章末检测(一)2019(秋)数学必修第四册人教B版(新教材)改题型

1、章末检测（一）（时间：120分钟满分：150分）、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.在4ABC 中，AB=5, AC = 3,BC = 7,则/ BAC的大小为（）3兀CN冗D.3解析由余弦定理得cos/ BAC =AB2 + AC2 BC2 52+32 722AB AC2X5X3 一1.v0<ZBAC<7t, ./BAC = 2523答案 A2.2XABC中，A, B, C的对边分别是a, b, c,acos B+ bcos A 等于()A.2cos CB.2sin Ca+ bC.-2D.c解析 acos B+

2、bcos A= 2R(sin Acos B + sin Bcos A) =2Rsin(A+ B) = 2Rsin C = c.答案 D33 .在AABC中，sin A=4，a=10,则边长c的取值范围是(),15A.万，+00B.(10, +00)40C.(0, 10)D. 0, T3c a 404040解析snC=sn"A="3", - -c=ysin C.又 0<sin C<1, .0<c< .答案 D.冗Tt _ 一，一一，一一4 .在 AABC 中，acos 2 A = bcos 2B ,则 AABC 的形状是()A.等边三角形B.

3、等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形解析由题意可得asin A=bsin B,由正弦定理知a2=b2, ；a=b,.ABC为等腰三角形.答案 B5.已知在 ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a, b, c,且c2 b2=ab, Csin A=3,则snB的值为（）A.2B.1C.2D.3解析由余弦定理得c2-b2= a22abcos C= a2 ab,又 c2b2=ab, 所以 a2ab= ab,sinA a所以a = 2b,所以由正弦止理得S访B = b = 2.6.4ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b,c,乙a2+b2-c2若 ABC的面积为4则 C=()

4、冗A.2冗B.3冗C.4冗D.61斛析 因为 SaABC = 2absin C,a2+b2 c2所以41 二2absin C,即 a2+b2c2 = 2absin C.又由余弦定理，得 a2+ b2 c2= 2abcos C,故 2abcos C = 2absin C,即 cos C= sin C,所以在 ABC中，C=4.故选C.答案 C7.在 ABC 中,cos 2=夸,BC= 1, AC=5,则 AB=()A.4 2B. 30C. 29D.2 5解析因为 8s C=g,所以 8sC=2coS2C_1 = 2X ?一5.于是，在 ABC 中，由余弦定理得 AB2 = AC2+BC22ACX

5、BCXcos C = 52+12-2X5X1X 5=32,所以 AB=4也.故选 A.答案 A8.在 4ABC 中，AB=7, AC = 6, M 是 BC 的中点，AM = 4,贝 U BC 等于（）A. 21B. 106C. 69D. 154解析 设 BC=a，则 BM = MC =a.在 AABM 中，AB2 = BM2 + AM2 2BM AM cos/ AMB,即 72 = 1a2+42 2X2X 4 cos/ AMB.在AACM 中，AC2 = AM2+CM2 2AM CM cos/ AMC,22 1 2. a即 6 =4 +4a +2X4X 2 cos/ AMB.1111 1 +

6、 得：72 + 62=42+42 + 2a2, ；a= ypiOQ.答案 B二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）.9.已知 ABC的面积为2,且b=2, c=<3,则（）A.A=30°B.A=60°C.A=150°D.A=120°131_.33解析 .S= 2bc sin A=2, .2X2xOsin A=2,.sin A=,又 0<A< 180, . A=60° 或 120°.答案 BD10 .在 AB

7、C中，下列关系中一定成立的是（）A.a>bsin AB.a>bsin AC.a= bsin AD.bsin C = csin B解析由正弦定理记入=熹，得，=磊，b c又 0<sin B< 1, . . a>bsin A, B 正确；由 sin b sin c得 bsin C = csin B, D 正确.答案 BD11 .已知a, b, c分别是 ABC的内角A, B, C的对边，给出下列条件，能推出 ABC为等腰三角形的条件有()A.sin 2A= sin 2BB.sin A= sin BC.sin2 B= sin2 A+ sin2 CD.sin A= 2co

8、s Bsin C一 ,一，、一，、兀解析 A 中，由 sin 2A=sin 2B,得 2A=2B 或 2A+2B=兀，即 A=B 或 A+B= 故为等腰三角形或直角三角形；B中，由sin A=sin B,得A=B,故为等腰三角 形；C中，由sin2 B= sin2 A+sin2 C,得b2=a2 + c2,故为直角三角形；D中，由sin A=2cos Bsin C,可化为 sin(B+C)= 2cos Bsin C,即 sin(B C) = 0, .B = C, 故为等腰三角形.答案 BD12 .下列关于 ABC的结论中，正确的是()A.若a2>b2 + c2,则 ABC为钝角三角形B.

9、若a2+b2>c2,则 ABC为锐角三角形C.若 A ： B ： C= 1 ： 2 ： 3,贝U a ： b ： c= 1 ： 2 ： 3D.若 A>B,则 sin A>sin B解析 A中，由a2>b2 + c2,得cos A<0,故AABC为钝角三角形；B中，a2+b2>c2, 一 .一.一兀只能得C为锐角；C中，A： B ： C=1 ： 2 ： 3,又A+B+C=乃所以A=g, B =兀兀、一.一九 一 兀3, C = 2,所以由正弦止理得 a ： b ： c= sin A ： sin B ： sin C= sin - ： sin 3 ： sin 尹

10、1 ： 43 ： 2； D 中，在 ABC 中，A>B,所以 a>b,所以 sin A>sin B.答案 AD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13 .已知 ABC外接圆半径为2 cm, A=60°,则BC =cm.BC一解析 由一=2R=4,得 BC=4sin 60 =2V3(cm). sin A答案2 314 .在4ABC 中，若 b+c=2a, 3sin A=5sin B,则角 C =.3解析 由已知3sin A=5sin B,利用正弦止理可得 3a= 5b.又b+c=2a,故b=a,57a2 + b2c2i2c=5a.利用余弦定理可得 cos

11、 C=2ab = 2,又 CC（0,冗）.C = 37t.- 2答案司冗315.太湖中有一小岛，沿太湖有一条正南方向的公路，一辆汽车测得小岛在公路的 南偏西15°的方向上，汽车行驶1 km后，又测得小岛在南偏西75°的方向上，则 小岛离开公路的距离是 km.解析 如图所示，设汽车所在位置分别为 A, B,小岛所在位置为C,则 小/CAB = 15°, /CBA= 180 75°= 105°, /ACB= 180° 105° 15° =/。 #60 , AB=1 km.在 ABC 中，BC _ AB由 sin/CAB

12、 = sin/ACB1'6- '2得 BC= sinGQ- sin 15 = T(km).设C到直线AB的距离为d km,则 d= BC sin 75;6 2 :623Kt=6(km)即为小岛离开公路的距离16.AABC的三边之比为3 ： 4 ： 6,则最大角的余弦值为 ,较大锐角的角平分线分三角形的面积比是 .（本题第一空2分，第二空3分）解析 不妨设a = 3k, b=4k, c=6k, k>0,则最大角为C,且 cos C =(3k) 2+ (4k) 2 (6k) 22X3kX4k1124.因为cos C<0,故C为钝角，则B为较大锐角.设B的平分线交AC于D

13、,则一 八 1B 1BSzabd ： $ bcd= 2AB BD sin /：/BC BD sin 2 =AB : BC = 2 ： 1.11,、答案五2 ： 1（或1 ： 2）四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（ 10分）已知在 ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,且bsin A=J3 acos B.(1)求角B的大小；(2)若 b = 3, sin C = 2sin A,求 a, c 的长.解(1)bsin A=馅acos B,由正弦定理可得 sin Bsin A=，3sin Acos B. sin Aw0, . tan

14、 B=V3,八一-兀又 0<B< % . . B = 7.3(2) sin C = 2sin A,由正弦定理得 c= 2a,由余弦定理 b2= a2 + c2 2accos B,得 9= a + 4a 2a 2acos 3,解得a = 43(负值舍去)，c= 2a= 2/3.18.(12分)如图所示，ACD是等边三角形，4ABC是等腰直角三角形，/ ACB=90°, BD 交 AC 于 E, AB = 2.(1)求 cos/ CBE 的值；求AE.解 (1)由题意知 / BCD=90°+60°=150°, CB=AC=CD,所以/CBE=15

15、°,所_ 一。V6+V2以 cos/ CBE=cos(45 30 ) = -4(2)在4ABE中，AB = 2,由正弦定理得AEsin (45 -15 ) sin (90 +15 )2sin 30cos 15o 2x2V6w2419.(12分)甲船在A处，乙船在A的南偏东45°方向距A 9海里的B处，并以20海里/时的速度沿南偏西150方向行驶，若甲船以28小时能最快追上乙船?解 如图所示，设用t小时甲船能追上乙船，且在 C处相遇.在4ABC 中，AC = 28t, BC = 20t, AB=9,/ ABC = 180° 45° 15° = 1

16、20°.由余弦定理得 AC2 = AB2 + BC2 2AB BCcos/ ABC,即(28t)2=92+(20t)22X9X20tX 1 ,化简得 128t260t 27=0, .=31.一 3甲船用4小时能最快追上乙船20.(12分)在 ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c,且?f足a2-b2-c2 +/3bc= 0, 2bsin A=a, BC 边上中线 AM 的长为54.(1)求角A和角B的大小;(2)求4ABC的面积.解 (1)由 a2-b2-c2 + V3bc= 0,得 b2 + c2a2 = V3bc,1. b2+c2 a2 克一所以 cos A=o.

17、= o ,又 AC (0 冗2bc 2')所以a=6.由 2bsin A=a,得 2sin Bsin A= sin A,又 sin Aw0,所以 sin B = 2,又 BC 0,一一 九故 B= 6.（2）由得C=九一6一6=争，所以cos C=一；.设 AC= BC = x,得 AM2=x2 + x42x 2X -2 =(四)2, 解得x = 242（负值舍去）,一1,.3,故 &ABC = 222X2-2x2-=2.21.（12分）已知4ABC的角A, B, C所对的边分别是a, b, c,设向量m = （a, b）, n = (sin B, sin A), p=(b 2

18、, a 2).(1)若m/n,求证： ABC为等腰三角形；. . 九 ，、,_，一一一(2)若m，p,边长c=2, C=o,求 ABC的面积.3(1)证明 m / n,asin A=bsin B.a Ta= b Tb(2R 为 ABC 外接圆直径), 2R 2R；a2=b2,.a=b,.ABC 为等腰三角形.(2)解 由题意可知mp=0,即a(b 2)+b(a 2) = 0. .一 一 一 九. a+b = abXc= 2, C = q, 3故由余弦定理得 4= a2 + b2 ab = (a + b)2 3ab, .(ab)2-3ab-4=0, . ab= 4或一1(舍),_1_1_ .九 LSaABC/absin C="x 4X sin-=V3.223故 ABC的面积为43.22.（12分）如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛B与小岛A、小岛C相距都为5 n mile,与小岛D3相距为3mn mile.小岛A对小岛B与D的视角为钝角，且sin A=g.求小岛A与小岛D之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；(2)记小岛D对小岛B与C的视角为的小岛B对小岛C与D的视角为 机求sin(2 a +加勺值.-3 解(1)sin A=5,且角A为钝角, .cosA=-Jl-52=-5.在4ABD 中，由余弦定理得： AD2+AB2 2A