利用韦达定理求一元二次方程的根

1、利用韦达定理求一元二次方程的根一、关于韦达定理的性质1 ,韦达定理：假设一元二次方程ax2+ bx+ c=0的两根分别为X、X2，则有bX+ X2 二ac XX 二.a2推导：（法一）根据一元二次方程的求根公式=_b, b 4acx ±1-2a不妨假设XJ著X2 二2a不难得出X+ X2XiX2（法二）若一儿 次方程的两根分别为 a （x Xi） （ x X2） 0 （ aA 0）按照x的次数降幕排列，得X、X2,则方程可以写成以下形式（双根0bc._ax2-a ,X1X2-对比一元二次方程的一般式ax2 + bx+ c 0，得ba（Xi+ X2） ， c aXiXa ,3.推论：（

2、一）当二次项系数为1时,即一元二次方程满足x2+ px + q 。的形 式假设方程的两根分别为x、X2，则有X+ x2 p，XiX2- q.（二）已知一元二次方程两根分别为X、X2,则方程可以写成以下形式2X- （Xi+ x2） x+ XiX2- 0.4.实质：韦达定理告诉了我们一元二次方程的根与系数的关系.、利用韦达定理求一元二次方程的根例如，求一兀二次方程X- 2 2X-6- 0的根.很明显，根据我们所学习惯，首 选方法是十字相乘法（法一）门a "x/2,v 3 x/2x = 2 J 2x因式分解，得（X 3； 2） （x+ ： 2） 0，解得 5 Xi 3 2，X22当然，利用

3、十字相乘法很难凑数时，我们就会选用求根公式法（法二）a i，b22 c6b2- 4ac 8+ 24 32，X=,b士，4ao=乙± 2 2, 2a于是有 X= 3 2, X2二一2.结合以上两种方法，我们发现，十字相乘法计算速度快，但是凑数的过程十分 灵活，若每一个系数都是整数，且满足X2- （Xi+ x2） X+ X1X2=0形式的方程可 以很快算出来，但如果系数是分数、根式我们发现利用这种方法解方程是十分困难 的，而且这种方法并不是对一切一元二次方程都适用.而利用求根公式解一二次方 程时，虽然是一种万能的方法，但有时会给我们带来无比的计算量,那有什么方法既 可以减少计算量，使运算

4、变得简单快捷，同时又可以用来解一切的一元二次方程呢 接下来，我们看以下解法.（法三）已知方程X22 2X6二0,根据韦达定理有X1+ X2二2 2, X2二-6.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得x=2十 a, X2二 2- a,（满足条件 Xi+X2=2且（2+ a） （ 2 a）二一6, 羽）（满足条件 X1X2二于是有 2 a 二一6,贝 = 8, 6）X= 2+ 2 2 = 3 2, X2二：Xz= 2 一图笈 2上述解法中a取正取负并不影响计算的最终结果，为了方便，习惯上可以假定 a为正数.观察以上解法，我们可以发现，这种解法并不像十字相乘法需要有凑数的

5、灵感，也不像求根公式法会带来无比的计算量，反而还结合两者的优点，计算快捷 且万能通用.当然我们也可以看以下例子.2例1：解方程x 6X25=0,根据韦达定理有Xi+ X2=6, XiX2= - 25.在方曼有蟹耍芟f g必答会宜 （3+ a） （3 a）=25.在某一个实数a （假定为正数），使得（满足条件Xi + X2=6）（满足条件X1X2=-25）于是有9 a二又区则a二34,因此a= 34Xi= 3+ 34, X2=3- 34.例2：解方程X2+ 24X63=0,根据韦达定理 有又+ X2=-24, XiX2= - 63.在方程有解的情况下，必然会存在某一 个实数a （假定为正数），使

6、得X= 12+ a, X2X 12-a,且（满像像）X4 %=12-2匐 二63.于是有 144 a2= 63,贝 ua2= 207,（满足条件 XZ二 Xi=- 12+ .207, X2二则纭=,207.63）因此 a二.207例3：解方程X- 14X0,根据韦达定理有Xi+ X2=14, XiX2 =48.在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数 a（假定为正数），使得Xi = 7 + a, X2= 7 a, 且（7+ a） （7 a）= 48.22于是有 49 a = 48,贝 u a = 1, 二 Xi=7+1 = 8, X2= 7一 1 二 6.（满足条件X1+ X2=14）（满足条

7、件XiX2=48）因此a 二 1例 4：解方程 x+ 18x+ 40= 0,根据韦达定理有Xi+ X2=.18, X1X2=40在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a（假定为正数），使得X= 9 + a，X2= 9 a，（满足条件 X+ X2=-18）且 （ 9+ a） （ 9 a）= 40 （满足条件 XX2= 40）于是有 81 a2= 40，贝 ua2=41，因此 a= 41Xi二一9 +、J41，X2二一9一 41.通过以上4个例子，我们可以熟悉，若二次项系数为1时，利用韦达定理解一 元二次方程的流程,实际上当一元二次方程二次项系数不为1时，我们也可以离此 流程解一元二次方程.如例 5：解方程 2x2+ 9X5 = 0，95（法一）根据韦达定理有居+ X2= 2，X1X2二-2在方程有解的情况下，必然会存在某一个实数a （假定为正数），使得X1_994+ a , X2_4 a，9(满足条件Xi + X2=-9954+a) ( 4 a)= 2于是有18125则a 二_162，9 11 1 X2 二4+ 42， c 二一a2 121二16，9 1145 ,5（满足条件X1X2二一11因此a二匚一5.b2 4ac = 81