(完整版)2017年全国高中数学联赛A卷和B卷试题和答案(word版)

1、2017年全国高中数学联赛 A卷一试一、填空题1 .设f(x)是定义在R上的函数，对任意实数X有f(x 3) f(x 4)1 .又当0 x 7时，f(x) log2(9 x),则 f ( 100)的值为.22 .右头数x, y满足x 2cosy 1 ,贝U x cosy的取值氾围是 .22一x y3 .在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的方程为： 1, F为C的上焦点，A为C的右顶点，P是910C上位于第一象限内的动点，则四边形 OAPF的面积的最大值为 .4 .若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1,则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。5 .正三棱锥P-ABC中，AB=1 , AP=2,

2、过AB的平面a将其体积平分，则棱 PC与平面a所成角的余弦值 为.6 .在平面直角坐标系 xOy中，点集K (x, y) x, y 1,0,1 .在K中随机取出三个点，则这三点中存在两 点之间距离为；5的概率为.7 .在 ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若 AABC的面积为J3 ,则仄M 由3的最小值为.8 .设两个严格递增的正整数数列an , bn满足：a10 b10 2017,对任意正整数n ,有an 2 an 1 an，bn 1 2bn ,则a1 b1的所有可能值为 .二、解答题9 .设k,m为实数，不等式 x2 kx m 1对所有x a,b成立.证明：b a 2 J2

3、.x2 x310 .设x1, x2, x3是非负头数，满足 x1 x2 x3 1 ,求(x1 3x2 5x3)(x1 )的取小值和取大值. 35一._ _一一_2_2_._11 .设复数乙:2满足Re(z1 0, Re(z2) 0 ,且Re(z1) Re(Z2) 2 (其中Re(z)表示复数z的实部).(1)求Re(z1z2)的最小值；求z1 2 z2 2 z1 z2的最小值.2017年全国高中数学联赛 A卷二试一.如图，在 ABC中，AB AC, I为 ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆1 ,以I为圆心，旧为半径作圆 2,过点B,I的圆3与1, 2分别交于点P,Q (不同于点B).设I

4、P与BQ交于点R证 明：BR CRannan,.设数列an定义为a11 , an 1n 1,2,.求满足ar r 32的正整数r的个ann,ann,.若相邻连个小方格三.将33 33方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等 的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.四.设m,n均是大于1的整数，m n , a1,a2, ,an是n个不超过m的互不相同的正整数，且a1,a2, , an互素.证明：对任意实数 x,均存在一个i(1 i n),使得|aix|m(m 1)xi,这里I y表示实数y到与它最近的整数的距离2017年全国高中数学联赛 A卷一试

5、答案解：由条件知，f(x + 14) =!=汽瑞，厮以小+7)1./(-100)=J(-100 + 14x7)=y(-2) = -log, 42W-臼于 t 1 2cos r Q (-1, 3* 故J3. Ji| y"由 cos -可知，1 - ccii r l(A ' I)-】.因此=1= 5J .2.A 8ST有最小tfl M这时T可以职工)：当 V *忖，.1 COh 有最大傕、八I L这时F可以取R).由于:(工+ 1一1的值域是一】,45 + 1,从而丁-cosy的取 值范臣是l-1,有+1 .解:易知7 0, 0), F(0, 1).设尸的坐标是。8双Jiisin

6、弥0,三,则-(v | 3n.= "sin(8 + .). 223.其中 【心】“.当，=" urcWrW】。时，泅边形。父FF而积的最大“直为 102解:考虑平稳数gC.若占=0.则3 = 1,右任也,有之个平稳数.若b=1,则日日1,2,*他1；,有2x3 = 6个平稳数.若ZWT8,刘人处一16”+曲 有7x3x3 = 63个平稳数.若h = 9,则工白W电9,有2*2=4个平稳数.4.综上可知平稳数的个数是2 + 6 + 63+4 = 75.悌：设4用PC的中点分别为尤整，则易证平而乂8M就是平面门,由中线 长公式知、I .- IAM -AP AC )-24所以 =

7、 y/Af2-AK2=归5.6.又易知直线尸在平面门上的射影是直浅“*，而Cf = 1, KC = §.所以n Kl- K：' - K(.cosZA.WC -2Kf故校PC与平面r上所成角的余弦值为3.10解：易即*中有9人点.故在火中随机取出三个点的 方式数为C； = 84种.将火中的点按右图标记为心月,4.其中有名 对点之叵的距寓为3.由什弥性,考虑取.与4西点的憎 况.则剩下的一个点有7种取法，送样有7#*=56个三点 蛆不计每俎中三点的次序），对每个4。= 1,2,，、*）. K中恰有4H/两点与之距高为# （这里下标按噗！i理解），因用恰耳 £4,4卬4T

8、m = LZ，用这8个三点蛆被计了两次.从而满足条件的三点蛆个数为582 = 41进而所求概率为竺=上 84 7_I I *T. 3 MMIMIHlfc 悌：由条件知* .一一.格 m 八ic 故 > f 44.、：'”十.卜:，而 je ：；山 丁 7,附“，由于苏=&皿=；, %同,卜叶兽市/，卜目口；41所以4（,卜，进 一步可得心,”'一 J/i| |j/| cosJ-2t 从而Tv-TTy i 冲瓦 771-' Afi + AC-当户卜套国=仅为* 而下的最小值为VidL解：由条件可知:小,，A均为正整数，且由于2014 -2F _51M,故卜&

9、quot;W，反复运用凡的递推关系知 u - a 卜” 2(/ 1- th - 3</. I 1m 1 5h t 3d. - R(a I 5n.，IM Mft,i*n/$一 13% + Xu1-21% + 13. - 34% + 214.因此2皿三。卬=狐=512。三2fe(mod34) tSB13x2l 34»8+1,故有仃 13x21% 13 x 独一 266 (mod 浦 L另一方面，注意到叫 <,有557<34%+21%-512如 故< />r 8.55当* T时，分别化为什】应刊“：工，无解.a.口 Br当九一对，分别化为/一5?旧闻34）.叫

10、凹生t得到唯一的正整数 55（71 I % 此时叫 4 /?1 - 20,当一 J时，I分别化为H 7Hmod34h </ .得到唯一的王整数 1155% 10,此时必+一I工综上所述，马+的所有可能值为13.20.9.2017年全国高中数学联赛 A卷一试答案证明士 令= -履一排，xa, 57 则fS） W-L 1. 于是 /（口）= a - ka - Jti < I tf（/j） = b1kb m< f曰+b （a+bV R + bg什卜匕-y-小-、4分由十一 2x知，g，研4+/一可苫 < 4,故方一口 £2叔16分10.#：由柯西不等式3+证+以。明

11、吟吟）*（百百/7，再+7-区十/r3y - I r当& = I,通=0,马=0时不等式等号成立；故欲求的艮小值为L. 分因为X +3i2+5r3）（rL+i- + i） = j（x + 3r; + f马）（5# +今 + 与）I 1 （“丫吟；（/十双）十半+叼=5（兔 + -y X, + 6X-1Q 分J 以 A , V 9三行（6/十6"6aJ =,，当即”01号府不等式等号成立,他欲求的最大值岭 加分11.解：（1|对#=L2,设=勺-_】/（兀,丸W H）.用条件知 维=45 J>0, x-y； =Re|zJ = 2.因此Re（rZj）= Re（1-fi）（工

12、 +y：i）J =王/一/月=Jg； 4）W - TM，上陷| + 2） 72“又当二二口一人时.Rczlz:> - 2 .这表明，Rek/的最小值为2 .5分（2）对# = 1,2,将4对应到平而直角坐标系位中的点儿八记g是居关于工轴的对称点,则七片均位于双曲线=2的右支上.设串网分别是匚的左，右传点,易知片（-2,。月口0）.根据双曲线的定义，有忸月|=|月刊+WIJ嗡卜|崂|+WL 进而得|芍+2卜|耳十2卜忖一勺卜.十4十|1+2|一卜一司=M +1窃| 一苗=4应+明一|次| -怛碓/, FkT PFF h h hi , hTPT 口警号成立当且仅当岂位于线段？月上£

13、例如，当=三=2 + &1时,月怜是 的中点），综上可知，,+2|+ 5 + 2卜,一回的最小值为3/L比分证明连接般.K.。.PH' PC由于点。在阿匚上*故历= /Q所以上/月。=/。月.7R*/. ORAttBS. StL7 /IQR = Z/Pfl.于是/7fiQ = /7PA.版 A!BP s AJRR .从:七 /依B = Z7BP. I ；IB IPTrIb注点到R,为A4E-的内心放招=FC，所以 /C /£f是3Kps 饮C. 故/«£"?又点座回/；的泵曲7 1 . iSEZBFC = IW-ZA t 12ZBRC =

14、 ZfM + ZWC = Z/BP + Z7CP m 360'- ZBIC - £BPC 二 360 （90* +；）一（180*_；）因此-W .故 HK _L < K .10分IU分一 解,由数列的定义可斯研二入勺=2.假设对某个常数rA2布4kr,我们证明 对，=1'*”-1，自ar¥> -2r + f- l>r-*-2r - t二r-J<f + 2i*(L1时才白纳海明."i一 I 时. ill p ar - r>r * 由定 M .叫履3 + r = r + r = 2dl .tfr+2-tr + l) =

15、2r-(r + i) s r-| < r + 2 + 结论Mj M.设对某个I7</7成立.则由定义4*i,i =q+为十(,+ ' r 一十*2r + J )/十2( +1 <J3r+1-(r + 2/ + l> = 2r+/-(r+ 2f + 0 =-I < r + 21 + 2 »即结论对，+】也成:匚 由数学也纳法知，时所"=12"T成立.特别当 /二，-1时*有/t = 1*从而0以7 = "e产(皆-2)=3r-l-若将所书满足 =的正整数r从示到大记为不小.则由上面的结论可知4=1.与=2, * = 3

16、)1 -1 , Jt=2,3-*一*.*“*1.*.*.20 分由此可知腓 r 3 r * 1. 7 % tn I h 从 rftj一x J山 i i r类就地定义加我£).于是 II) I£皿人)*倒也力-2£函A1 +国坨*/) *,!,» “3二££曲4,卜曲耳父)二Z“£). IjT南麻，色的方格行133>=353个.设含有匕色方格的打仃”个+列疗力个，则勺色的方丹一定在过什和b包的交义方格中,词此帅之前暂从而 hS J = + 8之 2-Jab > 21J363 > 3K,故”勺)之3九j = L

17、2.3.-1F 3同| T+ 一 一. *1 j i，产I，4 1产* J. 1由于。二< 3即； < 彳匕二在L2，.产”中满足凡二的故， 共有2018个，为心事,%h*30分由可知.对毋个小 划7 +1”工f 2中恰行一半满足 呵<r.由于6tt+1 =胃*十I与产,均为奇数，而在0.+ L中*”中，奇数 均满足凡”隅教均词足, <，其中的女改比布股少I个.因此满足叫< r < 351t 的正整数r的个数为:(声-2018-1)=茎了空. 40 分解:记分隔边的条数为2. H先，将力格纸技如图分成：个区域.分别染成：.牌旗色，粗线上均为分隔辿*此时其有5

18、6条分隔边.即2= 56. 10分U3J下面还明£之56.将方格饿的行从上至下依次记为4.人1*列从左至右 依次记为段方”鼻.行4中方格出现的题色数记为孤4)列就中方格出现的颜 色个效记为匍耳).三总醺色分别记为qq玛.对于 侪色勺设联公)是含有J 色方格的行数与列数之和.记舞 、ft若A行含有白色方格，由于在行人中育市种酸色的方格,因此至少有黑人)-1条分同理在列 日中,邕少条分隰边.子是 /r口 ；八工5储)-口 +工阿里I= 2(/i(4)+ n(0-66®二 Z nct) - 66 .30分 卜面分两畀情形讨论.WI形1: W 十或-列全部方格同色.不妨设有 行全为

19、勺色.从西方格纸的33列中均含有白色的方格.曲于。色方格ff新3个.故至少宥“行中含有勺色方 格于是)11 + 33 = 44.由,及即得L 之，J"J T > 打仁 I 66 > 44 59 + 39 66 = 56 . 40分2：没有一行也没有列的全部方格腐色,则对任点1£区33.均杳旧41之2. mwr)>2.从而由知 ji£受工加(4)12 -66宫33,4,66-66>5品综上所述.分隔£条数的最小值等于56. 50 &正弟：首先证明以下再个痛玷於1 ：仃在印也7 j.j;.依足广冏+44mlM=1 *弄II*区

20、加.)£ j £ a .由1皿*1*.qj = 1.由i?蜀定理,痔任螯蕾,*G*、c/酒足9- ifnL®卜面证明.通过芮整.存存一级3匕.亮.满足,且绝对值均不显过M. id $1%.c小/1工242Q：&(。,自 O 工|勺？0.如果学.，0.如工存A勺> E A I . ： I <_ 0 A 1 .又国为4«&_,廿/勿为正&.故由可知存在9 <0.令C：=9-&, .；*"* ct =ct(l< k <» * HJ 卜四.R1+c：也 & = i并且04巾

21、-。，4<'<£ r,因为q'vq, H.c/ <m .所以 与(<*；.<；"；)<Sjq.G.,q), 乂c；>r,及 c,* > 0.故S式c；.c；.,c：)4S式qgL.q).如果S,>0那么存在r, <-m,因此有个C, >0.令c： = c%, c* =<?,<!, c； =q(l 44 " 及=i, j),那么成立.并且-E<r；<q, c,<c；<0.与上面类 似地口J知Sjq g .)4S(cgg,&) fl&y

22、g.&)vSqg,因为S1与另均是非他整数,故通过有限次上.述的调整，可得到 组g.c,c.使1成0片且S)=S,=O.结论I获证.20分结论2 (1)对任意实数均61abllVlal Nbll.(2)任意整数"和实数y行R“g“|llyl.由J对任意整数“和实数X.有II"" 11 = 1x11,故不妨设"£71二,此时2 2llal二|a|, II b 若油40，不妨设o04，则 + bw，从而2 2II ab 11=|。+。国0| + |6|=11。Iki b |若H>>0.即ab同号.当|0|+)区1时,有"

23、;+。曰一_1.!.此时22 2ln + /d川+ />Ra| + MM。IR ML当时，注意总有11。十川区：，故llu + frl$-<|tf| + |fr|=llalMI/>L 30 分故(1)用证.由(D及ll-yll=llyl即知(2)成立.回到假用题，由结论1，存起整数弓弓.,。.使得c冈山网+一。：并且IqKm.于是利用结论2得IIX1= |£c"g£| G | IS 114m为atx I.因此maxII atx 11II x 1 mnK)分若35(朋十】).山可知n ,.11x11211 x IImax II ax II22xmn

24、 m(/n4l)+ 则在4M,中存在两个相邻正整数.不妨设“a,相钻.则 I x 11 = 11 %II4II a2x ll+ll atx II .故II %人 II。| qx II 中 个，Axil 211x1 2 2 m(rn + l)综上所述，总存在一个f满足II 瞌 2 Ixlh 50分m(m + l)2017年全国高中数学联合竞赛一试( B卷)一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分，共64分.1 .在等比数列an中，a2 艮 a333,则a1 a2011的值为. a7 a20172 .设复数z满足z 9 10z 22i,则|z|的值为.3 .设f (x)是定义在R上的函数，若f(x

25、) x2是奇函数，f(x) 2x是偶函数，则f(1)的值为.4 .在 ABC中，若sinA 2sin C ,且三条边a,b,c成等比数列，则cosA的值为.5 .在正四面体 ABCD中，E,F分别在棱AB,AC上，满足BE 3 , EF 4,且EF与平面BCD平行, 则DEF的面积为.6 .在平面直角坐标系 xOy中，点集K ( x, y) | x, y 1,0,1,在K中随机取出三个点，则这三个点两 两之间距离均不超过 2的概率为.7 .设a为非零实数，在平面直角坐标系xOy中，二次曲线x2 ay2 a2 0的焦距为4,则a的值为.8 .若正整数a,b,c满足2017 10a 100b 10

26、00c，贝U数组(a,b, c)的个数为.二、解答题 (本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)9 .设不等式|2x a| |5 2x|对所有x 1,2成立，求实数a的取值范围.210 .设数列%是等差数列，数列bn满足bn为向2 Hn , n 1,2,L .(1)证明：数列bn也是等差数列；(2)设数列an、bn的公差均是d 0,并且存在正整数 s,t,使得as bt是整数，求|a1|的最小值.11.在平面直角坐标系 xOy中，曲线C1：y2 4x,曲线C2 : (x 4)2 y2 8,经过C1上一点P作一条倾 斜角为45o的直线I,与C2交于两个不同的点 Q,R

27、,求|PQ| |PR|的取值范围.2017年全国高中数学联合竞赛加试（B卷）一、(本题满分40分)设实数 a,b,c 满足 a b c 0,令 d maxa , b , c,证明：(1 a)(1 b)(1 c) 1 d2二、（本题满分40分）给定正整数 m,证明：存在正整数 k,使得可将正整数集 N分拆为k个互不相交的子集 A1,A2,L , Ak,每个子集 A中均不存在4个数a,b,c,d （可以相同），满足ab cd m.三、（本题满分50分）如图，点D是锐角 ABC的外接圆 上弧BC的中点，直线 DA与圆 过点B,C的切线分别相交于点P,Q , BQ与AC的交点为X , CP与AB的交点

28、为Y , BQ与CP的交点为T ,求证：AT平分线段XY .四、(本题满分50分)设 a1,a2,L 00 1,2,L ,5,b。1,2,L ,10,集合X (i, j)1 i j 20,( ai aj )(b bj) 0,求X的元素个数的最大值一试试卷答案1.答案:解：数列an的公比为qa3 3故a22a1a2011a7 a2017a1a20116/q (a1a2011)2.答案:J5。解：设z abi, a,bR,由条件得(a 9) bi10a (10b 22)i ,比较两边实虚部可得a b9 10a 后小,解得:10b 22a 1,b2,2i ,进而 |z| J5.3.答案:7。解：由条

29、件知,4f(1)(f( 1)2-(1)f( 1) 1.1f 2 f(1) 2两式相加消去f( 1),可知:2f(1)即 f(1)4.解：由正弦定理知，a sinA 2,c sin Ca:b:c 2:72:1 ,从而由余弦定理得:, 222a b c acosA 2bc(. 2)2 12 2222 15.解：由条件知,EF平行于BC ,因为正四面体 ABCD的各个面是全等的正三角形，故AE AF EFAD AB AE BE 7.由余弦定理得，DE,AD2 AE2 2AD?AE?cos60o、49同理有DF 37.1作等腰 DEF底边EF上的局DH ,则EH EF 2 ,故DH 2Jde2 eh2

30、 733,于是 S DEF 1 EF gDH 2 33.26.解：注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C； 84种,当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如下三种情况：(1)三点在一横线或一纵线上，有 6种情况，(2)三点是边长为1,1, J2的等腰直角三角形的顶点，有 4 4 16种情况，(3)三点是边长为 近,三2的等腰直角三角形的顶点，其中，直角顶点位于 (0,0)的有4个，直角顶点位于（1,0）, （0, 1）的各有一个，共有 8种情况.综上可知，选出三点两两之间距离不超过2的情况数为 . 、, 30516 8 30,进而所求概率为30 84 147.解：二次曲线方程可

31、写成0 ,故二次曲线为双曲线,其标准方程为(a)2 ( a)2(F22(a) a注意到焦距2c 4 ,可知 一 一 20178.解：由条件知c 竺7 10001时,有10b 20 ,对于每个这样的正整数由 10b a 201知，相应的a的个数为20210b,从而这样的正整数组的个数为20(202 10b)b 10(102 2) 11572,2, 一,2017当 c 2 时，由 20 b ,知，b 20,100进而2002017201, 10故a 200,201 ,此时共有2组（a,b,c）.综上所述，满足条件的正整数组的个数为5722 574.9.解：设 t 2x,则 t 2,4，于是 |ta

32、| |5t |对所有t2,4成立，由于|t a| |5 t| (t a)2 (5 t)2,(2t a 5)(5 a)0,对给定实数a,设f(t) (2t a 5)(5a）,则f （t）是关于t的一次函数或常值函数,注意 t 2,4,因此 f 于 f(4) (31a)Ta)a) 0),解得3 a所以实数a的取值范围是3 a 5.10.解：（1）设等差数列an的公差为则 bn 1 bn(an22an 3an1) (ana2)an 2 (an 3 an 1 ) ( an 1an )( an 1an )an 2g2d (an 1an)gd(2an 2an 1an)gd 3d2所以数列灯也是等差数列.（

33、2）由已知条件及（1）的结果知：3d20,bn an 冏 2 a2 (an d)(an 2d) an2-_ 23dan 2d2 an 9若正整数s,t满足asbtZ ,则asbtasbta(s 1)d a1 (t1)d2 al记 l 2alZ .2,则l Z,且18al 3(31 s t 1) 1是一个非零的整数，故118a1| 1 ,从而 91a11a.181117又当 a1时，有 a1 b3 1 Z ,1818 18综上所述，|a1|的最小值为 .1811.解：设P(t2,2t),则直线1的方程为y x 2t t2 ,代入曲线C2的方程得，(x 4)2 (x 2t t2)2 8,化简可得：

34、2x2 2(t2 2t 4)x (t2 2t)2 8 0 ，由于1与C2交于两个不同的点，故关于 x的方程的判别式 为正，计算得，2_2_2_2_2_2_2_2_22 2 2 2 2 2 2 2 2一 (t 2t 4)2(t 2t)8) (t 2t)8(t2t) 16 2(t2t)1642_2_2_2_2_(t 2t)8(t2t) (t 2t)(t 2t 8) t(t 2)(t 2)(t 4),因此有 t ( 2,0) U (2,4),设Q,R的横坐标分别为 为？2,由知，Xi x2 t2 2t 4, x1x2 1(t2 2t)2 8), 2因此，结合l的倾斜角为45o可知，|PQ|gPR|

35、而Xit2)g72(x2t2)2x1X2 2t2(x1X2) 2t4.222 . 24.4,.3,.24.3_.24(t 2t)8 2t(t 2t 4)2tt 4t 4t8 2t 4t8t 2tt4 4t2 8 (t2 2)2 4,由可知，t2 2 ( 2,2) U (2,14),故(t2 2)2 0,4)U (4,196),从而由得：|PQ|gPR| (t2 2)2 4 4,8) U(8,200)2注1：利用C2的圆心到l的距离小于C2的半径，列出不等式| 土;5，| 24, 同样可以求得中t的范围.注2：更简便的计算|PQ|gPR|的方式是利用圆哥定理，事实上，C2的圆心为M(4,0),半

36、径为r 2 J2 ,22222 242故 | PQ|gPR| | PM | r (t 4)(2t)(2 22)t 4t 8.加试试卷答案、证明：当d 1时，不等式显然成立以下设0 d1,不妨设a,b不异号，即ab 0,那么有(1 a)(1 b)1abab1ab1c1d 02c因此(1 a)(1 b)(1 c)| |(1 c)(1 c) 1 c 八八J 1 八-AB?BCsin ABC -AB?BPsin ABP 2 1 c1 d2二、证明：取 k m 1,令 A x x i(modm 1),x N , i 1,2,L , m 10(mod m 1),设 a,b,c,d A ,则 ab cd i

37、 ?i i ?i故m 1 ab cd ,而m 1 m,所以在 Ai中不存在4个数a, b,c,d ,满足ab cd mAX AY证明：首先证明YX/ BC,即证 XC YB连接BD,CD ,因为SA巴？S S ABC SABCABPS ACQS ABP所以21，AC?AQsin CAQ21 八-AB?APsin BAP211 八八AC?CQsin ACQ 1 AC?BCsin ACB由题设，BP,CQ是圆 的切线，所以ACQ ABC , ACB ABP,CAQ DBC DCBBAP（注意D是弧BC的中点），于是由知AB?AQ CQ 本 AC ?AP BP因为CAQBAP ,所以BAQS ABQ

38、S ACP1- -1 AB?AQsin2BAQ1 一AC?APsin CAP2AB?AQAC?APBCQBCP1 “BC?CQsin BCQ21BC?BPsin CBP 2CQBP由，,S CBQS .一得BQS ACP即 SABQS CBQS ACPS BCPS _o ABQS CBQAXXC 'S ACPS BCPAYYB故空AYXC YBAX CM BY .设边BC的中点为M ,因为？ 1 ,XC MB YA所以由塞瓦定理知,AM , BX,CY三线共点，交点即为 T ,故由YX/ BC可得AT平分线段XY四、解：考虑一组满足条件的正整数(a1,a2,L ,a20,b1,b2,L

39、 ,b20)对k 1,2,L ,5 ,设a1,L ,a20中取值为k的数有tk个，根据X的定义，当优 aj时，(i,j) X ,因此55至少有C：个(i, j)不在X中，注意到tk 20 ,则柯西不等式，我们有k 1k 15 c21c 525115251 C C 20Ct2 -?( t"tk) -?(-( tk)2tk) -?20?( 1) 30k 12 k 1 k 125 k 1k 125从而X的元素个数不超过C20 30 190 30 160另'方面，取a4k3a4k2 a4k 1 a4k k ( k 1,2,L ,5 ) , b6 ai (i 1,2,L,20),则对任

40、意 i, j(1ij20),有(aiaj)(bi bj) (ai aj)(6a) (6 aj)(aiaj)2022等号成立当且仅当ai aj ,这恰好发生5c430次，此时X的元素个数达到C20 30 160综上所述，X的元素个数的最大值为160.2017年全国高中数学联合竞赛一试（B卷） 参考答案及评分标准说明：1 .评阅试卷时，请依据本评分标准.填空题只设8分和0分两档：其他各题的 评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次，2 .如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为个档次，第10、

41、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次.一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.L在等比数列加“中，%=应.=如，则且上外的值为 生卜“却”答案：I. 9解:：数列4的公比为4 ="=甲，故=：十02 V2aT + aMP 刈i） q' 92.设复数N满足？+ 9 = 10J+22i,则3的值为.答案；5.解;：设2 = +bi,由条件得（。+9）+bi = 10q +（-10。+22）i.比较两边实虚部可得+ 9 = 10a.= -10/）+ 22,解得q = 1" = 2,故？ = l + 2i,进而同=4.3 .设/（不是定义在K上的函数，若/

42、口） + /是奇函数，/"十2'是偶函数, 则/的值为.答案；-；4解；由条件知，/+ 1=-(/(-1)+(-1)2) = -1)-1./。) + 2 = /(1)+3,两式相加消去1）,可知21）+3 = -!，即"1）= -；244 .在AAQC中，若sin/ = 2sinC, 11三条边，瓦。成等比数列,则cos/的 值为.答案:邛解:由正弦定理知，巴二包1 = 2,又从=所，于是=从c sinC而由余弦定理得，cosA = bf ;®辛"，=一旦" 2t）c2 x v2 x 145 .在正四面体/灰刀中，分别在棱力民力。上，满

43、足BE = 3, E尸=4,且EF与面8CD平行，则AD印的面积为.解；由条件知，"'平行于8C,因为正四面体力以。 的各个面是全等的正三角形，故AE= AF EF = 4, AD = AH = AE-V RE = 7 ,由余弦定理得，DE = 1心 + 力 £L2dD-4£,co§60°=J49 + 16二 2X =屈,作等腰MEF底边EF上的高DH,则E=；E尸=2,故DH = ylDE2-EH2 =而，于是$5广=； EF DH = 2而.6 .在平面直角坐标系xQy中，点集K = （/）|x, y = -l,0,1.在K中随机

44、取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为.答案，之.14解;注意K中共有9个点，故在K中随机取出三个点的方式数为C： = 84种.当取出的三点两两之间距离不超过2时，有如卜.三种情况；（1）三点在一横线或一纵线上，有6种情况.（2）三点是边长为1,1,后的等腰直角三角形的顶点，有4x4 = 16种情况.（3）三点是边长为加，血,2的等腰直用三角形的顶点，其中，直角顶点位 于（0,0）的有4个，直角顶点位于（土1,0）,（0, ±1）的各有一个,共有8种情况,综上可知,选出三点两两之间距离不超过2的情况数为6- 16 + 8 3。，进而所求概率为患=147.设a为非零实数，

45、在平面直角坐标系,r6中，二次曲线/十口/十/ =。的 焦距为4,则a的值为.答案；上半.2解：二次曲线方程可写成一马一 = 1显然必须->（）,故二次曲线为双曲 （T 线，其标准方程为一一一J=l,则,2二（后）2+L尸=/-。，注意到焦距 W-。）* （一 ）2c = 4,可知八” =4,又"。，所以"=土乎8.若正整数n,b3满足20172104型00*000%则数组（4ac）的个数为答案：574.解，由条件知20171000=2.当c=l时，10</）<20.对于每个这样的正整数力，由10/>£。0201知,相应的。的个数为202-

46、10.从而这样的正赘数组的个数为士(202 - 103)=002 + 2)xU = 572/h-io2当c = 2时，由20W/W2017100,知，二20.进而2004。？201710故。= 200, 201.此时共有2组（4,瓦。）.综上所述，满足条件的正整数组的个数为572+ 2 574.二、解答题；本大题共3小题，满分56分,解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤.9 .（本题满分16分）设不等式|2；a|<|5-2时所有大匚|.2成立，求实 数。的取值范围.解;设/ = 2：则在2, 4,于是|/一0< 5-/|对所有O成立,由于 <（5-r）2o （21 一。-

47、5）（5 。）<0 .8 分对给定实数-设/（。=-。-5乂5-必 则/是关于f的一次函数或常 值函数.注意/2 4,因此数。<0等价于,12 yr1/（4） = （3 - 公（5-）<0,解得3<a<5 所以实数。的取值范围是3< <5.16分10 .本题满分20分）设数列包J是等差数列，数列/J满足2 =】2.（1）证明:数列他也是等差数列;<2）设数列打、4的公差均是dxO,并且存在正整数5J,使得巴+也 是整数，求同的最小值.解：<1）设等差数列牝的公差是d,则（%+2凡+3 -一（q + 1。*+2=%式3 一%+1）-3+1 +

48、 “）（%+上 一%）二 4"2'2d-（4x+aJW=（2%.2=3所以数列也;也是等差数列.5分<2）由已知条件及（1>的结果知工/：_/因为（/0,故这样 3Q =-4 =例+ d）q + 2d）-2 =3d% + 2d = 4.0 分n”9若正整数5, /满足 f,则 t224 + =4 + q + -= 1+(s- l)d + % +(，- 1 )d + 一0 s + / 22 z=2al + - W Z 397记/ = 2al + ,则XZ,且1防=3(3/-s-/+ 1) + 1是一个非零的IKu. > b 从而，”二IS15分又当 =时，有“

49、 + b n -k = I G Z .IK18 1820分综上所述，同的最小值为A.II. C本题满分20分)在平面直角坐标系.0r中，曲线C：./=4x,曲线 g：a-4)2十/ =8.经过C上一点户作一条帧斜角为45。的直线/,与G交于两 个不同的点0,兄.求|P0|,|PR|的取值范围.解；设外产,2/1,则宜线/的方程为>，="十2一八代入曲线G的方程得， (*-4卜 +(.k + 2/-/)2 =8,化简可得2V 2(产一 21+ 4)x + (r + 8 = 0.由于/与G交于两个不同的点，故关于文的方程的判别式为正.计算得.=(/2-2/-|-4)2- 2(/2

50、- 2r)2+8) = (/2 - 2/>2 - 8(/2 - 2/) +16 - 2(/2 - 2/)2 -164= -(r-2r1+8(产.2/) = -a2-2f)(C-2/-8) = -/(/-2地 + 2)(-4)， 因此有/(-2,0)11(2.4),10分设.火的横坐标分别为知X”由知，X, + a =/ - 2/ + 4,/0 = -(r - 21)2 4- 8),2因此，结合/的帧斜角为45。可知，|图网.近a - 产)/&-r) = 2x,x2-2r(xli- 4)+ 2r =(r -2t)2 + «-2r(r -2r + 4)-b2?=/ 一 4-十 4八 十 8 2/十4，； 一 Sr：+ 2/4 =/4-4/2 +