有解与恒成立问题专题

1、“有解”与“恒成立”专题不等式历来是高考和竞赛的热点，不等式“有解”与“恒成立”是很容易混淆的问题.下面给出一组命题，说明两者 之间的区别.(1) af(x)恒成立 U a > f (x)max ；(2) a<f(x)恒成立=a < f (x)min ；(3)a A f (x)有解=a A f (x)min ；(4) a < f(X)有解之a < f(X)max .例1已知aw (01),函数f (x) =lg(akax)在1,+宓)上有意义，求实数k的取值范围.例2 不等式kx2 +k -2 <0有解，求k的取值范围.例3对于不等式x-2 +x+1| &l

2、t;a,存在实数x,使此不等式成立的实数 a的集合是M ;对于任意xw 0,5,使此 不等式恒成立的实数 a的集合为N ,求集合M, N .恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：一次函数型；二次函数型；变量分离型；根据函数的奇 偶性、周期性等性质；直接根据函数的图象等。1.一次函数型(多为变换主元法)给定一次函数y=f(x)=ax+b(a w0),若y=f(x)在m,n内恒有f(x)>0 ,则根据函数的图象(直线)可得上述结论等价于a>0或 ，J(m) >0a<0 、一一亦可合并7E成+J(n)>0f(m) >0 /(n)>0f (m) <

3、; 0同理，若在m,n内恒有f(x)<0 ,则有3J(n)<0例1.已知对于任意的a -1,1,函数f(x)=ax2+(2a-4)x+3-a>0恒成立，求x的取值范围点评 对于含有两个参数，且已知一参数的取值范围，可以通过变量转换，构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围。例2.对于?t足|p|E2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。例3.若不等式2x -1 >m(x2 -1)对满足-2EmE2的所有m都成立，求x的范围。例4.对任意aW1,1,不等式x2+(a4)x+42a A0恒成立，求x的取值范围。分析：

4、题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化为一次不等式 _2(x -2)a +x 4x+4 >0在a -1,1上恒成立的问题。2.二次函数型类型 1 ：设 f (x) =ax2 +bx +c(a 0 0),(1) “*)>0在*三上恒成立仁a>0HA <0; (2) f (x) <0在xw R上恒成立y 2<0且4<0。类型 2：设 f (x) = ax2bx c(a ； 0)(1)当 a >0时,f (x) >0在* a, P上恒成立u卜2a”或卜一2。或卜2>"J(a)>0 A <0

5、J(P)>0f (x) < 0Ex w a, B上恒成立 uQ) <0J(P) <0(2)当 a <0时,f(a)>0f (x) >0在xwa, P上恒成立二3 -f(P)>0f(x)<0在xWcc,P上恒成立a：二上，2a 或( 2aJ(a)>0A <0f () ： 04, 一，ca > 0右二次函数y=ax2+bx+c=0(a w 0)大于0恒成立，则有 , 1A <0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。例1.已知函数y=lgx2 +(a 1)x+a2的定义域为R,

6、求实数a的取值范围。例2.若不等式(m1)x2 +(m1)x+2 > 0的解集是R,求m的范围。例3.设f (x) = x2 2mx+2 ,当x w -1,+8)时，f (x)之m恒成立，求实数 m的取值范围。例4.已知f(x) =x2+axya ,若x可2,2, f (x)之0恒成立，求a的取值范围3 .最值法将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：1) f(x)Aa 恒成立。a < f (x)min 2) f(x)<a 恒成立。af(x)max例1.(1)求使不等式a Asin xcosx,x亡0,叼恒成立的实数 a的范围。nn(2)求使不等式

7、a >sin xcosx, x - 一三(0,一)恒成立的实数a的范围。4 2例2.在 ABC中，已知f(B)=4sinBsin2(三 + B)+cos2B,且|f(B) m|<2恒成立，求实数 m的范围。 42例 3.已知 f (x) =7x2 28x a,g(x) =2x3 +4x2 40x ,当 xw 3,3时，f (x) E g(x)恒成立，求实数 a 的取值 范围。2x 2x a例4.函数f(x)=,xw1,+g),若对任意xW1,+"), f (x) A0恒成立，求实数 a的取值范围。x例5.已知f (x) =x2 +ax +3 -a ,若xwq,2, f(x

8、)之2恒成立，求 a的取值范围.例 6 设函数 f(x) =tx2+2t2x+t 1(x w R, t >0).(i)求f(x)的最小值h(t)；(nh(t)<2t+m又nw(0,2)恒成立，求实数 m的取值范围.4.变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过 包等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，从而问题转化为求函数的最值问题，进而求出参数 范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：1) f (x) < g(a)(a为参数)恒成立 u g(a)f (x)max2) f (x) &g

9、t; g (a)(a为参数)恒成立 u g(a) < f (x)max 例1.已知对于满足等式 x2+(y-1)2=1的一切实数x、y,不等式x+y+c>0恒成立，则实数 c的取值范围是()A (-二，0B 一 2,+二)C.2-1,+二)D 1-、. 2,+二)例2.已知当xWR时，不等式a+cos2x<5-4sinx+ *L'5a-4恒成立，求实数 a的取值范围。例3.已知函数f (x) = ax - J4xx2 ,x乏(0,4时f (x) <0恒成立，求实数a的取值范围。例4已知函数f(x)4x2 4x5|,若在区间1,5上，y=kx+3k的图象位于函数f

10、(x)的上方，求k的取值范围变式 若本题中将y=kx+3k改为y=k(x+3)2,其余条件不变，则也可以用变量分离法解10. (2010 天津理数)(16)设函数 f (x) =x2 1 ,对任意 xw |2,z i, fi_4m2f (x) E f (x 1)十 4f (m)恒成一3m立，则实数m的取值范围是 .5 .数形结合法数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：1) f(x) Ag(x)之函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；2)f(x) ：: g(x)

11、 函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下上方。例1.若关于的不等式|x+3|+|x-1| >a恒成立，则a的取值范围是()，A a <4 B a <4 C a >4 D a >4例2.当xw(1,2)时，不等式(x-1)2<logax恒成立，求a的取值范围。例 3.设 f (x) = v'-x2 -4x4g(x) =-x+1 a,若恒有f (x) £g(x)成立，求实数a的取值范围. 3例4 设函数f (x) =-a+4-x2+4x ,g(x) =ax+a ,若恒有f (x) E g(x)成立试求实数a的取值范围例5、已知关于x的方程lg(

12、x2+20x)-lg(8x-6a-3)=0有唯一解，求实数 a的取值范围。分析：方程可转化成lg(x2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x2+20x=8x-6a-3>0,注意到若将等号两边看成是二次函数 y= x2+20x及一次函数y=8x-6a-3 ,则只需考虑这两个函数的图象在x轴上方恒有唯一交点即可。例6.已知a >0,a =1, f(x) =x2ax,当xw (1,1)时，有f(x)恒成立，求实数a的取值范围。例7.若当P(m,n)为圆x2 +(y1)2 =1上任意一点时，不等式 m + n+c20恒成立，则c的取值范围是()A、1五 WcE 五 T B、$-1会6

13、2+1C、cEf'2-1 D、公石-16 .根据函数的奇偶性、周期性等性质若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x ,f(-x尸-f(x)(f(-x)=f(x) 恒成立；若函数y=f(x)的周期为T,则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)恒成立。例1若f(x)=sin(x+ )+ )+cos(x- a )为偶函数，求 a的值。例2。f(x)是定义在R上的奇函数，且 f(x+2)= -f(x)恒成立，当0w xwi时.f (x) = (x),求f (31.5)的值.例3定义在R上的函数f (x )既是奇函数，又是减函数，且当 0 0 0, ,时，有< 2)f (co

14、s2日+2msin日计f ( 2m-2 )>0恒成立，求实数 m的取值范围.例4已知向量a =( x2, x+1) , b = (1-x , t)。若函数f (x) = a b在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围。(2005年湖北卷第17题)7消元转化策略例 1.已知 f(x)是定义在-1,1上的奇函数，且 f(1)=1，若 m, nW1,1,m+n#0时 f(m)+f(n)>0,若 f (x) Mt2 2at+1 对 m f于所有的x W-1,1,a可-1,1恒成立，求实数t的取值范围.8.抽象函数的恒成立问题，赋特值求出相关解。例6.已知f (x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意a、be R ,都满足f (a.b) = af (b)+ bf (a),求f (0),f(1)的值判断f(x)的奇偶性并证明.有解专题例i.关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解，求a的范围。练习题例2(06