第三静态场及其边值问题的解学习教案

1、会计学1第三第三(d sn) 静态场及其边值问题的解静态场及其边值问题的解第一页，共151页。2 学习内容学习内容 静电场的基本方程和边界条件静电场的基本方程和边界条件 电位函数电位函数 导体系统导体系统(xtng)的电容与部分电容的电容与部分电容 静电场的能量静电场的能量 静电力静电力第1页/共151页第二页，共151页。32. 边界条件边界条件0ED微分形式：微分形式：ED本构关系：本构关系：1. 基本基本(jbn)方程方程0)()(2121EEeDDenSn0ddlEqSDCS积分形式：积分形式：0)(0)(2121EEeDDenn02121ttSnnEEDD或或若分界若分界(fn ji

2、)(fn ji)面上不存在面电荷，即面上不存在面电荷，即SS0 0，则，则ttnnEEDD2121或或第2页/共151页第三页，共151页。4介质介质2 2介质介质1 121212E1Ene212211221121/tantannnntntDDEEEE 在静电平衡的情况下，导体在静电平衡的情况下，导体(dot)(dot)内部的电场为内部的电场为0 0，则导体，则导体(dot)(dot)表面的边界条件为表面的边界条件为 0EeDenSn0tSnED或或 场矢量场矢量(shling)的折射关系的折射关系 导体导体(dot)表面的边界条件表面的边界条件 介质介质1 1111Ene导体第3页/共151

3、页第四页，共151页。50E由由即即静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，静电场可以用一个标量函数的梯度来表示，标量函数标量函数 称为静电场的标量电位或简称电位。称为静电场的标量电位或简称电位。1. 电位电位(din wi)函数的定义函数的定义E第4页/共151页第五页，共151页。62. 电位电位(din wi)的表达式的表达式对于连续对于连续(linx)的体分布电荷，由的体分布电荷，由面电荷面电荷(dinh)的电位：的电位： 1( )( )d4VrrVCR故得故得点电荷的电位：点电荷的电位：( )4qrCR( )1( )d4SSrrSCR( )1( )d4lCrrlCRd)1)(41d)1

4、()(41d)(41)(3VRrVRrVRRrrEVVV3)1(RRR线电荷的电位：线电荷的电位：rrR第5页/共151页第六页，共151页。7n3. 电位差电位差两端点乘两端点乘 ，则有，则有ldE将将d)ddd(ddyyyyxxllE上式两边从点上式两边从点P到点到点Q沿任意路径沿任意路径(ljng)进行积分，得进行积分，得关于电位差的说明关于电位差的说明 P、Q 两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从两点间的电位差等于电场力将单位正电荷从P点移至点移至Q 点点 所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处；所做的功，电场力使单位正电荷由高电位处移到低电位处； 电位差也称为电压，可用

5、电位差也称为电压，可用U 表示；表示； 电位差有确定值，只与首尾电位差有确定值，只与首尾(shuwi)两点位置有关，与积分路径无关。两点位置有关，与积分路径无关。)()(ddQPlEQPQPP、Q 两点间的电位差两点间的电位差电场力电场力做的功做的功第6页/共151页第七页，共151页。8 静电位不惟一，可以相差一个静电位不惟一，可以相差一个(y )(y )常数，即常数，即)(CC选参考点选参考点令参考点电位令参考点电位(din wi)为零为零电位电位(din wi)(din wi)确定值确定值( (电位电位(din wi)(din wi)差差) )两点间电位差有定值两点间电位差有定值 选择电

6、位参考点的原则选择电位参考点的原则 应使电位表达式有意义；应使电位表达式有意义； 应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无应使电位表达式最简单。若电荷分布在有限区域，通常取无 限远作电位参考点；限远作电位参考点； 同一个问题只能有一个参考点。同一个问题只能有一个参考点。4. 电位参考点电位参考点 为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有确定值，即为使空间各点电位具有确定值，可以选定空间某一点作为参考点，且令参考点的电位为零，由于空间各点与参考点的电位差为确定值，所以该点的电位也就具有

7、确定值，即第7页/共151页第八页，共151页。9在均匀在均匀(jnyn)(jnyn)介质中，有介质中，有5. 电位电位(din wi)的微分方程的微分方程2在无源在无源(w yun)(w yun)区域，区域，0EED02标量泊松方程标量泊松方程拉普拉斯方程拉普拉斯方程第8页/共151页第九页，共151页。10n6. 静电静电(jngdin)位的边界条件位的边界条件 设设P1和和P2是介质分界面是介质分界面(jimin)两侧紧贴界面两侧紧贴界面(jimin)的相邻两点，其电位分别为的相邻两点，其电位分别为1和和2。当两点间距离。当两点间距离l0时时 若介质分界若介质分界(fn ji)面上无自由

8、电荷，即面上无自由电荷，即导体表面上电位的边界条件：导体表面上电位的边界条件：0dlim21021PPllESnDDe)(21D由由 和和12媒质媒质2媒质媒质121l2P1P0Snn1122常数，常数，Sn21Snn1122第9页/共151页第十页，共151页。11 例例 求电偶极子的电位求电偶极子的电位(din wi). 解解 在球坐标系中在球坐标系中211202104)11(4)(rrrrqrrqrcos)2/(cos)2/(222221rddrrrddrrcos22drr用二项式展开用二项式展开(zhn ki)(zhn ki)，由于，得，由于，得dr ,cos21drr30202044

9、4cos)(rrpreprqdrr代入上式，得代入上式，得 表示电偶极矩，方向表示电偶极矩，方向(fngxing)由负电荷指向正电荷。由负电荷指向正电荷。dqp+q电偶极子电偶极子zodq2r1rr),(rP第10页/共151页第十一页，共151页。12ErErrdd21sinCr 将将 和和 代入上式，代入上式，解得解得E线方程为线方程为ErE 由球坐标系中的梯度公式，可得到由球坐标系中的梯度公式，可得到(d do)电偶极子的远区电场强度电偶极子的远区电场强度)sincos2(430eerqr)sin11()(rerererErcos2Cr Crp204cos等位线等位线电场线电场线电偶极子

10、的场图电偶极子的场图电场线微分方程电场线微分方程(wi fn fn chn)：等位等位(dn wi)线方程：线方程：第11页/共151页第十二页，共151页。13 解解 选定均匀电场空间中的一点选定均匀电场空间中的一点(y din)o为坐标原点，而任意点为坐标原点，而任意点P 的位置矢量为的位置矢量为r，则，则000( )( )ddPPooPoElErE r rrrrrrggg若选择点若选择点o为电位参考点，即为电位参考点，即 ，则，则( )0o0( )PE r rrg000( )coszPE re r EE r rrr rgg 在球坐标系中，取极轴与在球坐标系中，取极轴与 的方向一致，即的方

11、向一致，即 ，则有，则有00zEe E0Ezree z000( )()cosxzPE re E ee zE rrrrgg 在圆柱面坐标系中，取在圆柱面坐标系中，取 与与x轴方向一致，即轴方向一致，即 ，而，而 ，故，故 00 xEe E0E0ExzoPr 例例 求均匀电场的电位求均匀电场的电位(din wi)分布。分布。第12页/共151页第十三页，共151页。14xyzL-L( , , ) z zddlzRz 解解 采用圆柱面坐标系，令线电荷与采用圆柱面坐标系，令线电荷与 z 轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与轴相重合，中点位于坐标原点。由于轴对称性，电位与 无关。无关。在带电

12、线上位于在带电线上位于 处的线元处的线元 ，它，它到点到点 的距离的距离 ，则则22()Rzzddlz( , , )Pz 02201()d4()LlLrzzz2200ln() 4LlLzzzz220220()()ln4()()lzLzLzLzL 例例3.1.3 求长度为求长度为2L、电荷线密度为、电荷线密度为 的均匀带电线的电位。的均匀带电线的电位。0l第13页/共151页第十四页，共151页。152222000220002( )lnlnln422lllLLLLLrLL 在上式中若令在上式中若令 ，则可得到无限长直线电荷的电位。当，则可得到无限长直线电荷的电位。当 时，上式可写为时，上式可写为

13、 LRL 当当 时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有时，上式变为无穷大，这是因为电荷不是分布在有限区域内，而将电位参考点选在无穷远点之故。这时可在上式中加上一个任意常数，则有L 002( )ln2lLrC并选择有限远处为电位并选择有限远处为电位(din wi)参考点。例如，选择参考点。例如，选择= a 的点为电位的点为电位(din wi)参参考点，则有考点，则有002ln2lLCa 00( )ln2lar第14页/共151页第十五页，共151页。16 例例3.1.4 两块无限大接地导体平板分别置于两块无限大接

14、地导体平板分别置于x = 0和和 x = a 处，在两板之间的处，在两板之间的 x = b 处有一面密度为处有一面密度为 的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。的均匀电荷分布，如图所示。求两导体平板之间的电位和电场。0S 解解 在两块无限大接地导体平板之间，除在两块无限大接地导体平板之间，除 x = b 处有均匀面电荷分布外，其余空间处有均匀面电荷分布外，其余空间(kngjin)均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程均无电荷分布，故电位函数满足一维拉普拉斯方程212d( )0,(0)dxxbx222d( )0,()dxbxax111222( )( )xC xDxC xD

15、方程方程(fngchng)的解为的解为obaxy两块无限大平行板两块无限大平行板0S1( )x2( ) x第15页/共151页第十六页，共151页。170110(),0SbaCDa 002200,SSbbCDa 010020()( ),(0)( )(),()SSabxxxbabxaxbxaa 0110()( )( )SxabE xxea 1221122021000SDC aDC bDC bDCC 利用利用(lyng)边界条件，有边界条件，有xb12( )( ),bb0210( )( )Sx bxxxx 处，处，最后最后(zuhu)得得0 x 处，处，1(0)0 xa2( )0a 处，处，所以所

16、以(suy)0220( )( )SxbE xxea 由此解得由此解得第16页/共151页第十七页，共151页。18电容器广泛应用于电子设备的电路中：电容器广泛应用于电子设备的电路中： 在电子电路中，利用电容器来实现在电子电路中，利用电容器来实现(shxin)滤波、移相、隔直、旁滤波、移相、隔直、旁 路、选频等作用；路、选频等作用； 通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂通过电容、电感、电阻的排布，可组合成各种功能的复杂 电路；电路； 在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以在电力系统中，可利用电容器来改善系统的功率因数，以 减少电能的损失和提高电气设备的利用率；减少电能的

17、损失和提高电气设备的利用率；第17页/共151页第十八页，共151页。19 电容是导体系统的一种基本属性电容是导体系统的一种基本属性(shxng)，是描述导体系统，是描述导体系统 储存电荷能力的物理量。储存电荷能力的物理量。 孤立导体的电容定义为所带电量孤立导体的电容定义为所带电量q与其电位与其电位(din wi) 的比值，即的比值，即qC 1. 电容电容(dinrng) 孤立导体的电容孤立导体的电容 两个带等量异号电荷（两个带等量异号电荷（ q）的导的导 体组成的电容器，其电容为体组成的电容器，其电容为12qqCU 电容的大小只与导体系统的几何尺寸、形状和及周围电介质电容的大小只与导体系统的

18、几何尺寸、形状和及周围电介质 的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。的特性参数有关，而与导体的带电量和电位无关。第18页/共151页第十九页，共151页。20 (1) 假定两导体上分别假定两导体上分别(fnbi)带电荷带电荷+q 和和 -q ； (2) 计算两导体间的电场强度计算两导体间的电场强度E； 计算电容计算电容(dinrng)的步骤：的步骤：UqC (4) 求比值求比值 ，即得出所求电容。，即得出所求电容。21dlEU (3) 由由 ，求出两导体间的电位差；，求出两导体间的电位差；第19页/共151页第二十页，共151页。21 解：设内导体的电荷为解：设内导体的电荷为q，则由高斯

19、定理可求得内外，则由高斯定理可求得内外(niwi)导体间的电场导体间的电场44rr22qqDe,EerrababqbaqrEUba004)11(4d同心导体同心导体(dot)(dot)间的电压间的电压ababUqC04球形电容球形电容(dinrng)(dinrng)器的电容器的电容(dinrng)(dinrng)aC04当当 时，时，babo 例例 同心球形电容器的内导体半径为同心球形电容器的内导体半径为a、外导体半径为、外导体半径为b，其间填充介电常数为，其间填充介电常数为的均匀介质。的均匀介质。求此球形电容器的电容。求此球形电容器的电容。孤立导体球的电容孤立导体球的电容第20页/共151页

20、第二十一页，共151页。22 例例 如图所示的平行双线传输线，导线半径为如图所示的平行双线传输线，导线半径为a，两导线的轴线距离，两导线的轴线距离(jl)为为D，且，且D a，求传输线单位长度的电容。，求传输线单位长度的电容。l 解解 设两导线单位长度带电量分别为设两导线单位长度带电量分别为 和和 。由于。由于 ，故，故可近似地认为电荷分别均匀分布在两可近似地认为电荷分别均匀分布在两导线的表面上。应用高斯定理和叠加原导线的表面上。应用高斯定理和叠加原理，可得到两导线之间的平面上任一点理，可得到两导线之间的平面上任一点P 的电场强度为的电场强度为lDa011( )()2lxE xexDx两导线两

21、导线(doxin)间的电位差间的电位差210011d()dln2D allaDaUElxxDxa故单位长度故单位长度(chngd)的电容为的电容为001F/mln()ln()lCUDaaD axyzxDa第21页/共151页第二十二页，共151页。23 例例 同轴线内导体同轴线内导体(dot)半径为半径为a，外导体，外导体(dot)半径为为半径为为b，内外导体，内外导体(dot)间填充的介电常数为间填充的介电常数为 的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。的均匀介质，求同轴线单位长度的电容。( )2lEe内外内外(niwi)导体间的电位差导体间的电位差1( )dd2bblaaUEell 解解 设同

22、轴线的内、外导体单位长度带电量分别为设同轴线的内、外导体单位长度带电量分别为 和和 ，应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为应用高斯定理可得到内外导体间任一点的电场强度为故得同轴线单位长度故得同轴线单位长度(chngd)的电容为的电容为12F/mln( / )lCUb aab同轴线同轴线ln( / )2lb a第22页/共151页第二十三页，共151页。242 部份电容部份电容(dinrng)在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体在多导体系统中，任何两个导体间的电压都要受到其余导体 上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时，必须把电容的上的电荷的影响。因此，研究多导体系统时

23、，必须把电容的 概念概念(ginin)加以推广，引入部分电容的概念加以推广，引入部分电容的概念(ginin)。 在由在由N个导体组成的系统个导体组成的系统(xtng)中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为中，由于电位与各导体所带的电荷之间成线性关系，所以，各导体的电位为1(1, 2 ,)Nii jjjqiN式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电位系数自电位系数()i jij 互电位系数互电位系数（1） 电位系数电位系数第23页/共151页第二十四页，共151页。25 i j 在数值上等于第在数值上等于第i 个导体上的总电量为一个单位、而其余个导体上的总电量为一

24、个单位、而其余(qy) 导体上的总电量都为零时，第导体上的总电量都为零时，第 j 个导体上的电位，即个导体上的电位，即i j 只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质只与各导体的形状、尺寸、相互位置以及导体周围的介质 参数参数(cnsh)有关，而与各导体的电位和带电量无关；有关，而与各导体的电位和带电量无关；具有具有(jyu)对称性，即对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNii jjqqqqi jNqi j 0 ； 电位系数的特点：电位系数的特点：第24页/共151页第二十五页，共151页。26若已知各导体的电位，则各导体的电量若已知各导体的电位，则各导

25、体的电量(dinling)可表示为可表示为 1(1, 2 ,)Nii jjjqiN 式中：式中：(1 , 2 ,)iiiN 自电容系数或自感应系数自电容系数或自感应系数 ()i jij 互电容系数或互感应系数互电容系数或互感应系数 （2） 电容电容(dinrng)系数系数第25页/共151页第二十六页，共151页。27 i j 在数值上等于第在数值上等于第 j个导体上的电位为一个个导体上的电位为一个(y )单位、而其余导单位、而其余导 体接地时，第体接地时，第 i 个导体上的电量，即个导体上的电量，即 i j i j 只与各导体只与各导体(dot)(dot)的形状、尺寸、相互位置以及导体的形状

26、、尺寸、相互位置以及导体(dot)(dot)周围的介质周围的介质 参数有关，而与各导体参数有关，而与各导体(dot)(dot)的电位和带电量无关；的电位和带电量无关；具有具有(jyu)对称性，即对称性，即i j = j i 。1110( ,1 , 2 ,)jjNiijjqi jNi i 0 、 ；0()ijij 电容系数的特点：电容系数的特点：第26页/共151页第二十七页，共151页。28将各导体将各导体(dot)的电量表示为的电量表示为 式中：式中：（3） 部分部分(b fen)电容电容(1, 2 ,)iN()Nijiji iij iCC111()()NNNNii jjijjijiijii

27、jijijijjj ijq 导体导体 i 与导体与导体 j 之间的部分电容之间的部分电容()ijijCij 导体导体 i 与地之间的部分电容与地之间的部分电容 NjjiiiC1第27页/共151页第二十八页，共151页。29 Ci i 在数值上等于全部在数值上等于全部(qunb)导体的电位都为一个单位时，第导体的电位都为一个单位时，第 i 个导个导 体上的电量；体上的电量； Ci j Ci j 只与各导体的形状、尺寸、相互只与各导体的形状、尺寸、相互(xingh)(xingh)位置以及导体周围的介质位置以及导体周围的介质 参数有关，而与各导体的电位和带电量无关；参数有关，而与各导体的电位和带电

28、量无关；具有具有(jyu)对称性，即对称性，即Ci j = Cj i 。Ci j 0 ； Ci j 在数值上等于第在数值上等于第 j 个导体的电位为一个单位、其余个导体的电位为一个单位、其余 导体都接地时，导体都接地时，第第 i 个导体上的电量；个导体上的电量；()ij 部分电容的特点：部分电容的特点：第28页/共151页第二十九页，共151页。30 在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压在多导体系统中，把其中任意两个导体作为电容器的两个电极，设在这两个电极间加上电压U，极板上所带电荷分别为，极板上所带电荷分别为 ，则比值，则比值 称为这两个导体间的等

29、效电容。称为这两个导体间的等效电容。q/q U（4）等效）等效(dn xio)电容电容如图所示，有三个部分电容如图所示，有三个部分电容112212CCC、导线导线 1 和和 2 间的等效电容为间的等效电容为11221121122C CCCCC导线导线 1 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12222111222C CCCCC导线导线 2 和大地间的等效电容为和大地间的等效电容为12113221211C CCCCC1 12 212C22C11C大地大地大地上空的平行双导线大地上空的平行双导线第29页/共151页第三十页，共151页。31 如果充电过程进行得足够缓慢，就不会有能量如果充电过程

30、进行得足够缓慢，就不会有能量(nngling)辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量辐射，充电过程中外加电源所作的总功将全部转换成电场能量(nngling)，或者说电场能量，或者说电场能量(nngling)就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。就等于外加电源在此电场建立过程中所作的总功。静电场能量来源于建立电荷系统静电场能量来源于建立电荷系统(xtng)的过程中外源提供的能量的过程中外源提供的能量静电场最基本静电场最基本(jbn)的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有的特征是对电荷有作用力，这表明静电场具有 能量。能量。 任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个

31、最终电荷分布的建立任何形式的带电系统，都要经过从没有电荷分布到某个最终电荷分布的建立(或充电或充电)过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。过程。在此过程中，外加电源必须克服电荷之间的相互作用力而作功。第30页/共151页第三十一页，共151页。321. 静电场的能量静电场的能量(nngling) 设系统从零开始充电，最终带电量为设系统从零开始充电，最终带电量为 q 、电位为、电位为 。 充电过程中某一时刻的电荷量为充电过程中某一时刻的电荷量为q、电位为、电位为 。 (01) 当当增加增加(zngji)为为(+ d)时，外电源做功为时，外电源做功为: (q d)。 对对从

32、从0 到到 1 积分，即得到外电源所做的总功为积分，即得到外电源所做的总功为101d2qq 根据根据(gnj)能量守恒定律，此功也就是电量为能量守恒定律，此功也就是电量为 q 的带电体具有的电场能量的带电体具有的电场能量We ，即，即12eWq 对于电荷体密度对于电荷体密度为的体分布电荷，体积元为的体分布电荷，体积元dV中的电荷中的电荷dV具有的电场能量为具有的电场能量为1dd2eWV第31页/共151页第三十二页，共151页。33VWVed21SWSSed21故体分布电荷的电场故体分布电荷的电场(din chng)能量为能量为对于面分布电荷，电场对于面分布电荷，电场(din chng)能量为

33、能量为111dd222iiiieSiiSiiSSiiiWSSq 对于多导体组成对于多导体组成(z chn)的带电系统，则有的带电系统，则有iq 第第i个导体所带的电荷个导体所带的电荷i 第第i个导体的电位个导体的电位式中：式中：第32页/共151页第三十三页，共151页。342. 电场能量电场能量(nngling)密度密度 从场的观点从场的观点(gundin)(gundin)来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。来看，静电场的能量分布于电场所在的整个空间。EDwe21电场能量密度：电场能量密度：1d2eVWD E V电场的总能量：电场的总能量：积分区域为电场积分区域为电场所在的整个空间所

34、在的整个空间2111ddd222eVVVWD E VE E VEV 对于对于(duy)线性、各向同性介质，则有线性、各向同性介质，则有2111222ewD EE EE 第33页/共151页第三十四页，共151页。35由于体积由于体积V外的电荷外的电荷(dinh)密度密度0，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷，若将上式中的积分区域扩大到整个场空间，结果仍然成立。只要电荷(dinh)分布在有限区域内，当闭合面分布在有限区域内，当闭合面S无限扩大时，则有无限扩大时，则有211 O( O()DRR) 、2111d O(.d ) O()0SSDSSR RR故故11dd22SVD

35、SE D V 推证：推证：()DDD ()ddVSD VDSE D R0S11dd22eVVWVDV1()d2VDDV第34页/共151页第三十五页，共151页。36 例例 半径为半径为a 的球形空间内均匀分布有电荷的球形空间内均匀分布有电荷(dinh)体密度为体密度为的电荷的电荷(dinh)，试求静电场能量。，试求静电场能量。5202420622020220154)d49d49(21arrrarrraa10()3rrEera 解解： 方法一方法一，利用利用 计算计算 VeVEDWd21 根据高斯定理求得电场根据高斯定理求得电场(din chng)(din chng)强度强度 3220()3r

36、aEerar故故VEVEVEDWVVVed21d21d2121220210第35页/共151页第三十六页，共151页。37)()3(2d3d3dd2202030211arrarrarrrErEaraara 方法二方法二：利用利用 计算计算 VeVWd21 先求出电位先求出电位(din wi)(din wi)分布分布 故故5202022021154d4)3(221d21arrraVWaVe第36页/共151页第三十七页，共151页。38 已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电已知带电体的电荷分布，原则上，根据库仑定律可以计算带电体电荷之间的电场力。但对于电荷分布复杂

37、的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难场力。但对于电荷分布复杂的带电系统，根据库仑定律计算电场力往往是非常困难的，因此通常的，因此通常(tngchng)采用虚位移法来计算静电力。采用虚位移法来计算静电力。 虚位移法：假设第虚位移法：假设第i个带电导体在电场力个带电导体在电场力Fi的作用下发生位移的作用下发生位移dgi，则电场力做功，则电场力做功dAFidgi，系统的静电能量改变为，系统的静电能量改变为dWe。根据。根据(gnj)能量守恒定律，该系统的功能关系为能量守恒定律，该系统的功能关系为dddSiieWF gW其中其中dWS是与各带电体相连接的外电源是与各带电体相连接的外电源(d

38、inyun)所提供的能量。所提供的能量。 具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。具体计算中，可假定各带电导体的电位不变，或假定各带电导体的电荷不变。静电力静电力第37页/共151页第三十八页，共151页。391. 各带电各带电(di din)导体的电位不变导体的电位不变 此时，各带电此时，各带电(di din)导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量导体应分别与外电压源连接，外电压源向系统提供的能量11dd()dNNSiiiiiiWqq1111dd()d22NNeiiiiiiWqq系统所改变系统所改变(gibin)的静电能量的静电能量即即d2dSeWW此

39、时，所有带电体都不和外电源相连接，则此时，所有带电体都不和外电源相连接，则 dWS0，因此，因此2. 各带电导体的电荷不变各带电导体的电荷不变ddiieF gW 式中的式中的“”号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。号表示电场力做功是靠减少系统的静电能量来实现的。ddiieF gWeiiWFg 不变不变eiiWFg q不变不变第38页/共151页第三十九页，共151页。40例例 有一平行金属板电容器，极板面积为有一平行金属板电容器，极板面积为lb，板间距离为，板间距离为d，用一块介质片（宽度为，用一块介质片（宽度为b、厚度为、厚度为d，介电常数为，介电常数为）部分填充在两极）部分填充

40、在两极(lingj)板之间，如图所示。设极板间外加电压为板之间，如图所示。设极板间外加电压为U0，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。，忽略边缘效应，求介质片所受的静电力。0()lx bbxCdd所以所以(suy)电容器内的电场能量为电容器内的电场能量为220001()22ebUWCUlxxd0200()2exUWbUFxd不变由由 可求得介质片受到的静电力为可求得介质片受到的静电力为eiiWFg不变 解解 平行平行(pngxng)板电容器的电容为板电容器的电容为部分填充介质的平行板电容器部分填充介质的平行板电容器dbU0lx由于由于0，所以介质片所受，所以介质片所受到的力有将其拉到的力有将其

41、拉进电容器的趋势进电容器的趋势第39页/共151页第四十页，共151页。4122022 ()eqdqWCblxx2020()2 ()exqWdqFxblxx 不变000()bUqCUlxxd200()2xbUFd 此题也可用式此题也可用式 来计算来计算(j sun)eiiWFg q不变不变设极板设极板(j bn)上保持总电荷上保持总电荷q不变，则不变，则由此可得由此可得由于由于(yuy)同样得到同样得到第40页/共151页第四十一页，共151页。42 由由JE 可知，导体中若存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间可知，导体中若

42、存在恒定电流，则必有维持该电流的电场，虽然导体中产生电场的电荷作定向运动，但导体中的电荷分布是一种不随时间(shjin)变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。变化的恒定分布，这种恒定分布电荷产生的电场称为恒定电场。 恒定电场与静电场重要区别：恒定电场与静电场重要区别： （1 1）恒定电场可以存在导体）恒定电场可以存在导体(dot)(dot)内部。内部。 （2 2）恒定电场中有电场能量的损耗）恒定电场中有电场能量的损耗, ,要维持导体要维持导体(dot)(dot)中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。中的恒定电流，就必须有外加电源来不断补充被损耗的电场能量。

43、 恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。恒定电场和静电场都是有源无旋场，具有相同的性质。 第41页/共151页第四十二页，共151页。43EJ0d0dlESJCS00EJE0)(恒定电场恒定电场(din chng)的基本方程和边界条件的基本方程和边界条件1. 1. 基本基本(jbn)(jbn)方程方程 恒定恒定(hngdng)电场的基本方程为电场的基本方程为微分形式：微分形式：积分形式：积分形式：0 J)(rJ 恒定电场的基本场矢量是电流密度恒定电场的基本场矢量是电流密度 和电场强度和电场强度)(rE 线性各向同性导电媒质的本构关系线性各向同性导电媒质的本构关系0)(EEJ0 E 恒

44、定电场的电位函数恒定电场的电位函数0E02由由若媒质是均匀的，则若媒质是均匀的，则 均匀导电媒质均匀导电媒质中没有体分布中没有体分布电荷电荷第42页/共151页第四十三页，共151页。442. 恒定恒定(hngdng)电场的边界条件电场的边界条件0d lEC0dSJS媒质媒质2 2媒质媒质1 121212E1Ene0)(21JJen0)(21EEen 场矢量场矢量(shling)(shling)的边界条件的边界条件nnJJ21即即ttEE21即即 导电媒质导电媒质(mizh)(mizh)分界面上的电荷面密度分界面上的电荷面密度nnnSJJJeDDe)()()(221122211121场矢量的折

45、射关系场矢量的折射关系212211221121/tantannnntntJJEEEE第43页/共151页第四十四页，共151页。45 电位电位(din wi)(din wi)的边界条件的边界条件nn221121, 恒定恒定(hngdng)电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场电场同时存在于导体内部和外部，在导体表面上的电场 既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因既有法向分量又有切向分量，电场并不垂直于导体表面，因 而导体表面不是等位面；而导体表面不是等位面；ab11、 说明说明(shumng)：第44页/共151页第四十五页，共151页。46媒质媒质2 2媒质媒质1 1

46、2122E1E)(12媒质媒质2 2媒质媒质1 12012Ene1E)0(1 如如21、且、且290，则，则10， 即电场线近似垂直于与良导体表面。即电场线近似垂直于与良导体表面。 此时此时(c sh)，良导体表面可近似地看作为，良导体表面可近似地看作为 等位面；等位面； 若媒质若媒质1为理想介质，即为理想介质，即10，则，则 J1=0，故，故J2n=0 且且 E2n=0，即导体中，即导体中 的电流和电场的电流和电场(din chng)与分界面平行。与分界面平行。第45页/共151页第四十六页，共151页。47恒定恒定(hngdng)电场与静电场的比拟电场与静电场的比拟 如果两种场，在一定条件

47、下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其如果两种场，在一定条件下，场方程有相同的形式，边界形状相同，边界条件等效，则其解也必有相同的形式，求解这两种场分布解也必有相同的形式，求解这两种场分布(fnb)必然是同一个数学问题。只需求出一种场的必然是同一个数学问题。只需求出一种场的解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。解，就可以用对应的物理量作替换而得到另一种场的解。这种求解场的方法称为比拟法。第46页/共151页第四十七页，共151页。48恒定电场恒定电场(din chng)(din chng)与静电场与静电场(din chng)(din c

48、hng)的比拟的比拟基本方程基本方程ED,EEJ0202nnttDDEE2121 nnttJJEE2121 静电场（静电场（ 区域）区域） 00d, 0dlESJCS0, 0EJ,Ed0,d0SCDSEl0,0DEnn221121 ,nn221121 ,本构关系本构关系位函数位函数边界条件边界条件恒定电场（电源外）恒定电场（电源外）对应物理量对应物理量静电场静电场EEDJqI恒定电场恒定电场GC第47页/共151页第四十八页，共151页。49 例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为例一个有两层介质的平行板电容器，其参数分别为1、1和和2、2，外加，外加(wiji)电压电压U。求介质面上的

49、自由电荷密度。求介质面上的自由电荷密度。 解：极板是理想导体解：极板是理想导体(dot)，为等位面，电流沿，为等位面，电流沿z方向。方向。1212nnJJJJJ 由由12121122,JJJJEE12121211221212()()ddddUUUE dE dJJU12nnSDD 由由121212,SSDJDJ 下下上上21122121212112()SDDJUdd 介介U1d2d11, 22, zo第48页/共151页第四十九页，共151页。50 例例 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径(bnjng)为为a，外导体半径，外导体半径(bnjng)为为c，介质

50、的分界面半径，介质的分界面半径(bnjng)为为b。两层介质的介电常数为。两层介质的介电常数为1和和2 、电导率为、电导率为 1和和2 。设内导体的电压为。设内导体的电压为U0 ，外导体接地。求：（，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度。）介质分界面上的自由电荷面密度。J1212I外导体外导体(dot)内导体内导体(dot)(dot)介质介质2 2介质介质1abc11、22、0U第49页/共151页第五十页，共151页。51 （1 1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为）设同轴电缆中单位长度的径向电流

51、为I,I,则由则由 可得电流密度可得电流密度Sd,JSI()2IJeac111()2JIEeab 介质介质(jizh)中的电场：中的电场：222()2JIEebc 解解 电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为电流由内导体流向外导体，在分界面上只有法向分量，所以电流密度成轴对称分布。可先假设电流为I，由求出电流密度由求出电流密度 的表达式，然后求出的表达式，然后求出 和和 ，再由，再由 确定出电流确定出电流 I。J012ddbcabUEE1E2E第50页/共151页第五十一页，共151页。5212021()ln()ln()UJeacb ac b

52、20121()ln()ln()UEeabb ac b 10221()ln()ln()UEebcb ac b 故两种介质中的电流密度和电场故两种介质中的电流密度和电场(din chng)强度分别为强度分别为120212ln()ln()UIb ac bps sss=+01212ddlnln22bcabIbIcUEEab由于由于(yuy)于是于是(ysh)得到得到第51页/共151页第五十二页，共151页。5312011121ln()ln()SaUeEab ac b 21022221ln()ln()ScUeEcb ac b 1211221221021()()ln()ln()SbeEeEUbb ac

53、b Sne D （2）由）由 可得，介质可得，介质1内表面的电荷面密度为内表面的电荷面密度为介质介质2外表面外表面(biomin)的电荷面密度为的电荷面密度为两种介质两种介质(jizh)分界面上的电荷面密度为分界面上的电荷面密度为J2112I第52页/共151页第五十三页，共151页。54 工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为工程上常在电容器两极板之间，同轴电缆的芯线与外壳之间，填充不导电的材料作电绝缘。这些绝缘材料的电导率远远小于金属材料的电导率，但毕竟不为(b wi)零，因而当在电极间加上电

54、压零，因而当在电极间加上电压U 时，必定会有微小的漏电流时，必定会有微小的漏电流 J 存在。存在。 漏电流与电压漏电流与电压(diny)(diny)之比为漏电导，即之比为漏电导，即UIG 其倒数称为绝缘其倒数称为绝缘(juyun)(juyun)电阻，即电阻，即IUGR1漏电导漏电导第53页/共151页第五十四页，共151页。55(1) 假定两电极间的电流为假定两电极间的电流为I；(2) 计算两电极间的电流密度计算两电极间的电流密度 矢量矢量J；(3) 由由J = E 得到得到 E ;(4) 由由 ，求出两导，求出两导 体间的电位差；体间的电位差；(5) 求比值求比值 ，即得出，即得出 所求电导

55、。所求电导。21dlEUUIG/ 计算计算(j sun)电导的方法一：电导的方法一： 计算计算(j sun)(j sun)电导的方法二：电导的方法二： (1) 假定两电极间的电位差为假定两电极间的电位差为U； (2) 计算两电极间的电位分布计算两电极间的电位分布 ； (3) 由由 得到得到E; (4) 由由 J = E 得到得到J; (5) 由由 ，求出两导体间，求出两导体间 电流；电流； (6) 求比值求比值 ，即得出所，即得出所 求电导。求电导。ESSJIdUIG/ 计算计算(j sun)电导的方法三：电导的方法三：静电比拟法：静电比拟法：CG第54页/共151页第五十五页，共151页。5

56、6 例例 求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径求同轴电缆的绝缘电阻。设内外的半径(bnjng)分别为分别为a、b，长度为，长度为l ，其间媒质的电导率为，其间媒质的电导率为、介电常数为、介电常数为。解：直接用恒定解：直接用恒定(hngdng)电场的计算方法电场的计算方法电导电导)/ln(2ablUIG绝缘电阻绝缘电阻ablGRln211baablIlIlEUln2d2dlba则则IlIJ2lIJE2设由内导体设由内导体(dot)流向外导体流向外导体(dot)的电流为的电流为I。第55页/共151页第五十六页，共151页。57012222000, 0U 方程方程(fngchng)通解为通解为21C

57、C 例例 在一块厚度在一块厚度h 的导电的导电(dodin)板上，板上， 由两个半径为由两个半径为r1和和r2的圆弧和夹角为的圆弧和夹角为 0的两半径割出的一段环形导电的两半径割出的一段环形导电(dodin)媒质，如图所示。计算沿媒质，如图所示。计算沿方向的两电极之间的电阻。设导电方向的两电极之间的电阻。设导电(dodin)媒质的电导率为媒质的电导率为。 解：解： 设在沿设在沿方向方向(fngxing)的两电极之间外加电压的两电极之间外加电压U0，则电流沿，则电流沿 方向方向(fngxing)流动，而且电流密度是随流动，而且电流密度是随变化的。但容易判定电位变化的。但容易判定电位 只是变量只是

58、变量 的函数，因此电位函数的函数，因此电位函数 满足一维拉普拉斯方程满足一维拉普拉斯方程代入边界条件代入边界条件可以得到可以得到10020/,CUCU 环形导电媒质块环形导电媒质块r1hr2 0J第56页/共151页第五十七页，共151页。58电流密度电流密度00UJEe 两电极两电极(dinj)之间的电流之间的电流21002001ddlnrSrUU hrIJSee hr故沿故沿方向方向(fngxing)(fngxing)的两电极之间的电阻为的两电极之间的电阻为0021( )ln(/ )URIhrr000UU所以所以(suy)(suy)00UEee 第57页/共151页第五十八页，共151页。

59、59恒定磁场恒定磁场(cchng)的基本方程和边界条件的基本方程和边界条件 恒定磁场恒定磁场(cchng)的矢量磁位和标量磁位的矢量磁位和标量磁位 电感电感 恒定磁场恒定磁场(cchng)的能量的能量 磁场磁场(cchng)力力第58页/共151页第五十九页，共151页。600HJB微分形式微分形式: :0dddSSCSBSJlH1. 基本基本(jbn)方程方程BH2. 边界条件边界条件本构关系本构关系(gun x)(gun x)：SnnJHHeBBe)(0)(2121SttnnJHHBB21210或或若分界若分界(fn ji)(fn ji)面上不存在面电流，即面上不存在面电流，即JSJS0

60、0，则，则积分形式积分形式: :0)(0)(2121HHeBBenn或或002121ttnnHHBB第59页/共151页第六十页，共151页。61 矢量矢量(shling)磁位的定义磁位的定义 磁矢位的任意性磁矢位的任意性 与电位一样，磁矢位也不是惟一确定与电位一样，磁矢位也不是惟一确定(qudng)的，它加上任意一个标量的，它加上任意一个标量 的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即的梯度以后，仍然表示同一个磁场，即由由AA 0BBA 即恒定磁场可以用一个即恒定磁场可以用一个(y )矢量函数的旋度来表示。矢量函数的旋度来表示。 磁矢位的任意性是因为只规定了它的旋度，没有规定其散度造成的。为了得到确