导数在经济学中的应用

1、二、边际与弹性二、边际与弹性三、经济学中常见的弹性函数三、经济学中常见的弹性函数第六节一、一、 经济学中的常用函数经济学中的常用函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 导数在经济学中的应用 第二章 某一商品的某一商品的需求量需求量是指关于一定的价格水平，是指关于一定的价格水平，在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购在一定的时间内，消费者愿意而且有支付能力购买的商品量。买的商品量。一、经济学中的常见函数一、经济学中的常见函数1. 需求函数需求函数消费者对某种商品的消费者对某种商品的需求量需求量是由多种因素决定是由多种因素决定的，例如，人口、收入、季节、该商品的价格、的，例如，人口、收入、季

2、节、该商品的价格、其他商品的价格等。其他商品的价格等。机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化如果除价格外，收入等其他因素在一定时期内变化很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求很少，即可认为其他因素对需求量无影响，则需求量量 Q 便是价格便是价格 P 的函数，记的函数，记 Qf P称称 f 为为需求函数需求函数，同时，同时 f（P）的反函数的反函数也称为也称为需求函数需求函数。 1PfQ一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因一般说来，商品价格的上涨会使需求量减少。因此，此，需求函数需求函数是是单调减少单调减少的。的。人们根据统计数据，常使用下面

3、简单的需求函数人们根据统计数据，常使用下面简单的需求函数线性函数：线性函数：QaPb ，其中，其中,0a b 幂函数：幂函数：aQkP，其中，其中0,0ka指数函数：指数函数：ebPQa，其中，其中0,0ab例例 1,0QaPba b 设某商品需求函数为设某商品需求函数为讨论讨论 P = 0 时的需求量和时的需求量和 Q = 0 时的价格。时的价格。解：解：当当P = 0 时， Q = b，它表示当价格为零时，它表示当价格为零时，消费者对商品的需求量为消费者对商品的需求量为 b ，b 也就是市场对该也就是市场对该商品的商品的饱和需求量饱和需求量，也称为，也称为最大需求量最大需求量。当当Q =

4、0 时， P = b/a ，它表示当价格上涨到，它表示当价格上涨到b/a 时，没有人愿意购买该产品。时，没有人愿意购买该产品。2. 供给函数供给函数 某一商品的某一商品的供给量供给量是指在一定的价格条件下，是指在一定的价格条件下，在一定的时期内，生产者愿意生产并可供出出售在一定的时期内，生产者愿意生产并可供出出售的商品量。的商品量。 供给量供给量也是由多个因素决定的，如果认为在也是由多个因素决定的，如果认为在一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则一段时间内除价格以外的其他因素变化很小，则供给量供给量 Q 便是价格便是价格 P 的函数，设的函数，设 QP称称 为为供给函数。供给函数。一般说来

5、，商品的市场价格越高，生产者愿意而一般说来，商品的市场价格越高，生产者愿意而且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般且能够向市场提供的商品量也就越多。因此一般的的供给函数供给函数都是都是单调增加单调增加的。的。人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数人们根据统计数据，常使用下面简单的供给函数线性函数：线性函数：QaPb，其中，其中,0a b 幂函数：幂函数：aQkP，其中，其中0,0ka指数函数：指数函数：ebPQa，其中，其中0,0ab使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记使一种商品的市场需求量与供给量相等的价格（记为为P0），称为），称为均衡价格。均衡价格。例例2. 已知某商品的

6、需求函数和供给函数分别为已知某商品的需求函数和供给函数分别为14 1.5 ,54QPQP 求该商品求该商品均衡价格均衡价格。解：解：由供需均衡条件，有由供需均衡条件，有14 1.554PP 由此，得均衡价格由此，得均衡价格0193.455.5P 3. 生产函数生产函数生产函数生产函数表示了一定的时期内各生产要素的投入表示了一定的时期内各生产要素的投入量与产品的最大可能产量之间的关系。量与产品的最大可能产量之间的关系。生产要素生产要素包括资金和劳动力等多种要素。为方便包括资金和劳动力等多种要素。为方便起见，暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投起见，暂时先考虑只有一个投入变量，而其余投入皆为常量的

7、情况。入皆为常量的情况。例例3. 在电力输送过程中，如果用在电力输送过程中，如果用 x 表示能量输入，表示能量输入，则能量输出为则能量输出为 y = f ( x )，其中，其中 2f xcccx 这里这里 c 0 为容量参数。为容量参数。规模报酬问题：规模报酬问题：当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？当投入增加一倍时，产出是否也增加一倍？例：例：设投入设投入 x 与产出与产出g ( x )的关系为的关系为 ag xcx由于由于22aagxcx，可见，可见，当当1时，规模报酬不变；当时，规模报酬不变；当1时，如果投入时，如果投入增加一倍，产量增加不到一倍，即规模报酬递减；增加一倍，产量增加不到

8、一倍，即规模报酬递减；当当1时，如果投入时，如果投入 增加一倍，产量增加超过增加一倍，产量增加超过一倍，即规模报酬递增。一倍，即规模报酬递增。4. 成本函数成本函数成本成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素是生产一定数量产品所需要的各种生产要素投入的价格或费用总额。投入的价格或费用总额。成本成本由固定成本和可变成本组成。由固定成本和可变成本组成。固定成本固定成本是指是指支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧支付固定生产要素的费用。包括厂房、设备折旧以及管理人员工资等；以及管理人员工资等；可变成本可变成本是指支付可变生是指支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的支付以及生产要素的费用，

9、包括原材料、燃料的支付以及生产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。产工人的的工资，它随着产量的变动而变动。例例4. 设某厂的生产函数设某厂的生产函数24QL，其中，其中 L 表示表示劳动力数量，求劳动力价格为劳动力数量，求劳动力价格为1152时的可变成时的可变成本函数本函数 CC Q解：解： 由由24QL，得，得2576QL ，这样，这样22115211522576QCLQ即可变成本函数即可变成本函数22CQ5. 收益函数收益函数总收益总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部是生产者出售一定数量产品所得到的全部收入，用收入，用 Q 表示出售的产品数量，表示出售的产品数量，R 表示总收益，表

10、示总收益， 表示平均收益，则表示平均收益，则R ,R QRR QRQ如果产品的价格如果产品的价格 P 保持不变，则保持不变，则,RPQ RP6. 利润函数利润函数利润利润是生产中获得的总收益与投入的总成本之是生产中获得的总收益与投入的总成本之差，即差，即 L QR QC Q例例6. 已知某产品价格为已知某产品价格为 P ，需求函数为，需求函数为 505QP成本函数为成本函数为502CQ，求产量，求产量 Q 为多少时利润为多少时利润L 最大？最大利润是多少？最大？最大利润是多少？解：解：由需求函数由需求函数505QP，可得，可得105QP 于是，收益函数为于是，收益函数为2105QRP QQ因此

11、，因此，20Q 时，最大利润为时，最大利润为30。这样，利润函数为这样，利润函数为 28505QLR QC QQ2120305Q 7. 库存函数库存函数设某企业在计划期设某企业在计划期 T 内，对某种物品的总需求量为内，对某种物品的总需求量为Q ，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进，由于库存费用及资金占用等因素。显然一次进货是不合算的，考虑均匀地分货是不合算的，考虑均匀地分 n 次进货，每次进货次进货，每次进货批量为批量为Qqn，进货周期为，进货周期为Ttn假定每件物品的贮存单位时间费用为假定每件物品的贮存单位时间费用为C1，每次进，每次进货费用为货费用为C2，每次进货量相同，进货间隔时

12、间不，每次进货量相同，进货间隔时间不变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为变，以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 。2q在时间在时间 T 内的总费用内的总费用 E 为为1212QECTqCq其中其中112CTq是贮存费，是贮存费，2QCq是进货费用。是进货费用。8. 戈珀兹（戈珀兹（Gompertz）曲线）曲线戈珀兹戈珀兹 曲线是指数函数曲线是指数函数tbyka在经济预测中，经常使用该曲线在经济预测中，经常使用该曲线. . 当当初始期初始期 发展期发展期饱和期饱和期klg0,a 01b时，其图形如图所示时，其图形如图所示初始期初始期 发展期发展期饱和期饱和期k由图可见戈珀兹曲线当由图可见戈珀兹曲线

13、当 t 0 且无限增大时，其无限且无限增大时，其无限与直线与直线 y = k 接近，且始终位于该直线下方。在产品接近，且始终位于该直线下方。在产品销售预测中，当预测销售量充分接近到销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，的值时，表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。tbyka二、边际与弹性二、边际与弹性1. 边际概念边际概念如果函数如果函数 yf x在在处可导，则在处可导，则在00,x xx内的内的平均变化率平均变化率为为yx；在；在0 xx处的处的瞬时变化率瞬时变化率0 x0000limxf xxf xfxx 经济学中称它为经济学中称它为 f x

14、在在0 xx处的处的边际函数边际函数值。值。设在点设在点0 xx处，处，x从从0 x改变一个单位时，改变一个单位时，y的增量的增量y的准确值为的准确值为01x xxy ，当当x改变量很小时，则由微分的应用知道，改变量很小时，则由微分的应用知道，y的近似值为的近似值为01dx xxyy 01x xxfxx fx当当1x 时，标志着时，标志着 x 由由 x0 减少一个单位。减少一个单位。定义定义1 设函数设函数 f x在在x处可导，则称导数处可导，则称导数 fx的的边际函数边际函数。为为 f x fx在在 x0 处的值处的值0fx为为边际函数值边际函数值。即：。即：当当x = x0时，时，x 改变

15、一个单位，改变一个单位，y 改变改变0fx个单位。个单位。例例1 1解：解：（1） 边际成本边际成本2. 2. 经济学中常见的边际函数经济学中常见的边际函数（2） 边际平均成本边际平均成本总成本函数总成本函数 C Q的导数，称为的导数，称为边际成本边际成本。 00limlimQQC QQC QCC QQQ 平均成本平均成本 C Q的导数，称为的导数，称为平均边际成本平均边际成本。 C QCQQ 2QC QC QQ一般说来，总成本一般说来，总成本 C Q等于固定成本等于固定成本0C与可变与可变成本成本 1C Q之和，即之和，即 01C QCC Q于是，边际成本为于是，边际成本为 011C QCC

16、 QC Q显然，显然，边际成本与固定成本无关边际成本与固定成本无关。例例2. 设某产品生产设某产品生产 Q 单位的总成本为单位的总成本为 211001200QC Q 求求： （1）生产）生产900个单位时的总成本和平均成本；个单位时的总成本和平均成本；（2）生产）生产900个单位到个单位到1000个单位时的总成本个单位时的总成本的平均变化率；的平均变化率；（3）生产）生产900个的边际成本，并解释其经济意义。个的边际成本，并解释其经济意义。总成本函数：总成本函数： 211001200QC Q 解：解：（1）生产）生产900个单位时的总成本为个单位时的总成本为 290090011001200QC

17、 Q1775平均成本为平均成本为 900QC QC QQ17759001.97 （2）生产）生产900个单位到个单位到1000时总成本的平均时总成本的平均变化率为变化率为总成本函数：总成本函数： 211001200QC Q 解：解： 10009001000900C QCCQ1933 17751.58100总成本函数：总成本函数： 211001200QC Q 解：解： （3）边际成本函数）边际成本函数 21200600QQC Q当当Q = 900 时的边际成本为时的边际成本为 90018001.51200QC Q它表示当产量为它表示当产量为 900 个单位时，再增加个单位时，再增加 一个单位，需

18、增加一个单位，需增加 成本成本 1.5 个单位。个单位。（或减少）（或减少）（或减少）（或减少）（3 3）边际收益）边际收益定义：定义：00()( )( )limlimQQRR QQR QR QQQ ( )( )R QPQQ P Q，总收益函数总收益函数( )R Q的导数的导数称为称为边际收益函数边际收益函数。设设 P 为价格，为价格，( )PP Q，因此，因此( )( )( )R QP QQP Q解：解：2()205QRQP QQ21515(20)2555QQQRQ1515( )2551715QQR QRQ总收益为总收益为销售销售15个单位时，总收益个单位时，总收益平均收益平均收益15152

19、()(20)145QQR QQ(20)(15)3202551320155RRRQ边际收益边际收益当销售量从当销售量从15个单位到个单位到20个单位时的平均变化率为个单位时的平均变化率为例例4. 当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知当某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为该商品的需求函数为 210eQPP Q，其中，其中Q为需求量，为需求量，P为价格，且最大需求量为为价格，且最大需求量为6，求，求该商品的收益函数和边际函数。该商品的收益函数和边际函数。解：解：2()10(06)QR QPQQeQ2()5(2)(06)QR QQ eQ（4）边际利润边际利润定义：定义：00()(

20、)( )limlimQQLL QQL QL QQQ 边际利润表示：若已经生产了边际利润表示：若已经生产了Q 单位产品，单位产品，再生产一个单位产品所增加的总利润再生产一个单位产品所增加的总利润收益函数收益函数边际收益函数边际收益函数总利润函数总利润函数L Q的导数的导数称为称为边际利润边际利润。 C Q一般情况下，总利润函数一般情况下，总利润函数 L Q等于总收益函数等于总收益函数 R Q与总成本函数与总成本函数之差。即之差。即 L QR QC Q则边际利润为则边际利润为 L QR QC Q显然，边际利润可由边际收入与边际成本决定，显然，边际利润可由边际收入与边际成本决定， C QR QC Q

21、C Q 时，时， 000L Q ( )250 10L QQ20( )(20)50QL QL25()(25)0QL QL35( )(35)100QL QL例例5.Q某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后得出总利润得出总利润()L Q（元）与每月产量（元）与每月产量（吨）的关系（吨）的关系为为2()2505LL QQQ，试确定每月生产，试确定每月生产20吨，吨，25吨，吨，35吨的边际利润，并作出经济解释。吨的边际利润，并作出经济解释。解：解： 边际利润函数为边际利润函数为20( )50QL Q25()0QL Q35( )100QL Q上述结果表明当生产量

22、为每月上述结果表明当生产量为每月2020吨时，再增加一吨时，再增加一吨，利润将增加吨，利润将增加5050元，当产量为每月元，当产量为每月2525吨时，再吨时，再增加一吨，利润不变；当产量为增加一吨，利润不变；当产量为3535吨时，再增加吨时，再增加一吨，利润将减少一吨，利润将减少100100此处说明，对厂家来说，此处说明，对厂家来说，并非生产的产品越多，利润越高并非生产的产品越多，利润越高. .边际利润边际利润（5）边际需求边际需求定义定义Q若若 Qf P是需求函数，则需求量是需求函数，则需求量对价格的导数对价格的导数 ddQfPP称为称为边际需求函数边际需求函数。 Qf P的反函数的反函数

23、1PfQ是价格函数，价格是价格函数，价格对需求的导数对需求的导数 1ddPfQQ称为称为边际价格函数边际价格函数。由反函数求导法则可知，边际需求函数与边际价格由反函数求导法则可知，边际需求函数与边际价格函数互为倒数，即函数互为倒数，即 11fPfQ解：解：d( )2dPQ PPQ 它的它的经济意义经济意义是价格为是价格为4 4时，价格上涨（或下降）时，价格上涨（或下降）1 1个单位，需求量将减少（或增加）个单位，需求量将减少（或增加）8 8个单位个单位. .当当4P 时的边际需求为时的边际需求为4( )8PQ P 定义定义3. 弹性概念弹性概念设函数设函数 yf x在点在点0 xx处可导，函数

24、处可导，函数的相对改变量的相对改变量0000f xxf xyyf x与自变量与自变量的相对改变量的相对改变量0 xx之比之比00/y yx x，称为函数，称为函数 f x从从0 xx到到0 xxx两点间的平均相对变化率，两点间的平均相对变化率，或称或称两点间的弹性两点间的弹性。注意：注意：两点间的弹性是有方向性的。两点间的弹性是有方向性的。记作记作0 x xEyEx，或，或0Ef xEx即即0000000000/limlim/xxx xEyy yy xxfxExx xx yf x 弹性函数的定义弹性函数的定义对一般的对一般的x，若，若 f x可导且可导且 0f x ，则有，则有00/limli

25、m/xxEyy yy xxyExx xx yy 是是x的函数，称为的函数，称为 f x的的弹性函数弹性函数（简称（简称弹性弹性）函数函数 f x在点在点x处的弹性处的弹性 Ef xEx反映了反映了x的变化幅度的变化幅度xx对对 f x变化幅度变化幅度yy的大小的影响，的大小的影响，也就是也就是 f x对对x变化反应的强烈程度或灵敏度。变化反应的强烈程度或灵敏度。0Ef xEx表示在点表示在点0 xx处，当处，当x产生产生1%的改变时，的改变时， f x近似地改变近似地改变0%Ef xEx。由弹性的定义由弹性的定义EyxyyyExyx边际函数边际函数平均函数平均函数弹性在经济学上可理解为边际函数

26、与平均函数之比。弹性在经济学上可理解为边际函数与平均函数之比。常见函数的弹性常见函数的弹性（a , b , c , 为常数为常数） （1）常数函数）常数函数 f xC的弹性的弹性0ECEx（2）线性函数）线性函数 f xaxb的弹性的弹性E axbaxExaxb（3）幂函数）幂函数 f xax的弹性的弹性E axEx常见函数的弹性常见函数的弹性（a , b , c , 为常数为常数） （4）指数函数）指数函数 xf xba的弹性的弹性lnxEbaxaEx（5）对数函数）对数函数 lnf xbax的弹性的弹性ln1lnE baxExax（6）三角函数的弹性）三角函数的弹性sincotExxxEx

27、，costanExxxEx 弹性的四则运算弹性的四则运算12121212( )( )( )( )( )( )(1)( )( )Ef xEfxf xfxE f xfxExExExf xfx 1212( )( )(2)E fx fxEf xEfxExExEx1212( )( )( )( )(3)f xEfxEf xEfxExExEx函数弹性的图解方案函数弹性的图解方案m( , ( )A x f x( )yf xyyOxx对于给定的函数对于给定的函数 yf x的几何意义知的几何意义知（如图所示），由边际函数（如图所示），由边际函数tan my 又平均函数为又平均函数为 tanf xx则则tantan

28、mEyEx 注：注：常用符号常用符号表示需求的价格弹性的绝对值表示需求的价格弹性的绝对值ddP QQP 1. 1. 需求的价格弹性需求的价格弹性 需求的需求的价格弹性价格弹性是指当价格变化一定的百分比是指当价格变化一定的百分比以后引起的需求量的反应程度以后引起的需求量的反应程度. .用公式表示为用公式表示为0dlimddpQPQPEPQPQ 三、三、 经济学中常见的弹性函数经济学中常见的弹性函数解：解：d100dQP 2010021000EP 例例1 1 某需求曲线为某需求曲线为1003000QP ，求，求 P = 20时时的弹性。的弹性。，当，当 P = 20时，时，Q = 1000，所以，

29、所以几种特殊的价格弹性几种特殊的价格弹性从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：从理论上来说，有以下四种特殊的需求弹性：（1）需求的价格弹性等于）需求的价格弹性等于0。也就是说，这种商品。也就是说，这种商品完全没有弹性，不管价格如何变，其需求量都不会完全没有弹性，不管价格如何变，其需求量都不会发生变化。这种商品的发生变化。这种商品的需求曲线的图形是一条需求曲线的图形是一条垂直的直线。垂直的直线。POQ()aD0dE（2）需求的价格弹性为无穷大。它表明商品在一）需求的价格弹性为无穷大。它表明商品在一定价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把定价格条件下，有多少就可以卖掉多少；然而想把价格稍微提

30、高一点点，价格稍微提高一点点，就可能一个也卖不掉。就可能一个也卖不掉。这种商品的需求曲线为这种商品的需求曲线为一条水平的直线。在这一条水平的直线。在这市场里，不同企业的产市场里，不同企业的产品是同质的，价格由市品是同质的，价格由市场供需关系所决定；场供需关系所决定；POQ( )bDdE POQ( ) cD1dE（3）单位弹性。即需求曲线上各点的弹性均为）单位弹性。即需求曲线上各点的弹性均为1，也就是说，在任何价格水平下，价格变动一个百分也就是说，在任何价格水平下，价格变动一个百分比时，需求量均按同样的百分比变化。这种商品的比时，需求量均按同样的百分比变化。这种商品的需求曲线是一条双曲线，其方程

31、为需求曲线是一条双曲线，其方程为P Q = =K。例如，例如，当一个人从每月的工资中当一个人从每月的工资中拿出一定数量的钱，如拿出一定数量的钱，如100元，购买书时，其个人对元，购买书时，其个人对书的需求曲线就是一条双书的需求曲线就是一条双曲线；曲线；POQMAB( )d1dE1dE1dE （4）需求曲线是一条倾斜的直线（如图）。这里需求）需求曲线是一条倾斜的直线（如图）。这里需求曲线的各点的弹性都是变化的。曲线的各点的弹性都是变化的。在其上端点（在其上端点（A），），dE ；在其上端点（；在其上端点（B），），0dE 需求曲线的中点（需求曲线的中点（M），），1dE需求曲线的需求曲线的 AM

32、 部分，部分，1dE，称之为，称之为弹性需求弹性需求；需求曲线的需求曲线的 MB 部分，部分，1dE，称之为，称之为非弹性需求非弹性需求。例例9.设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为1002QP，050P，其中，其中 P 为价格，为价格，Q 为需求量：为需求量：（1）当）当 P = 10，且价格上涨，且价格上涨 1%时，需求量时，需求量 Q 是是增加还是减少，变化百分之几？增加还是减少，变化百分之几？（2）讨论商品价格变化时，需求量变化的情况。）讨论商品价格变化时，需求量变化的情况。解：解：（1）需求弹性）需求弹性 ddP QPQP 21002PP 50PP故故100.25由于由于 P 和

33、和 Q 是按相反方向变化的，在是按相反方向变化的，在 P =10，且价格上涨且价格上涨1%时需求量时需求量Q则减少则减少（2）当）当01，即，即0150PP时，因时，因0P ，故，故500P，即，即25P 。因而当价格因而当价格 P 在在0与与25之间变化，且上涨（下降）之间变化，且上涨（下降）1%时，需求量减少（增加）时，需求量减少（增加）%，小于价格上涨，小于价格上涨（下降）的百分比（因（下降）的百分比（因1）；）；当当1，即，即150PP，得，得25P 这表明这表明 P = 25时，需求量的变动与价格变动按相同时，需求量的变动与价格变动按相同的百分比进行；的百分比进行；当当1，即，即15

34、0PP时，显然得时，显然得25P %于是，当于是，当2550P且价格且价格 P 上涨（下降）上涨（下降）1%时，需求量减少（增加）时，需求量减少（增加），大于价格上涨，大于价格上涨（下降）的百分比（因（下降）的百分比（因1）。）。需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系需求弹性与总收益（市场销售总额）的关系总收益总收益 RP QP f P边际总收益边际总收益 RP fPf P 1Pf PfPf P 1f P边际总收益边际总收益 1Rf P （1）若）若1，需求变动的幅度小于价格变动的幅度，需求变动的幅度小于价格变动的幅度此时，边际收益大于零，即价格上涨，总收益增加，此时，边际收益大于零，即价格上涨，总收益增加，价格下跌，总收益减少；价格下跌，总收益减少；（2）若）若1，需求变动的幅度大于价格变动的幅度，需求变动的幅度大于价格变动的幅度此时，边际收益小于零，即价格上涨，总收益减少，此时，边际收益小于零，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加；价格下跌，总收益增加；综上