2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文

1、2013年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学文一、填空题(本大题共有14题，满分56分)1.(4分)不等式0的解为 .解析：原不等式化为或，解得：0x，答案：0x2.(4分)在等差数列an中，若a1+a2+a3+a4=30，则a2+a3= .解析：因为数列an是等差数列，根据等差数列的性质有：a1+a4=a2+a3，由a1+a2+a3+a4=30，所以，2(a2+a3)=30，则a2+a3=15.答案：15.3.(4分)设mR，m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m= .解析：复数z=(m2+m-2)+(m-1)i为纯虚数，m2+m-2=0，m2-10，解得m=-

2、2，答案：-2.4.(4分)已知，则y= .解析：由已知，所以x-2=0，x-y=1所以x=2，y=1.答案：1.5.(4分)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a2+ab+b2-c2=0，则角C的大小是 .解析：a2+ab+b2-c2=0，即a2+b2-c2=-ab，cosC=-，C为三角形的内角，C=.答案：6.(4分)某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的40%，在一次考试中，男，女平均分数分别为75、80，则这次考试该年级学生平均分数为 .解析：设该班男生有x人，女生有y人，这次考试该年级学生平均分数为a.根据题意可知：75x+80y=(x+y)×a，且=

3、40%.所以a=78，则这次考试该年级学生平均分数为 78.答案：78.7.(4分)设常数aR，若的二项展开式中x7项的系数为-10，则a= .解析：的展开式的通项为Tr+1=C5rx10-2r()r=C5rx10-3rar，令10-3r=7得r=1，x7的系数是aC51，x7的系数是-10，aC51=-10，解得a=-2.答案：-2.8.(4分)方程的实数解为 .解析：令t=3x(t0)则原方程可化为：(t-1)2=9(t0)t-1=3，t=4，即x=log34可满足条件即方程的实数解为 log34.答案：log34.9.(4分)若cosxcosy+sinxsiny=，则cos(2x-2y)

4、= .解析：cosxcosy+sinxsiny=cos(x-y)=，cos(2x-2y)=cos2(x-y)=2cos2(x-y)-1=-.答案：-10.(4分)已知圆柱的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则= .解析：如图，过A作与BC平行的母线AD，连接OD，则OAD为直线OA与BC所成的角，大小为.在直角三角形ODA中，因为，所以.则.答案：11.(4分)盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7的七个球，从中任意抽取两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示)解析：从7个球中

5、任取2个球共有=21种，所取两球编号之积为偶数包括均为偶数、一奇一偶两种情况，共有=15种取法，所以两球编号之积为偶数的概率为：=.答案：.12.(4分)设AB是椭圆的长轴，点C在上，且CBA=，若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .解析：如图，设椭圆的标准方程为，由题意知，2a=4，a=2.CBA=，BC=，点C的坐标为C(-1，1)，因点C在椭圆上，b2=，c2=a2-b2=4-=，c=，则的两个焦点之间的距离为 .答案：.13.(4分)设常数a0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为 .解析：常数a0，若9x+a+1对一切正实数x成立，故(9x+)mina+1，9x+6

6、a又9x+6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故6aa+1，解得a答案：，+)14.(4分)已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l1，2，3，且ij，kl，则的最小值是 .解析：不妨记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为，以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，.如图建立坐标系.(1)当i=1，j=2，k=1，l=2时，则=(1，0)+(1，1)·(-1，0)+(-1，-1)=-5；(2)当i=1，j=2，k=1，l=3时，则=(1，0)+(1，1)·(-1，0)+(0，-1)=

7、-3；(3)当i=1，j=2，k=2，l=3时，则=(1，0)+(1，1)·(-1，-1)+(0，-1)=-4；(4)当i=1，j=3，k=1，l=2时，则=(1，0)+(0，1)·(-1，0)+(-1，-1)=-3；同样地，当i，j，k，l取其它值时，=-5，-4，或-3.则的最小值是-5.答案：-5.二、选择题(本大题共有4题，满分20分)15.(5分)函数f(x)=x2-1(x0)的反函数为f-1(x)，则f-1(2)的值是()A.B.C.1+D.1-解析：由题意令2=x2-1(x0)，解得x=，所以f-1(2)=.答案：A.16.(5分)设常数aR，集合A=x|(x

8、-1)(x-a)0，B=x|xa-1，若AB=R，则a的取值范围为()A.(-，2)B.(-，2C.(2，+)D.2，+)解析：当a1时，A=(-，1a，+)，B=a-1，+)，若AB=R，则a-11，1a2；当a=1时，易得A=R，此时AB=R；当a1时，A=(-，a1，+)，B=a-1，+)，若AB=R，则a-1a，显然成立a1；综上，a的取值范围是(-，2.答案：B.17.(5分)钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的()A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件解析：若pq为真命题，则命题p是命题q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：

9、此货是好货，结论是此货不便宜，由条件结论.故“好货”是“不便宜”的充分条件.答案：A18.(5分)记椭圆围成的区域(含边界)为n(n=1，2，)，当点(x，y)分别在1，2，上时，x+y的最大值分别是M1，M2，则Mn=()A.0B.C.2D.2解析：把椭圆得，椭圆的参数方程为：(为参数)，x+y=2cos+sin，(x+y)max=.Mn=2.答案：D.三、解答题(本大题共有5题，满分74分)19.(12分)如图，正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，求该三棱锥的体积及表面积.解析：根据题意画出图形，结合正三棱锥O-ABC的底面边长为2，高为1，由此入手，能够求出此三棱锥的体积及表面积.

10、答案：O-ABC是正三棱锥，其底面三角形ABC是边长为2的正三角形，其面积为，该三棱锥的体积=；设O是正三角形ABC的中心，则OO平面ABC，延长AO交BC于D.则AD=，OD=，又OO=1，三棱锥的斜高OD=，三棱锥的侧面积为×=2，该三棱锥的表面积为.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1x10)，每一小时可获得的利润是100(5x+1-)元.(1)求证：生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+)元；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润.解析：(1)由题意可得生产a千克该产品所用的时间是小

11、时，由于每一小时可获得的利润是100(5x+1-)元，即可得到生产a千克该产品所获得的利润；(2)利用(1)的结论可得生产1千克所获得的利润为90000(5+)，1x10.进而得到生产900千克该产品获得的利润，利用二次函数的单调性即可得出.答案：(1)生产a千克该产品所用的时间是小时，每一小时可获得的利润是100(5x+1-)元，获得的利润为100(5x+1-)×元.因此生产a千克该产品所获得的利润为100a(5+)元.(2)生产900千克该产品获得的利润为90000(5+)，1x10.设f(x)=，1x10.则f(x)=，当且仅当x=6取得最大值.故获得最大利润为=457500元

12、.因此甲厂应以6千克/小时的速度生产，可获得最大利润457500元.21.(14分)已知函数f(x)=2sin(x)，其中常数0(1)令=1，判断函数F(x)=f(x)+f(x+)的奇偶性，并说明理由；(2)令=2，将函数y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象，对任意aR，求y=g(x)在区间a，a+10上零点个数的所有可能值.解析：(1)特值法：=1时，写出f(x)、F(x)，求出F()、F(-)，结合函数奇偶性的定义可作出正确判断；(2)根据图象平移变换求出g(x)，令g(x)=0可得g(x)可能的零点，而a，a+10恰含10个周期，分a是零点，a

13、不是零点两种情况讨论，结合图象可得g(x)在a，a+10上零点个数的所有可能值；答案：(1)f(x)=2sinx，F(x)=f(x)+f(x+)=2sinx+2sin(x+)=2(sinx+cosx)，F()=2，F(-)=0，F(-)F()，F(-)-F()，所以，F(x)既不是奇函数，也不是偶函数.(2)f(x)=2sin2x，将y=f(x)的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位后得到y=2sin2(x+)+1的图象，所以g(x)=2sin2(x+)+1.令g(x)=0，得x=k+或x=k+(kz)，因为a，a+10恰含10个周期，所以，当a是零点时，在a，a+10上零点个数21，当a不

14、是零点时，a+k(kz)也都不是零点，区间a+k，a+(k+1)上恰有两个零点，故在a，a+10上有20个零点.综上，y=g(x)在a，a+10上零点个数的所有可能值为21或20.22.(16分)已知函数f(x)=2-|x|，无穷数列an满足an+1=f(an)，nN*(1)若a1=0，求a2，a3，a4；(2)若a10，且a1，a2，a3成等比数列，求a1的值(3)是否存在a1，使得a1，a2，an，成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由.解析：(1)由题意代入式子计算即可；(2)把a2，a3表示为a1的式子，通过对a1的范围进行讨论去掉绝对值符号，根据a1，a2，a3成

15、等比数列可得关于a1的方程，解出即可；(3)假设这样的等差数列存在，则a1，a2，a3成等差数列，即2a2=a1+a3，亦即2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*)，分情况当a12时当0a12时当a10时讨论，由(*)式可求得a1进行判断；当a10时，由公差d2可得矛盾；答案：(1)由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；(2)a2=2-|a1|=2-a1，a3=2-|a2|=2-|2-a1|，当0a12时，a3=2-(2-a1)=a1，所以，得a1=1；当a12时，a3=2-(a1-2)=4-a1，所以，得(舍去)或.综合得a1=1或.(3)假设这样的等差数列存在，那么a2=2-|

16、a1|，a3=2-|2-|a1|，由2a2=a1+a3得2-a1+|2-|a1|=2|a1|(*)，以下分情况讨论：当a12时，由(*)得a1=0，与a12矛盾；当0a12时，由(*)得a1=1，从而an=1(n=1，2，)，所以an是一个等差数列；当a10时，则公差d=a2-a1=(a1+2)-a1=20，因此存在m2使得am=a1+2(m-1)2，此时d=am+1-am=2-|am|-am0，矛盾.综合可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，an，成等差数列.23.(18分)如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P

17、为“C1-C2型点”.(1)在正确证明C1的左焦点是“C1-C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)；(2)设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|1，进而证明原点不是“C1-C2型点”；(3)求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1-C2型点”解析：(1)由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为()，当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1-C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与(0，1)连线的斜率；(2)由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同

18、时与C1和C2有公共点；(3)由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=-x±1之间，进而说明当|k|1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|1矛盾.从而证明了结论.答案：(1)C1的左焦点为()，写出的直线方程可以是以下形式：或，其中.(2)证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得.若原点是“C1-C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点.考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx(|k|1).显然直线x=0与C1无公共点.如果直线为y=kx(|k|1)，则由方程组，得，矛盾.所以直线y=kx(|k|1)与C1也无公共点.因此原点不是“C1-C2型点”.(3)证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直