxxu xe 0lim ( )ln 1( )xxv xu x e 0lim ( ) ( )xxv x u x ()ln 1( )ev xu x 3sinln(1 2 )exx 0limxxe (2)幂幂指指函函数数的的极极限限求求法法：( )0lim ( )( ( )0, ( )1)v xxu xu xu x形形如如，lim ( )0,lim ( )u xav xb若若，( )0lim ( ).v xbxu xa 3sin0lim(12 )xxx 大于大于0常数常数常数常数162sin0lim(12 )xxxxx6e .1

12、20lim(12 )e0 xxx，06lim6sinxxx ， 原原式式注注意意使使用用条条件件极限不是常数极限不是常数10lim(1)exxx 10(1)lim(1sin ) .xxx 求求 原原式式sinsin0lim(1sin )xxxxx 1e.1sin0lim(1sin )e0 xxx，0sinlim1xxx ， 原原式式10(2)lim(cos ).xxx22cos11cos10lim1(cos1)xxxxx 提提示示：原原式式10lim(1)exxx 小结小结基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的四则运算结果仍连续连续函数的反函数连续连续函数的反函数连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续 初等函数在初等函数在定义区间内定义区间内连续连续 分段函数在界点处是否连续需讨论其分段函数在界点处是否连续需讨论其 左、右连续性左、右连续性.反例反例反之是否成立