2017年中考数学专题训练压轴题含详解

1、中考数学压轴题1.如图1,已知抛物线经过坐标原点。和x轴上另一点E,顶点M的坐标为(2,4);矩形ABCM顶点 A与点O重合，AR AB分别在x轴、y轴上，且 AD=2, AB=3.(1)求该抛物线的函数关系式；(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图 1所示的位置沿x轴的正方向匀速 平行移动，同时一动点 P也以相同的速度 从点A出发向B匀速移动，设它们运动 的时间为t秒(0WtW3),直线AB与该抛物线的交点为 N (如图2所示). 当t= 5时，判断点P是否在直线ME±,并说明理由；2设以P、N C D为顶点的多边形面积为 S,试问S是否存在最大值？若存在， 求出这个最大

2、值；若不存在，请说明理由., 一2 .解：(1) y = x +4x(2)点P不在直线ME±依题意可知：P(t,t),N (t, -t2 +4t)当0vt<3时，以P、N C D为顶点的多边形是四边形 PNCD依题意可得:S =S；PCD ' SPNC= -CD OD+-PN BC = - 3 2+L-12 4t-1 2= -12 3t 32222二-2)2 .214抛物线的开口方向：向下，当t = 3 ,且0vt <3 <3时，S2当t =3或0时，点P、N都重合，此时以P、Z21'最大=一4C、D为顶点的多边形是三角形依题意可得,-1 -1 C

3、CS=2S矩形abcd=3 2 3=3综上所述，以P、N C D为顶点的多边形面积S存在最大值义.42.已知二次函数 y =ax2 +bx+c 的图象经过点 A(3 , 0), B(2 , -3) , C(0 , -3).(1)求此函数的解析式及图象的对称轴；(2)点P从B点出发以每秒0.1个单位的速度沿线段 BC向C点运动，点Q从O点出发以相同的速度沿线段 OAn A点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动.设 运动时间为t秒.当t为何值时，四边形 ABP的等腰梯形；设PQ与对称轴的交点为 M过MEx轴的平行线交 AB于点N,设四边形ANPQ1 面积为S,求面积S关于时间t的函数

4、解析式，并指出 t的取值范围；当t为何值时，S 有最大值或最小值.解：(1) 二次函数 y =ax2+bx+c 的图象经过点 C(0 , -3) ,c =-3 .将点 A(3 , 0) , B(2 , -3)代入 y = ax2 + bx + c 得解得：a=1b=-2 . . . y = x2 -2x -3 .；0 =9a +3b-3, 3=4a +2b -3.配方得：y = (x1)2 4,所以对称轴为x=l.(2)由题意可知：BP= OQ=0.1 t .点B,点C的纵坐标相等，BC OA过点B,点P作BDL OA PH OA垂足分别为 D, E.要使四边形ABPg等腰梯形，只需 PGAB

5、即 QEAD=1.又 QE=OE- OQ(2-0.1 t )-0.1 t=2-0.2 t,，2 -0.2 t =1.解得t=5.即t=5秒时，四边形 ABPN等腰梯形.设对称轴与BC x轴的交点分别为F, G对称轴x=1是线段BC的垂直平分线，BF=CF=OG=1.又 BP=OQ PF=QG 又PMFZQMG - -A MF阵 MGQMf=MG，点 M为 FG的中点，S= S四边形ABPQ -S作PN ,19二S四边形 ABFG - SPN 由 S四边形 ABFG 二(BF AG ) FG =二22113- 93 .SPN = BP FG，S=t .又 BG2, OA=3,B 22402 40

6、点P运动到点C时停止运动，需要 20秒.0<t<20.当t=20秒时，面积S有最小值3.3.如图，P为正方形 ABCD勺对称中心，A (0, 3), B (1, 0),直线 OP交AB于N, DC于R从。出M点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点发沿OM方向以J2个单位每秒速度运动，运动时间为 to求：(1) C的坐标为;(2)当t为何值时， ANO与DMRf似？(3) 4HCR面积S与t的函数关系式；并求以A、B、C R为顶点的四边形是梯形时t的值及S的最大值。解：(1) C (4, 1);(2)当/ MDR 45°时，t = 2,点H (

7、2, 0)当/DRM= 45° 时，t=3,点H(3, 0)(3) S = - t 2 + 2 t (0vtW4)2;(1 分)S = t 2 2 t (t>4)2当 CR/AB 时，t =137,39s= 32当 AR / B C 时，t =992，S= 8当 BR/AC 时，t =13,11184.如图11,在平面直角坐标系中， 二次函数y =x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3, 0),与y轴交于C (0,-3)点，点P是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式./(2)连结PO PC，并把 POC& C

8、OB折，得到四边形 POPC,那么是否存在点 P,使/四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由.(3)当点P运动到什么位置时， 四边形 ABPC勺面积最大并求出此时 P点的坐标和四边 形ABPC勺最大面积.“33b+c = 0 b = 2解：(1)将R C两点的坐标代入得解得：c = 一3c = 3所以二次函数的表达式为：y = x2 - 2x -3(2)存在点P,使四边形POPC为菱形.设P点坐标为(x, x2 -2x-3),PP/交CO于E,若四边形POPC是菱形，则有 PC= PO连结 PP/ 则 PE!COT E,OE=ECjy =_3 .2 x2 -

9、2x -3=_322 ,102-10人解得x1 = 2 2, x2 = 2 2(不合题意，舍去),2 -10q.P点的坐标为(0, _3)22x2 - 2x - 3),(3)过点P作y轴的平行线与 BC交于点 Q与O皎于点F,设P (x,易得，直线BC的解析式为y=x3 则Q点的坐标为(x, x3)111S四边形 ABPC二S ABCS BPQ S cpq = ABOC QPOEQPEB：2221124 3(-x2 3x) 3222_ 3(3 i75一一一x I + 2 <2J8,3当*=时，四边形 ABPC勺面积最大2此时P点的坐标为-15 四边形ABPC勺2, 4面积的最大值为75

10、.85.如图，直线 y = - x-1与抛物线y=ax2+bx-4都经过点 A(-1,0) 、B(3, -4).(1)求抛物线的解析式；(2)动点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E,求线段PE长度的最大值；(3)当线段PE的长度取得最大值时，在抛物线上是否存在点Q,使APOQ是以PC直角边的直角三角形？若存在，请求出 Q点的坐标；若不存在.请说明理由.解：(1)由题知a 13 M,解得a=1, b= -3,9a 43b 4= Y，抛物线解析式为 y=x2-3x-4(2)设点 P 坐标(m,-m-1),则 E 点坐标(m, m 2-3m-4) .线段 PE 的长度为：-m-1-

11、(m 2-3m-4)= -m 2+2m+3 = -(m-1) 2+4由二次函数性质知当m=1时，函数有最大值 4,所以线段PE长度的最大值为4。(3)由(2)知 P(1, -2)过P作PC的垂线与x轴交于F,与抛物线交于 Q,设AC与y轴交于 G则G(0,-1) , OG=1又可知A(-1,0) 则OA=1,.OAG是等腰直角三角形，/ OAG=45o.PAF是等腰直角三角形，由对称性知F(3, 0)设直线PF的解析式为y=k1x+b1,则，3k1 b1 0 ,解之得 k1=1, b 1= -3，直线 PF为 y=x-3k1 +d =-2y =x 3在r/曰 x1 =2 +而 x2 =2 75

12、pq e2川十'I寸y x _3x M y1 =45 -1 、V Qi(2+ .5,.5-1) Q 2(2- .5,-过点C作PC的垂线与x轴交于J y2 = _、. 5 115-1)H,与抛物线交点为 Q由/HAC=45,知AACH是等腰直角三角形，由对称性知 H坐标为(7, 0),设直线CH的解析式为y=k2X+b2,则2 r222=3k2 +b2J解方程组Xi =1 x2 =3 y1 =-6y2 =-4二0 ,解之得k2=1, b 2= -7，直线CH的解析式为y=x-7 -4y =x -7 12。，y =x -3x 4当Q(3,-4)时，Q与C重合，APQC不存在，所以Q点坐标

13、为(1,-6)综上所述在抛物线上存在点Q(2+、；5,V5-1)、Q2(2-V5, -J5-1)、Q(1,-6)使得APCQ是以PC为直角边的直角三角形。6.如图，O O的半径为1,点P是。上一点，弦 AB垂直平分线段 OP点D是Ab上任 一点(与端点 A、B不重合)，DaAB于点E,以点D为圆心、DE长为半彳5作。D,分 别过点A B作。D的切线，两条切线相交于点C.(1)求弦AB的长；(2)判断/ AC盟否为定值，若是，求出/ ACB勺大小；否则，请说明理由；(3)记 ABC勺面积为S,若一S = 4点，求 ABC勺周长.DE解：(1)连接OA取OP与AB的交点为F,则有OA= 1. .弦

14、 AB直平分线段 OP OF= 1 OP= - , AF= BF.22在 RtAOAF4, , AF:= dOA2 OF 2 =，1 _J2 =号，A5 2AQ 邪.(2) / AC幅定值.理由：由(1)易知，/ AOB= 120° ,因为点D为ABC勺内心，所以，连结 AD BD则/ CAB= 2/ DAE / CBA= 2/ DBA1因为/ DAEF / DBA= 1 Z AOB= 60 ,所以/ CABF / CBA= 120 ,所以/ ACB= 60 ; 2(3)记 ABC勺周长为l ,取AC BC与。D的切点分别为 G H,连接DG DC DH 则有 DG= DH= DE

15、DGL AC, DHL BCS = S ABD ' S ACD ' S BCD=1 AB?DE+ 1 BCD俳 1AGDG= 1 (AB+ BO AC) ? DE= 1 l ?DE 22222S _；lDE_- 2=4。3, 2 2=45y3, . l = 8 73 DE.DE 2DE1 _. CG CH是。D的切线， ./ GCD= 1 Z ACB= 30 ,2在 RtCGD, CG= DG DE=善口. . . CH= CG= 73DE tan30 33又由切线长定理可知 AG= AE BH= BE, .l =AB BO AC= 273 + 2&DE= 8QDE 解

16、得 DE= 1 ,3.ABC勺周长为U . 37.如图，过A (8,0)、B(0,8J3)两点的直线与直线y = J3x交于点C.平彳T于y轴的直线l从原点O出发，以每秒1个单位长度的速度沿 x轴向右平移，到 C点时停止； l分别交线段 BC O什点D E,以DE为边向左侧作等边 DEF设 DEFW BCO苴 叠部分的面积为 S (平方单位)，直线l的运动时间为t (秒).(1)直接写出C点坐标和t的取值范围；(2)求S与t的函数关系式；(3)设直线l与x轴交于点P,是否存在这样的点 P,使彳导以P、O F为顶点的三角形 为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：(

17、1) C (4, 4石)，t的取值范围是：0W t<4(2) D 点的坐标是(t, _J3t+8，3), E 的坐标是(t, J3t)，D占#+8褥-#t=8有一2妤 ，等边 DEF的DE边上的高为：12-3t，当点 F在 BOa上日123t=t, t=3 当0W t<3时，重叠部分为等腰梯形，可求梯形上底为：80-2j3t- R3t3t 2 s 3S=-(8 .3-2 .3t 8 .3-2,3t-t)= -(16,3-14 ,3t)= -7 3t2 8、.3t 233当3W tw4时，重叠部分为等边三角形S=l(8 3 -2:3t)(12 -3t)2= 3 ., 3t2 -24、

18、3t 48、, 3(3)存在，P ( 24 , 0)7说明：. FO 4J3, FP> 4氐,OPU以P, O F以顶点的等腰三角形，腰只有可能是 FO FP若 FO=FP时，t=2 (12-3t), t = 24 , . P ( 24 , 0)771 28.在平面直角坐标系 xOy中，抛物线的解析式是 y =-x +1, 4点C的坐标为(-4, 0),平行四边形 OABC勺顶点A B在抛物 线上，AB与y轴交于点M已知点Qx, y)在抛物线上，点 P(t , 0)在x轴上.(1) 写出点M的坐标；(2)当四边形CMQ灌以MQ PC为腰的才!形时. 求t关于x的函数解析式和自变量 x的取

19、值范围； 当梯形CMQ的两底的长度之比为 1: 2时，求t的值.(第24题)解：(1) .OAB磔平行四边形，AB/ OC且 AB4,- A, B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，B的横坐标分别是 2和-2,1 2代入 y =N x +1 得，A(2，2 ) , B( - 2, 2) ,OC=A,M(0,2),(2)过点 Q乍QH_Lx轴，设垂足为 H,则HQ=t = x - 2 y ,12x + x - 2,2t = - 4 ,解得 x = 1 ±V5,由HQZ AOMC 得：y = xt ip- 24 '1 2. Q(x, y)在 y = - x +1 上，t = 4当点

20、P与点C重合时，梯形不存在，此时，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时， x = ± 2 .x的取值范围是x丰1 ±J5,且x世2的所有实数分两种情况讨论：1)当 CM> PQ时，则点 P在线段 OC上，: CM/ PQ CM= 2 PQ ,1 2，点M纵坐标为点 Q纵坐标的2倍，即2 = 2( x +1),解得x = 0 ,4.,1 2 ' t = - 0 + 0 -2 = -2212)当CM< PQ时，则点 P在OC勺延长线上，: CMT PQ C附 -PQ2点Q纵坐标为点 M纵坐标的2倍，即2x2+1=2M2,解得：x = ±2&

21、lt;3.4当 x = - 23时，得 t = 1(273)2 -273-2 = -8 - 2V3,2当x = 2禽时，得t=2禽-8.9.如图9,在直角坐标系xoy中，。是坐标原点，点 A在x正半轴上，OA=12V3cm：在y轴的正半轴上，OB=12cm动点P从点O开始沿OA以2K3 cm/s的速度向点A移动，动点Q从点A开始沿AB以4cm/s的速度向点 B移动，动点 R从点B开始沿BO以2cm/s 的速度向点。移动.如果P、Q R分别从Q A、B同时移动，移动时间为 t (0vtv6) s.(1)求/ OAB的度数.(2)以OB为直径的。0 与AB交于点M,当t为何值时，PM与。0相切？(3)写出4PQR的面积S随动点移动时间t的函数关系式，并求 s的最小值及相应的t 值.(4)是否存在 APQ为等腰三角形，若存在，求出相应的 t值，若不存在t#说明理由. OB 123解：(1)在 RtAOB 中：tan Z OAB=一 = = , / OAB=30OA 33(2)如图 10,连接 O P, O M.当 PMOO 相切时，有/ PM O =/PO O'=90° , PM O APO O由(1)知/ OBA=6