全等三角形性质和判定

1、全等三角形的性质和判定要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.要点二、对应顶点，对应边，对应角1.对应顶点，对应边，对应角定义两个全等三角形重合在一起，重合的顶点叫对应顶点，重合的边叫对应边， 重合的角叫对应角.要点诠释：在写两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应位置上， 这样容易 找出对应边、对应角.如下图，ABCtzDEF全等，记作AABCi DEF其中点 A和点D,点B和点E,点C和点F是对应顶点；AB和DE, BC和EF, AC和DF 是对应边；/ A和/D, /8和/匚/C和/F是对应角.全等三角形的对应边相等; 全等三角形的对应角相等要点四、全等三角形

2、的判定（SSS SAS ASA AAS HL）全等三角形判定一（SSS SAS全等三角形判定1 “边边边”三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或" SS6）.要点诠释： 如图，如果 A'B'=AB, A'C'=AC, B'C' = BC,则 AB84 A' B'C'.要点二、全等三角形判定2 “边角边”1 .全等三角形判定2 “边角边”两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或 “SA6）.要点诠释：如图，如果 AB = A'B', /A= /A',

3、AC = A'C',则 ABC A'B'C'.注意：这里的角，指的是两组对应边的夹角.2 .有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等 .如图，ZXABC与4ABD 中，AB= AB, AC= AD / B= / B,但 ABC与 ABD 不完全重合，故不全等，也就是有两边和其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等.19 / 17【典型例题】类型一、全等三角形的判定1 “边边边” 1、已知：如图， RPCfr, RF RQ M为PQ的中点. 求证：RMff分/ PRQ证明：: M为PQ的中点（已知），. P隹 QM在 ARPMIf口 RQW

4、,产RP = RQ（已知），PM =QM,RM = RM （公共边）RP阵RQM（ SSS ./ PR阵/ QRM（全等三角形对应角相等）.即 RMFF分/ PRQ.举一反三：【变式】已知：如图， A又BC AO BD.试证明：/ CA&/ DBC.类型二、D全等三角形的判定2 “边角边”已知：如图，AB= AR AOAE /1 = /2.证明： .一/1 = /2求证：BO DE.Z 1 + Z CA& Z2+Z CAD 即 / BAG= / DAE 在ABCffi AADE 中AB = ADI BAC = DAEAC =AE .ABC AADE （SAS BO DE （全等

5、三角形对应边相等）3、如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B D三点共线，AB= CB EB= DB /ABC= / EB氏90° ）,连接 AE CD 试确定 AE与 CD 的位置与数量关系，并证明你的结论.C证明：延长AE交CDT F,: ABCffi DBE是等腰直角三角形.AB= BC BD= BE在ABEffi zCBD 中AB = BCI.ABE = . CBD =90BE = BD. .AB草"BD （SAS .AE= CD / 1 = / 2又/ 1 + /3 = 90° , / 3=/4（对顶角相等）. /2+/4 = 90°

6、; ,即/AFC= 900.AE! CD【变式】已知：如图，PCLAC PBJ.AB, AP平分/ BAC且AB= AC点Q在PA求证：QC= QB类型三、04不用度量，就知道/D全等三角形判定的实际应用DE= DF, Ek FH,“三月三，放风筝”.下图是小明制作的风筝，他根据DE用/DFH请你用所学的知识证明.【答案与解析】证明：在 DEHffi DFH中,fDE = DF IEH = FHDH =DH. .DE庠DFH(SSS) ./ DEH= /DFH一、选择题1. ABO A'B'C'中，若 AB= A'B', BO B'C',

7、 AC= A'C'.则()A. AAB(C A'C'B'B.AAB(C1 A'B'C'C. AAB(CC'A'B'D.AAB(CC'B'A'2 .如图，已知AB= CD AD= BC则下列结论中错误的是()A.AB / DC B. /B= /D C./A= /C D.AB = BC3 .下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等6 .如图，已知AB± BD于B, EDL B

8、D于D, AB= CD BO ED 以下结论不正确的是（）A.EC ±AC B.EC =AC C.ED +AB = DB D.DC =CB二、填空题9 .如图，在 ABCffi4EFD中，AD= FC, AB= FE,当添加条件时，就可得 4AB登EFD（SSSAE10 .如图，AO AD C及 DB /2=30° , / 3=26° ,则 / CBE=A12 .已知，如图，AB= CD AC= BD 则AAB登, AAD(C三、解答题13 .已知：如图，四边形 ABCDK 对角线 AC BD相交于O, / ADC= /BCD AD =BC求证：C氏DO14 .已

9、知：如图，AB/ CD AB= CD 求证：AD/ BC分析：要证AD/ BC只要证/ : 又需证*.证明：v AB / CD (),在4和中，=(),=(), =(),A A ()/= / ( ).15 .如图，已知 AB= DC AO DB, BCE求证：AE= DE.全等三角形判定3 “角边角”两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或 "ASA）.要点诠释：如图，如果/ A= / A' , AB= A'B' , / B= / B',则 AB84 A'B'C'.要点二、全等三角形判定4 “角角边”1

10、.全等三角形判定4 “角角边”两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或" AAS）2 .三个角对应相等的两个三角形不一定全等.如图，在ABCft ADE中，如果 DE/ BC 那么/ ADE= / B, / AE氏 / C, 又/A= /A,但ABCS ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不 一定全等.BC要点三、判定方法的选择1 .选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表:已知条件可选择的判定方法一边一角对应相等SAS AAS ASA两角对应相等ASA AAS两边对应相等SAS SSS类型一、全等三角形的判定3 “角边角”AD=

11、 CB, /D= /B.C1、已知：如图，E, F在AC上，AD/ CB目证明：v AD/ CBZ A= / C在 AAD* 4CBE 中.A ="IAD =CBD =/B. .AD/ACBE (ASA .AF =CE , AF+ EF= C曰 EF故得：ACF举一反三：【变式】如图，AB/ CD AF/ DE, BE= CF.求证AB= CD.类型二、全等三角形的判定4 “角角边”B, DE= CB2、已知：如图，AB±AE ADLAC / E=求证：AD= AC证明：v AB，AE, ACL AC, /CA氏 /BA巳 900丁 / CA济 / DA氏 / BA曰 /

12、DAB,即 / BA(C= E EAD 在 BACK EAD中BAC = EAD I 2B =/ECB=DE. .BA登 EAD (AA5AC =AD举一反三：【变式】如图，AD是4ABC的中线，过C、B分别作AD及AD的延长线的垂线CR BE.求证：BE= CF.【答案】证明：:AD为4ABC的中线 .BA CD. BE1 AR CF±AR BE氏 / CF氏 90° ,在BEDffi ACFD 中BED = CFDBDE =，CDF (对顶角相等)BD =CD .BED ACFD (AAS BE= CFC3、已知：如图，AC与BD交于O点，AB/ DC AB= DC(1

13、)求证：AC与BD互相平分；(2)若过O点作直线l ,分别交AB DC于E、F两点，求证：O巳OF.:证明：v AB/ DC / A = / C在ABOW acdo 2a =2c NAOB= / COD （对顶角相等）AB=CD .ABW ACDO （AAS AO=CO , BO=DO在AEOffi ACFOtj/A = /CAO=CO/AOE = /COF （对顶角相等） .AEO ACFO （ASA .O9 OF.一、选择题1 .能确定 AB登DEF勺条件是 （）A. AB= DE BO EF, / A= /EB. AB= DE BO EF, /O /EC. /A= / E, AB= EF

14、, / B= /DD. /A= / D, AB= DE / B= /EABC2 .如图，已知 ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形中，和4C.只有乙A,甲和乙B.乙和丙D.只有丙3 .ADbABC勺角平分线，作DHAB于E,DF，AC于F,下列结论错误的是()A. DE= DFB. AE= AFC. BD= CDD. / AD氏 / ADF4. 如图，已知 M氏ND /MBAf / NDC下列条件不能判定 AB阵 CDN勺是 ( )A. / Mh /NB. AB= CDC. AMh CND. AM/ CN6 .如图，/ 1 = /2, /3=/4,下面结论中错误的是（A . AAD(C

15、ABCDC. AAB(ACDOB. AABABACD. AAOD3ABOC二、填空题7 . 如图，/1 = /2 , 要使AABEW AACE, 还需添加一个条件是.（填上你认为适当的一个条件即可）.8 .在ABCSA'B'C'中，/A= 44° , / B= 67° ,/C' = 69° ,/B'=44° , 且AO B'C',则这两个三角形 全等.(填“一定”或“不一定”)9 .已知，如图，AB/ CD AF/ DE, AF= DE 且 BE= 2, BO 10,贝U EF=.11 .如图，已知

16、：/1 =/2 , /3 =/4 ,要证 BD =CD,需先证AAEB 白AEC ,根据是 ,再证 ABDE叁匕,根据 是.12 .已知：如图，/ B= /DEF AB= DE 要说明 ABC DEF(1)若以“ASA为依据，还缺条件 (2)若以“AAS为依据，还缺条件 (3)若以“SA6为依据，还缺条件 三、解答题13 .阅读下题及一位同学的解答过程：如图，AB和CM交于点O,且OA= OB/A= /C.那么AODWCOE&等吗？若全等，试写出证明过程；若不全等， 请说明理由.答：zAO陛ACOB证明：在AODffi COBKA= C(已知)，/OA =OB(已知)，/AOD =2C

17、OB (对顶角相等)，耳D AAOD ACOB (ASA，问：这位同学的回答及证明过程正确吗？为什么？14 .已知如图，E、F在BD上，且AB= CD BF= DE AE= CF,求证：AC与BD互 相平分.且AE15 .已知：如图,AB/ CD, OA = OD, BC过。点，点E、F在直线AODh, =DF.求证：EB/ CF.要点一、判定直角三角形全等的一般方法由三角形全等的条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等， 或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了 .这里用到的是“AAS, "ASA 或“SA6判定定理.要点二、判定直角三角形全等的特殊方法一一斜边，直

18、角边定理在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 （可以简写成“斜边、直角边”或“HL”）.这个判定方法是直角三角形所独有的， 一般三角形不具备.【典型例题】类型一、直角三角形全等的判定一一“ HL' 1、已知：如图，AB± BD, CDL BD, AD= BC求证：（1） AB= CD AD/ BC.证明：（1） AB，BD CDLBD /AB乐 / CD氏 90°在 RtAABD 和 RtACDBfr,AD= BCBD = DB,RtAABtD RtzCDB(HD. AB= CD (全等三角形对应边相等)(2)由 / AD氏 ZCBDA

19、D/ BC .举一反三：【变式】已知：如图， A已AB, BCLAB, AAB, ED= AC 求证：EDL ACECz、判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“X”，全等的注明理由：(1) 一个锐角和这个角的对边对应相等；()(2) 一个锐角和斜边对应相等；()(3) 两直角边对应相等；()(4) 一条直角边和斜边对应相等.()举一反三：【变式】下列说法中，正确的画；错误的画“x”，并举出反例画出图形.(1) 一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.()(2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.()(3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.()

20、3、已知：如图，AO BD ADL AC BC±BD 求证：AD= BC证明：连接DC,. ADL AC BC1 BD ./DAC= / CB氏 90°在 RtAADCCf RtzXBCD中，DC -CDAC= BD,RtAADC RtABCD （HD. AD= BC .（全等三角形对应边相等） 举一反三：【变式】已知，如图，AC. BD相交于O, AO BD /C= / D= 90 求证：。谖OD.C4、如图，将等腰直角三角形 ABC勺直角顶点置于直线l上，且过A, B两点 分别作直线l的垂线，垂足分别为 D, E,请你在图中找出一对全等三角 形，并写出证明它们全等的过程.一、选择题1 .下列说法正确的是 （）