安徽省2019年中考数学二轮复习题型四：规律探索题(含答案)

1、题型四规律探索题类型一数式规律探索1. (2018霍邱县一模)如下数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答：I2 3 456789101 I121314151617IS1920212223242526 272829303132333435 36+ fa (1)第9行的最后一个数是;(2)第n行的第一个数是 ,第n行共有 个数；第n行各数之和为2. (2018安庆二模)观察下列等式:11 .1-2+不=1；2-4+六=3；11113 6+示=5；根据上述规律解决下列问题：(1)写出第(4)个等式：() - () + () = ()；(2)写出你猜想的第(n)个等式，并证明.3.

2、观察下列等式:小1 , 11112 2 1'1+L-3 4 12 2'卓-5 6 30 3,小1 , 1117 8 56 4'(1)请根据以上规律写出第 5个等式： ；(2)猜想并写出第n个等式，并验证其正确性.4.观察下列由连续的正整数组成的宝塔形等式：第 1 层 1 + 2 = 3;第 2 层 4+5 + 6=7+8;第 3 层 9+10+11+12=13+14+15;第 4 层 16+ 17+ 18+ 19+20 = 21+22+23+24; (1)填空：第 6层等号右侧的第一个数是 ,第n层等号右侧的第一个数是(用含n的式子表示，n是正整数)，数字2017排在第

3、几层？请简要说明理由；(2)求第99层右侧最后三个数字的和. (2018太和县模拟)观察下列等式： 1 + 2=3; 4+5+6=7 + 8; 9+ 10+11+12=13+ 14+15; 16+17+ 18 + 19+20 = 21 + 22 + 23+24; (1)试写出第五个等式；(2)根据你的发现，试说明145是第几行的第几个数？6.按如下方式排列正整数，第 1行有1个数，第2行有3个数，第3, 4行分别有7个、13个数.依此规律，解答下列问题：12 3 43 4 5 6 7 8 94 5 6 7 8 9 10-15 16第10行有 个数，第n行有 个数(结果用含n的式子表示)；(2)

4、第2, 3, 4行都含有数4,其中第2行最先出现4,那么2019最先出现在第几行?7 .已知下列等式： 3212=8, 52 32= 16, 72 52 = 24,(1)请仔细观察，写出第 4个式子；(2)根据以上式子的规律，写出第 n个式子，并用所学知识说明第n个等式成立；(3)利用(2)中发现的规律计算：8+16 +24+ 792+800.8 .【问题提出】 观察下列图形，回答问题：A卡CAB=B(：=a h 2 L "B=BC=CD= IQ C J £ AH=BC=CD=t)E-1第8题图由此可以得出第1个图形中所有线段的长度的和是1,第2个图形中所有线段的长度的和是

5、4,第3个图形中所有线段的长度的和是10,第4个图形中共有 条线段，所有线段的长度的和是;【规律探索】在计算第1, 2, 3个图形中所有线段的长度的和的时候，得出了下列等式:1X2X3ixi = 6；2X 3X41X2 + 2X 1 =-；63X4X51X3 + 2X2+3X 1 =-；6第4个等式为;【问题解决】求第n个图形中所有线段的长度的和.9. （2017 安徽 19 题）我们知道，1+2+3+ n=n（nj1）,那么 12 + 22+32+ n2结果等于多少呢?在图所示三角形数阵中，第 1行圆圈中的数为1,即12;第2行两个圆圈中数的和为第9题图所有圆圈中数的和为12+ 22+ 33

6、+ n2n（啰1）个圆圈,2+2,即22； ；第n行n个圆圈中数的和为 n+n+ n sdo4（n个Q）,即n2.这样，该三角形数阵中共有【规律探究】观察这三个三角形数阵各行同n-1, 2, n）,发现每个位置上将三角形数阵经两次旋转可得如图所示的三角形数阵, 一位置圆圈中的数（如第n1行的第一个圆圈中的数分别为三个圆圈中数的和均为.由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为:3(12+ 22+ 32+ n2)=,因此，12+ 22+ 32+ n2=第9题图【解决问题】根据以上发现，计算的结果为12+ 22+ 32+ 20172 + 2+3+ + 2017类型二图形规律探索1.卜列各图形中

7、的“ ”的个数和“”的个数是按照一定规律摆放的:n= rt=2ii =4第1题图观察图形，填写下表:第n个图形1234n“”的个数36912“”的个数13610(2)当n =时，“”的个数是“ ”的个数的2倍.第三个2.用同样大小的“ ”按如图所示的规律摆放:第1个 第2个第2题图第5个图形有多少枚“ ” ？(2)第几个图形有2018枚“” ？请说明理由.3.如图，图中小黑点的个数记为第3题图ai = 4,图中小黑点的个数记为a2=8,图中小根据以上图中的规律完成下列问题:(1)图中小黑点的个数记为a4,则a4=；(2)图n中小黑点的个数记为an,则an=(用含n的式子表示);(3)第几个图形

8、中的小黑点的个数为43个？4. (1)观察下列图与等式的关系，并填空:放置E放置E放置方式中圆圈的个数&3X2 c1+2= 2 3簸6X3八2+3+4 = 2 = 9-.9X4 3+ 4+ 5+ 6= 2=184+ 5+6 + 7+8=|"S5d三 <9560000 二0000n+ (n+ 1) +=(2)一堆按“放置方式”放置的圆圈，小明数得共有 165个圆圈，请你计算最上面有几个圆圈?1的小正方形按一一定5 . (2018安徽名校大联考)如图，下列每个图案均是由若干边长为第4个的规律堆叠而成，探究规律，解答问题.第5题图（1）请根据你的探究直接写出：第10个图案中共

9、有 个小正方形，第n个图案中共有 个小正方形；（2）是否存在有37个小正方形的图案？若存在，请求出是第几个图案；若不存在，请说 明理由.6 .观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：7 1）认真观察图，并填写出第4个点阵图相应的等式. 1=11 + 2=（黑乂2 =3* 2第6题图（2）结合（1）观察图，并填写出第 5个点阵图相应的等式. 1+3=2*3+6=3'6+10=42第6题图通过猜想，直接写出（2）中与第n个点阵图相对应的等式. （2018怀远县模拟）如图，正方形ABCD内部有若干个点，用这些点以及正方形 ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形（互相不重

10、叠）:(1)填写下表:止方形ABCD内点的个数1234n分割成的三角形的个数46(2)原正方形能否被分割成2008个三角形？若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点？若不能，请说明理由.8. (2018合肥包河区一模)如图，每个图形可以看成由上下左右4个等腰梯形组成或者是由外围大正方形减去正中间的正方形(阴影部分)所得，而每个等腰梯形又由若干个更小的全等正方形和全等等腰直角三角形组成，且等腰直角三角形的面积正好是小正方形面积的一1半，设小正万形的面积为1,则第1个图形的面积为 4X (2X 1+4><2)= 16,第2个图形的1 .1面积为4X(5X1+5X2)=30,第3个图形的

11、面积为 4X(9X1 + 6X2)=48,根据上述规律，解答下列问题：1(1)第4个图形的面积为：4X (X 1+X2) =,第8题图第9题图9. (2016安徽)(1)观察下列图形与等式的关系，并填空:1+3+5田;0 ooo» 00:-0Q-0© ooo* 。0 o:,。第门行1+ 3+5+7+ - -+(2 Jr 1) 1第9题图(2)观察下图，根据(1)中结论，计算图中黑球的个数，用含有 n的代数式填空:1 + 3 + 5+ (2n-1)+()+(2n1)+ + 5+3+1 =.行行 一 了 1 2 打 小+ -TL Tfc 第蜘翦2(2n-1) = (n2-n+1

12、)(2n-1).1.=1 ;2X11'第(2)个等式:第(3)个等式: 2X3 J2X3)11= 2X21 3第(4)个等式为:1” )2X4)1 21.即1-2X41 748 7X8 7参考答案类型一数式规律探索1 .解：(1)81;【解法提示】 根据题意，观察发现：第1行的最后一个数为12=1,第2行的最后一个数为22=4,第3行的最后一个数为 32=9,第4行的最后一个数为 42=16,第5行的最后 一个数为52=25,第6行的最后一个数为 62=36,，第n行的最后一个数为 n2,:第9 行的最后一个数是 81.(2)(n 1)2+ 1, 2n 1, (n2 n+ 1)(2n-

13、 1).【解法提示】 观察发现：第1行的第一个数为(1 1)2+1 = 1,第2行的第一个数为(2 1)2+1=2,第3行的第一个数为(31)2+1 = 5,第4行的第一个数为(4-1)2+1=10,第 5行的第一个数为(51)2+1=17,第6行的第一个数为(61)2+1 = 26,，.,.第n行第一 个数为(n 1)2+ 1;观察发现：第1行共有1个数，第2行共3个数，第3行共5个数，第4行共7个数，第5行共9个数，第6行共11个数，第n行共(2n1)个数; 由(1)知第n行的最后一个数为 n2,(n 1) 2+1 +第n行的各数之和为-一 11112 .解：4, 8,3，7；【解法提示】

14、观察上述等式发现：11第(1)个等式：1 十-''2X1 1X (1+1一-.11.11(2)第(n)个等式为一丁 十 =；.n 2n 2n (2n1) 2n 1证明:左边=2 (2n1) (2n1) +1 4n-2-2n+ 1 + 112n (2n1)2n (2n 1)2n 1=右边.，原式成立.11113.斛：9+而一而=5；【解法提示】 观察发现：第个等式:2X11 2X11(2X1 1)(22 1)个等式:1(2X21)( 2X 2)2；第个等式:(2X31； (2X3)=1；第个等式:3-=;(2X41) (2X4)4'个等式:11F2X51 2X51(2X5

15、1) (2X5)1 Rn 1 ,111,即=;5'9 10 90 5'一 ，一1111(2)根据上述规律，得第n个等式为嗝-2n(2n-1) =n、工用2n+2n-1-12(2n1)1 七、力证明：左边=-=右边,2n (2n 1) 2n (2n 1) n等式成立.4.(1)43, n 2X2(2X21) X (2X2)+n+1; 2017排在第44层，理由略；(2)第99层右侧最后三个数字的和为29994.5.解：(1)根据题意可得，第五个等式为 25 + 26+27 + 28+29 + 30= 31 + 32+33+34+35;(2)根据已知等式得，第 n行的第1个数为n2

16、,- 122= 144,145是第12行的第2个数.6.解：(1)91, n2n+1;【解法提示】根据题意可知，第2行最后一个数为4 = 22,数字个数是22-1;第3行最后一个数为9 = 32,数字个数是32-2;第4行最后一个数为16 = 42,数字个数是423;，第10行最后一个数为102= 100,数字个数是1029=91;第n行最后一个数为n2,数字个数是n2-(n- 1)=n2n+1.(2) 第44行最后一个数是442= 1936,第45行第一个数字是 45,而最后一个数字是 452= 2025 , 45< 2019< 2025 ,.2019最先出现在第 45行.7.解

17、：(1)二.第 1 个式子为：3212=(2X1 + 1)2(2X1 1)2=8X1； 第 2 个式子为：52-32= (2X 2+ 1)2(2X 2 1)2=8X 2;第 3 个式子为：72-52=(2X 3+ 1)2-(2X 3- 1)2=8X 3;第 4 个式子为：(2X 4+ 1)2-(2X 4-1)2= 92-72=8X 4= 32;即第4个式子为：92 72 = 32;(2)由(1)的推理过程可得，第 n 个式子为：(2n+ 1)2-(2n- 1)2= 8n；证明：左边= 4n2+4n+1 4n2+4n1 = 8n=右边，.所写等式成立；(3)8 +16+24+ 792+ 800=

18、 32 12 + 52 32+ 7252+ 2012 1992= 2012 1 =40400.8 .解：【问题提出】10, 20;【规律探索】1X4+2X3+ 3X2+4X i = 4x5x66【问题解决】n (n+ 1) ( n+ 2)62X 2017+ 13= 1345.9 .解：【规律探究】2n+1,n (n+ 1) ( 2n+ 1)n (n+ 1) ( 2n+ 1)6；【解法提示】 第n1行的第一个圆圈中的数分别为n- 1, 2, n,则n- 1 + 2+n=2n+ 1; 3(1+ 22+ 32+ n2)=(1 + 2+3+ + n)(2n+1)=n +2017X (2017+ 1)2

19、(2n+ 1)； 12+ 22+32n2=n(n+1)(2n+1) 1 23n (n+ 1) ( 2n+ 1)=6.【解决问题】1345.【解法提示】12+ 22+ 32+ 201721 + 2+3+ 20172017X (2017 + 1) ( 2X2017 + 1)6类型二图形规律探索1.解：（1）完成表格如下：第n个 图形1234n的 个数369123n“”的 个数13610n (n+ 1)2（2）11.【解法提示】 根据题意知n（“” = 2x 3n,解得n= 0（舍去）或n=11,当n=11时，“”的个数是“，的个数的2倍.2 .解：（1）图有 2 枚 “”，2=2X1：图有8枚“”

20、，8=2X22,图有 18 枚 “”，18= 2X 32,图有2 X 52= 50,，第五个图形有50枚“ ” ；(2)由(1)可得第n个图形有(2n2)枚“”，令2n2=2018, 此方程无整数解，没有哪个图形有 2018枚.3.解：(1)19;【解法提不根据题意知a4= 1 + 2+ 3+4+5 + 4=19.(2)2n2+|n+ 1;一，八八， n (n+1)-，125【解法提本】an= 1+2+3+ + n+n+ 1 + n =2+ 2n+ 1 = 2n +-n+ 1.,1 2.5一(3)当2n +2n+ 1 = 43 时，解得：n= 7(负值舍去)，第7个图形中的小黑点的个数为43个

21、.12X 53n (n+1)4.解：(1)2, 30, 2n, 2;5.6.(2)由题意得,3n (n+ 1)= 165,解得n1 = 10,电=11(舍去)，即最上面有10个圆圈.n ( n+ 1)田门2+ n+ 2解：(1)56, 2+ 1(或一2一)；【解法提示】 观察发现：第1个图案有1 + 1 = 2个小正方形;第2个图案有1+2+1=4个小正方形；第3个图案有1+2+3+1= 7个小正方形；第4个图案有1+2+3 + 4+ 1=11个小正方形；第10个图案有1 + 2 + 3+4+第n个图案有1+2+3 + 4+ n+(2)存在.理由如下：n n+1令+1 = 37,解得n=- 9

22、(舍去),或n=8,存在有37个小正方形的图案，是第解：(1)1 +2 + 3+4=(1 + 4) X 410+1=56个小正方形；.n (n + 1) ,人 一1=2+1个小正万形.8个图案.= 10;2(2)10+15=5 ；n(n 1) n(n+1)2(3)由(1)(2)可知，2+2=n .【解法提示】 可以将(2)中点阵图分为两部分，一部分与(1)的点阵图完全相同，剩余部分与(1)中前一部分的点阵图完全相同，因此可以得出(2)中第n个点阵图等于(1)中第n个点阵图和n-1个点阵图之和，n2n ( n 1) + n (n+ 1)7.解：(1)填写下表:止方形ABCD内的 点的个数1234n分割成的 三角形的 个数468102n+2【解法提示】 观察图形发现：有1个点时，内部分割成 4个三角形；有2个点时，内部 分割成4+2= 6个三角形；有3个点时，内部分割成 4+2X2= 8个三角形；有4个点时， 内部分割成4+2X3= 10个三角形；，有n个点时，内部分割成 4+2X(n 1)=(2n + 2)个三角形；(2)能.令 2n+ 2=2008,解得 n= 1003.即此时正方形 ABCD内部有1003个点.8.解：(1)14, 7, 70;(2)(2 + 3+4+ n+n+1)(形式不唯一 ),n+3;(3)(n+2)叵【解法提示】 观察图形可知，第 1个图形的面