第4章Taylor定理

1、.蚁袁蒀莄罿袀腿薀袅袀节莃螁衿莄薈蚇羈肄莁薃羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒁蚅螄羄膀蒇蚀羄芃蚃薆羃莅蒆袄羂肄蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿蒁蒂羁肈膁芅袇肈芃薁螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膈莂袄膄芀薇螀膃莂莀蚆膂肂薅蚂膂芄蒈羀膁莇蚄袆膀葿蒇螂腿腿蚂蚈螆芁蒅薄袅莃蚀袃袄肃蒃蝿袃膅虿螅袂莇薁蚁袁蒀莄罿袀腿薀袅袀节莃螁衿莄薈蚇羈肄莁薃羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒁蚅螄羄膀蒇蚀羄芃蚃薆羃莅蒆袄羂肄蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿蒁蒂羁肈膁芅袇肈芃薁螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膈莂袄膄芀薇螀膃莂莀蚆膂肂薅蚂膂芄蒈羀膁莇蚄袆膀葿蒇螂腿腿蚂蚈螆芁蒅薄袅莃蚀袃袄肃蒃蝿袃膅虿螅袂莇薁蚁袁蒀莄罿袀腿薀袅袀节莃螁衿莄薈蚇羈肄莁薃羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒁蚅螄羄膀蒇蚀羄芃蚃薆羃莅

2、蒆袄羂肄蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿蒁蒂羁肈膁芅袇肈芃薁螃肇莆莃虿肆肅蕿薅肅膈莂袄膄芀薇螀膃莂莀蚆膂肂薅蚂膂芄蒈羀膁莇蚄袆膀葿蒇螂腿腿蚂蚈螆芁蒅薄袅莃蚀袃袄肃蒃蝿袃膅虿螅袂莇薁蚁袁蒀莄罿袀腿薀袅袀节莃螁衿莄薈蚇羈肄莁薃羇膆薆袂羆芈荿袈羅蒁蚅螄羄膀蒇蚀羄芃蚃薆羃莅蒆袄羂肄蚁螀肁膇蒄蚆肀艿虿薂聿蒁蒂羁肈膁芅袇 第4章 Taylor定理微积分这门课程主要由微分学、积分学、微分与积分的联系和级数这四个部分内容所组成，Taylor定理是微分学中的核心定理.§4.1 函数的微分定义4.1(一个极其重要的概念) 设是上的函数,.若存在常数使得 ,则称在处可微分,并称以为定义域、以为自变量的线性函数为在处

3、的微分,记作；若在中的每一点处都可微分,则称是上的可微函数,此时是上以为自变量的2元函数.命题1 函数在处可微当且仅当在处可导,此时.证: “仅当”.假定在处可微分,即存在常数使得 .这时, , 故,.“当”.假定在处可导,即.令,则.于是.这说明在处可微分,并且.微分的几何意义 设函数在处可导.记,将直角坐标系平移得到新坐标系.那么,在新坐标系下,“曲线”的图像在处的切线所确定的函数就是在处的微分.导数的记号 假定函数在处可导.由得到.故通常将记为或,记为或, ,记为或.注意,当时, 中的分子和分母都没有意义.同理,将记为,记为, ,记为.注记 今后将看到,只需定义函数的“1阶”微分就够了,

4、2阶或2阶以上的微分全部都是.命题2(微分的形式不变性) 若两个可微函数和能复合,则.这说明,不论是自变量还是中间变量,都有.微分用于近似计算 当很小时,.练习题4.1() 2,4(1,3,5),5(2,4).§4.2 带Peano余项的Taylor定理定义4.2 设函数在处阶可导.记,称其为在处的第个Taylor多项式( 称为的第个Maclaurin多项式).定理4.1(可微分的推广) 若函数在处阶可导,则存在唯一的次数不大于的多项式在处的第个Taylor多项式,使得 .称为Peano余项.证: 由LHospital法则,对应用数学归纳法,便得到,故 .若另有一个次数不大于的多项式

5、也满足,则 .注意到 (§3.3,例2),便知,因而 ,即.注意 带Peano余项的Taylor定理强调的是“在点附近,函数被多项式替代后所产生的近似误差”,因而能方便地用于研究函数的极值等局部性质.推论 若函数在处阶可导,则,总成立 .证: 在处阶可导,并且恰好是在处的第个Taylor多项式,故.定理4.2(复杂情形下极值的充分条件) 设函数在处阶可导,那么(1) 若是偶数,并且,则是的严格极大值；(2) 若是偶数,并且,则是的严格极小值；(3) 若是奇数,则不是的极值.证: 由于,故,使得当时,与符号相同.(1) ,；(2) ,；(3) ,.Taylor定理用于近似计算 当很小时

6、,.例(必须记住) ； ；.证：仅证和这两种情形.(1) 设,由定理4.1的推论便得到 .因为,故.比较系数后便知 .(2) 设,由定理4.1的推论便得到 .因为,故.比较系数后便知 .练习题4.2() 2,3.问题4.2() 1,3.§4.3 带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理定理4.3(Lagrange中值定理的推广) 设是以为左、右端点的区间,.若是上的函数,并且在上阶可导,则(或),必(或),使得；更进一步,(或)和,必(或),使得.称为Lagrange余项；称为Cauchy余项.证: 仅证和Cauchy余项的情形.在上连续,在上可导,并且.注意到在上

7、连续,在上不取零值,由Cauchy中值定理便知,使得,即,.注意 带Lagrange余项和Cauchy余项的Taylor定理强调的是“在整个定义区间上,函数被多项式替代后所产生的精确误差”,因而能方便地用于研究函数的单调性、凸性、函数值的计算等整体性质.推论 设是以为左、右端点的区间,.若是上的函数,并且在上阶可导,则(或)和,必(或),使得.证: 是上的函数,在上阶可导,恰好是在处的第个Taylor多项式,故由带Lagrange余项的Taylor定理知,必(或),使得 .注记 即使是上的函数,通常也不成立.例如,是上的函数,的Maclaurin多项式恒为0,但.例1 利用带Lagrange余

8、项的Taylor定理,容易解释函数在开区间上的凸性为什么能由得到.解: ,记,则有,.从而 ,.加起来便得到 =.例2(定理4.4) 若函数在上连续,在上2阶可导,则,必使得.证: 利用带Lagrange余项的Taylor定理,则有,.故 .注意到介于和之间,再由导函数的介值定理便知,使得.练习题4.3() 3(2,4,6),5,6.问题4.3() 1,2,3,4,7. 蒄虿羇腿薃螂蝿肅薂蒁羅羁薁薄螈荿薀螆肃芅蕿袈袆膁薈薈肁肇薈蚀袄莆薇螂肀节蚆袅袃膈蚅薄肈肄芁螇袁肀芁衿膆荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁芈螃羇肇芇袆螀莅莆薅羆芁莆蚈蝿膇莅袀羄膃莄薀袇聿莃蚂肂莈莂螄袅芄莁袇肁膀莀薆袃肆蒀蚈聿羂葿螁袂芀蒈蒀肇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅肈蒅袇羈莇蒄薇螁芃蒄虿羇腿薃螂蝿肅薂蒁羅羁薁薄螈荿薀螆肃芅蕿袈袆膁薈薈肁肇薈蚀袄莆薇螂肀节蚆袅袃膈蚅薄肈肄芁螇袁肀芁衿膆荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁芈螃羇肇芇袆螀莅莆薅羆芁莆蚈蝿膇莅袀羄膃莄薀袇聿莃蚂肂莈莂螄袅芄莁袇肁膀莀薆袃肆蒀蚈聿羂葿螁袂芀蒈蒀肇芆蒇蚃羀膂蒆螅膅肈蒅袇羈莇蒄薇螁芃蒄虿羇腿薃螂蝿肅薂蒁羅羁薁薄螈荿薀螆肃芅蕿袈袆膁薈薈肁肇薈蚀袄莆薇螂肀节蚆袅袃膈蚅薄肈肄芁螇袁肀芁衿膆荿芀蕿罿芅艿蚁膅膁