2020-2021中考数学圆与相似综合题含答案

1、2020-2021中考数学圆与相似综合题含答案一、相似1 .如图，在 4ABC 中，AB=AC, /BAC=90°, AHXBC 于点 H,过点 C 作 CD±AC,连接 AD,点M为AC上一点，且 AM=CD,连接BM交AH于点N,交AD于点E.(1)若 AB=3, AD= /6 ,求 BMC 的面积;(2)点E为AD的中点时，求证： AD='£ BN .【答案】(1)解：如图1中,在 4ABM 和 ACAD 中，/ AB=AC, Z BAM= Z ACD=90 , AM=CD , ABM CAD ,BM=AD= 足,AM=、城-后=1 , CM=CA

2、- AM=2 , .Sabcm= ? ?CM?BA=X 23=3(2)解：如图 2中，连接 EG CN,彳EQ± BC于Q, EF)±BA于P. AE=ED ,/ACD=90 °, AE=CE=ED , / EAC玄 ECA ,-. ABMACAD ,Z ABM=Z CAD , ZABM=ZMCE ,/ Z AMB=Z EMC , . / CEM=/ BAM=90 ° ,.ABMAECM,力 昂, .,/ ZAME=Z BMC, . AMEs BMC,，/AEM=/ ACB=45 °,，/AEC=135 °, 易 知 / PEQ=13

3、5 °,. . / PEQ=/ AEC ,，/AEQ=/ EQQ Z P=Z EQC=90,° EPAEQC, . EP=EQ / EP± BP, EQ, BC .BE 平 分 / ABC,，/NBC=/ ABN=22.5 ； AH 垂 直平分 BC ,. NB=NC ,/ NCB=Z NBC=22.5 , °，/ ENC=Z NBC+/ NCB=45AENC 的等腰直角三角形，NC=/ EG . .AD=2EC, .2NC=k1' AD, . AD=、三 NC, / BN=NC, ，AD= BN.【解析】【分析】（1）首先利用 SAS判断出AB

4、M ACAD,根据全等三角形对应边相等 得出BM=AD=根据勾股定理可以算出AM,根据线段的和差得出CM的长，利用1Sabcm= :?CM?BA即可得出答案；（2）连接EG CN,作EQ± BC于Q, EP± BA于P.根据直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半得出 AE=CE=ED根据等边对等角得出 / EAC=Z ECA,根据全等三角形对应角相等 得出ZABM=ZCAD,从而得出 /ABM=/MCE,根据对顶角相等及三角形的内角和得出 /CEM=/BAM=90 ；从而判断出 ABMsECM,由相似三角形对应边成比例得出BM :CM= AM : EM,从而得出 BM :

5、AM= CM ： EM,根据两边对应成比例及夹角相等得出 AMEABMC,故 / AEM=/ACB=45； /AEC=135；易知 /PEQ=135；故 / PEQ=/ AEC, / AEQ=Z EQC,又/ P=/ EQC=90，。故 EPA EQQ故EP=EQ根据角平分线的判定得出 BE平分/ ABC,故/ NBC=Z ABN=22.5 :根据中垂线定理得出NB=NC,根据等腰三角形的性质得出/ NCB=Z NBC=22.5 ,故/ ENC=Z NBC+Z NCB=45 , ENC的等腰直角三角形，根 据等腰直角三角形边之间的关系得出NC=亚EC,根据AD=2EC, 2NC=4三AD ,

6、AD=NC,又 BN=NC,故 AD= BN.2.在平面直角坐标系中，抛物线 丫 =心'飞 +匕启力”与，轴的两个交点分别为A（2）连结AD、CD,若点E为抛物线上一动点（点 E与顶点C不重合），当4ADE与 ACD面积相等时，求点 E的坐标；（3）若点P为抛物线上一动点（点 P与顶点C不重合），过点 P向CD所在的直线作垂 线，垂足为点Q,以P、C Q为顶点的三角形与 4ACH相似时，求点P的坐标.【答案】（1）解：设抛物线的解析式为 ¥ = d履. b工+匚血勿，抛物线过点 A(-3, 0),B(1, 0), D(0, 3),- 3b c = Cf a + t = 0 七

7、二 3,解得，a=-1, b=-2, c=3,，抛物线解析式为卜二 f + 3 ,顶点C (-1,4);(2)解：如图 1, A(-3, 0), D(0, 3),直线AD的解析式为y=x+3,设直线AD与CH交点为F,则点F的坐标为（-1, 2） .CF=FH分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点 由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知,E, ADE与 ACD面积相等,直线EC的解析式为y=x+5,直线EH的解析式为y=x+1,分别与抛物线解析式联立，得解得点E坐标为（-2, 3）,（3）解：若点P在对称轴左侧（如图 2）,只能是CPgACH,得/PCQ=Z CAH,国2?N,延长

8、CD交x轴于M ,M(3 , 0)国3PQ CHR 一 疝一二分别过点C、P作x轴的平行线，过点 Q作y轴的平行线，交点为 M和N, 由CQMsQPN,PQ PN QN得 CQ 蜘 C=2 =2,/ MCQ=45 °,设 CM=m ,贝U MQ=m , PN=QN=2m, MN=3m ,，P 点坐标为(-m-1 , 4-3m),将点P坐标代入抛物线解析式，得 一仙，D- ¥ 2血*74 3二一无，解得m=3,或m=0(与点C重合，舍去).P点坐标为(-4, -5); 若点P在对称轴右侧(如图 )，只能是PCMACH,得/PCQ=Z ACH,PQ AH.CQ -SiPQ FM

9、 ； ，.= 一CQ CM i / MCH=45 ； CH=MH=4 ，MN=FN=2,，F点坐标为(5, 2),；77直线CF的解析式为y= 3.三，/ 11-7 *7J 35联立抛物线解析式，得J- 3一，解得点P坐标为(3 , 9),2 35综上所得，符合条件的 P点坐标为(-4,-5), (5, 9 ).【解析】【分析】(1)将A (-3, 0)、B (1, 0)、D(0, 3),代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点 C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E,利用 ADE与4ACD面积相等，得出直线 EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3)(

10、3)分两种情况讨论： 点P在对称轴左侧；点P在对称轴右侧.3 .在平面直角坐标系中，点A心切，点B公爪 已知心力满足Q + 4必 , 酩+ 16 = 6(1)点A的坐标为，点B的坐标为;(2)如图1,点E为线段 OB上一点，连接 AE,过A作AFLAE,且AF=AE,连接BF交工轴于点D,若点D(-1,0),求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，如图 2,过E作EHLOB交AB于H,点M是射线EH上一点(点M不 在线段EH上)，连接MO,作/MON=45 , ON交线段BA的延长线于点 N,连接MN ,探究 线段MN与OM的关系，并说明理由。【答案】(1) (-4,0) ; (0,-4)(2)

11、解：作 FHI± OA 于 H,.AFAE, / FAE之 AHF=Z AOE=90 ,° / FAH+/ OAE=90 ,° / FAH+/ AFH=90 , / AFH=Z OAE, .AF=OA, .AFHAEAO,FH=OA, 点 A (-4,0)，点 B (0, -4)FH=OA=OB=4, / FHD=Z BOD=90 ； / FDH=Z BDO, .FDHABDO,.OD=DH=1,.AH=OH=OE=2, E (0,-2)(3)解：结论： MN=OM,MN ±OM, 理由：连接 OH, OM与BN交于G, . OA=OB,Z AOB=45

12、 ;/ OAB=45 ° . OE=EB=2, EH/ OA,.AH=BH,OH±AB,Z AHM=/OAB=45 ； / MON=45 °/ GON=/ GHM, / NGO=Z MGH,.NGOAMGH,=区 ,G MG :.& =讥 / NGM=/OGH,.NGMAOGH,/ NMG=/OHG=90 ； OMN是等腰直角三角形.MN=OM,MN ±OM.【解析】【解答】（1） Q +刃 +* 8b 76 = Q，/，彷+ A* =0, a=-4, b=-4,点A的坐标为（-4,0）,点B的坐标为（0, -4）【分析】（1）先将式子变形为完全

13、平方公式的形式，再根据平方的非负性求解；（2）如图1 中，作 FH, OA 于 H ,由AFHEAO,推 出 FH=OA,由FDHBDO,推 出 研0GAH=OH=OE=2; （3）连接 OH, OM与BN交于 G,由NGOsMGH,推出 也=而，再推出H吧仇=曲，再得出NGMsOGH,推出/NMG=/OHG=90 ,推出4OMN是等腰直角三角形 即可解决问题.4.若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形.（1）已知4ABC是比例三角形，AB=2, BC=3.请直接写出所有满足条件的 AC的长；（2）如图1,在四边形 ABCD中，AD/ BC,对角线 BD平分

14、/ ABC, / BAC=/ ADC.求证： ABC是比例三角形；BL（3）如图2,在（2）的条件下，当/ADC=90时，求水 的值。【答案】（1）7或工或机.（2）证明：.AD/BC,/ ACB =/ CAD,又/ BAC=Z ADC, .ABCDCA,B CACA = AL ,即 CA2=BCAD,又 AD/ BC,/ ADB=Z CBD, BD 平分 / ABC,/ ABD=Z CBD,/ ADB=Z ABD,.AB=AD, -CA2=BC AB, .ABC是比例三角形(3)解：如图，过点 A作AHBD于点H,.AB=AD,.BH= BD, .AD/BC, /ADC=90；/ BHA=Z

15、 BCD=90,°又 / ABH=/ DBC, .ABHADBC,AB Bh=, .AB BC=DBBH,/ .AB BC=-： BD2,又 ABBC=AC,H bd2=ac2,BL .五=".【解析】【解答】解：（1）已知 ABC是比例三角形，依题可得:当AB2=BCAC时，. AB=2, BC=3.-4=3AC,，AC= 3 ; CB2=AB AC, . AB=2, BC=3. .9=2AC,.AC=区； AC2=BC AB,. AB=2, BC=3.AC2=2X§.AC=.综上所述：AC的长为：或二:或加 .【分析】（1）由比例三角形的定义分三种情况讨论：当

16、AB2=BCAC时，CB2=AB AC,A C2=BC AB,代入CR AB的数值分别求得 AC长.（2）根据平行线的性质和相似三角形的判定得ABCsDCA,由相似三角形的性质得CA2=BCAD;根据平行线的性质和角平分线的定义得/ADB=/ ABD,根据等腰三角形等角对等边得ab=ad,将此代入上式即可得证.（3）如图，过点 A作AHLBD于点H,根据等腰三角形三线合一的性质可知BH=_ BD由相1似三角形的判定和性质得 ABBC=DBBH,即ABBC二BD2,联立（1）中的结论即可得出答案.5 .如图（1）,已知点 G在正方形 ABCD的对角线 AC上，GE± BC,垂足为点 巳

17、GF, CD,垂足为点F.（1）证明与推断: 求证：四边形 CEGF是正方形； 推断：AG： BE的值为（2）探究与证明:将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转“角（0。< a< 45。），如图（2）所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由:（3）拓展与运用：正方形CEGF在旋转过程中，当 B, E, F三点在一条直线上时，如图（3）所示，延长 CG交AD于点H.若AG=6, GH=2在,则BC=【答案】（1）证明：二四边形ABCD是正方形,/ BCD=90 ； / BCA=45 ；-. GE± BC GFXCD, / CEG4 CFG=Z ECF=90,

18、76;，四边形 CEGF是矩形，/CGE4 ECG=45,°EG=EC，四边形CEGF是正方形在 RtA CEG和 RtA CBA 中,Cb=cos45 =°W=cos45 =C6 CA.ACGABCE,线段AG与BE之间的数量关系为 AG= V- BE【解析】【解答】（1）由 知四边形CEGF是正方形,/ BEC=135, °.ACGABCE ./AGC=/BEC=135,°/ AGH=Z CAH=45 ； / CHA=/ AHG,.AHGsCHA,AG GH Ah . .而一方一 2, 设 BC=CD=AD=a 贝U AC= . a,AG Gh 6

19、上口 - -J I - c; 则由AC 如得4为 A",则 DH=AD- AH= . a, CH=45 + 而' =3 a,AG AA 缶 ylo二日.由爪得3,解得：a=3 凸，即BC=3故答案为：3 %值.【分析】(1)根据正方形的性质得出 /BCD=90, / BCA=45 ,根据垂直的定义及等量代换得出/CEG± CFGN ECF=90,根据三个角是直角的四边形是矩形得出四边形CEGF是矩形，根据三角形的内角和得出 /CGEN ECG=45,根据等角对等边得出 EG=EC根据有一组邻边相等的矩形是正方形即可得出四边形CEGF是正方形； 根据正方形的性质得出G

20、E/ /CD,根据平行于同一直线的两条直线互相平行得出GE/ AB,根据平行线分线段成比例定理得出 GC： EC= AG： BE,根据等腰直角三角形的边之间的关系得出GC： EC4？,从而得出答案;从而判断出AG与BE之间的/BEC=135,根据(2 )连接CG,由旋转性质知/ BCEW ACG=,根据余弦函数的定义得出 ACGS BCE,根据相似三角形对应边的比等于相似比即可得出结论线段 数量关系为AG= . BE ;(3 )根据/CEF=45,点B、E、F三点共线，由邻补角定义得出 ACGABCE , 得 出 /AGC=/ BEC=135 °, 故 / AGH=/ CAH=45&

21、#176; , 然后 判断出 AHGACHA,根据相似三角形对应边成比例得出AG： AC= GH ： AH= AH ： CH,设BC=CD=AD=a则AC=； a,根据比例式得出关于 AH的方程，求解 AH的值，根据 DH=AD-AH表示出DH,根据勾股定理表示出CH,根据前面的比仞式得出关于 a的方程，求解得出a的值，从而得出 BC的值。6.在平面直角坐标系中，抛物线经过点化，-4、血,姓，其中山、是方程- - Jr 8-6的两根，且 X :其，过点A的直线1与抛物线只有一个公共点(1)求、|工两点的坐标；(2)求直线的解析式；(3)如图2,点方是线段4d上的动点，若过点 上作3轴的平行线

22、班 与直线1相交于点 £,与抛物线相交于点，,过点区作功的平行线而与直线M相交于点忸，求班的长.【答案】(1)解：- X1> X2是方程X2-2x-8=0的两根，且X1VX2 ,xi=-2, X2=4,A (2 2) , C (4, 8)(2)解： 设直线l的解析式为y=kX+b (kw。，,. A (-2, 2)在直线l上,.-2=-2k+b,b=2k+2,，直线l的解析式为y=kX+2k+21:抛物线y=1x2，联立 化简得，X2-2kX-4k-4=0,直线l与抛物线只有一个公共点，.= (2k) 2-4 (-4k-4) =4k2 + 16k+16=4 (k2+4k+4)

23、=4 (k+2) 2=0, . k=-2,，b=2k+2=-2,，直线l的解析式为y=-2X-2;i 平行于y轴的直线和抛物线y=:X2只有一个交点，直线l过点A (-2, 2),直线 l: x=-2(3)解：由(1)知，A (-2,2), C (4, 8),直线AC的解析式为y=X+4,设点 B (m, m+4),- C （4.8）,BC= C：|m-4|二 （4-m）过点B作y轴的平行线BE与直线l相交于点E,与抛物线相交于点Dm2) , E (m, -2m-2),BD=m+4-m2 , BE=m+4- (-2m-2) =3m+6 ,1. DC/ EF, .,.BDCABEF7,BD B(

24、 .BF=6 .【解析】【分析】（1）解一 式，再联立抛物线解析式，用.BE 呼次方程即可得出点 二0,求出k的值,B的坐标，进而求出BC,再表示出点 BD8 4BEF得出比例式建立方程即可求出D, EBF.A, C坐标；（2）先设出直线l的解析 即可得出直线l的解析式；（3）设出点 的坐标，进而得出 BD, BE,再判断出7.如图某学校智慧方园”数学社团遇到这样一个题目:(1)如图C 03)1 ,在4ABC中，点O 在线段 BC 上，/BAO=30, Z OAC=75 , AO二人弓,BO:CO=1: 3,求 AB 的长.经过社团成员讨论发现，过点 以解决问题（如图2）.B作BD/AC,交A

25、O的延长线于点 D,通过构造 4ABD就可请回答：/ADB二AB二（2）请参考以上解决思路，解决问题:如图3,在四边形/ ABC=/ ACB=75 ,【答案】（1） 75;ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O, AC±AD, AO=予川BO: OD=1: 3,求 DC的长.I片4.（2）解：过点 B作BE/AD交AC于点E,如图所示.C . ACXAD, BE/ AD,/ DAC=Z BEA=90 ,° / AOD=Z EOB, .AODAEOB,BC EC BE.,.=46 =阂-I .,. BO: OD=1: 3,EC Bh I.,. /Il =必;=.： .,

26、.AO=3 ，. eo=3,.AE=4 ；3 . / ABC=/ ACB=75 ；/ BAC=30 ； AB=AC,.AB=2BE.在 RtAEB中，BE2+AE2=AB2 ,即（4 卜.）2+bW= （2BE） 2 ,解得：BE=4, .AB=AC=8, AD=12.在 RtCAD中，AC2+AD2=CC2 ,即 82+122=CC2 ,解得：CD=4【解析】【解答】解：（1） . BD/ AC,/ ADB=Z OAC=75 : / BOD=Z COA, .BODCOA,H 二又AO=人口,1I.OD= 3 AO=%".AD=AO+OD=4 3 . / BAD=30 ； / ADB

27、=75 ,°/ ABD=180 - / BAD- / ADB=75ADB,.AB=AD=4故答案为：75; 4 % 3 .【分析】(1)利用平行线的性质，可求出 /ADB的度数，证明/ADB=/ OAC,利用相似三 角形的判定定理证明 BODsCOA,得出对应边成比例，求出 OD的长，再求出 AD的 长，然后证明/ABD=/ ADB,可求得AB的长。(2)过点 B作BE/ AD交AC于点E,先证明AODsEOB,得出对应边成比例，求出 EO、AE的长，再证明 AB=2BE利用勾股定理求出 BE的长，就可得出 AC AD的长，然后 在RtCAD中，利用勾股定理求出 CD的长即可解答。8

28、.国1§2国3(1)【探索发现】 如图1,是一张直角三角形纸片，=加 ，小明想从中剪出一个以上3为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE、EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三 角形面积的比值为 .(2)【拓展应用】如图 2,在I ABC中，EC = a| , BC边上的高AD = H ,矩形pqmn 的顶点P、N分别在边AB、AC上，顶点Q、M在边BC上，求出矩形 PQMN面积的最大值 ,用含a、h的代数式表示 ;(3)【灵活应用】如图 3,有一块缺角矩形ABCDE，皿 滤，EC -阕，怔 耳， CD M，小

29、明从中剪出了一个面积最大的矩形 L为所剪出矩形的内角),直接写出该 矩形的面积.【答案】(1)营(2)解：I r PX4BC,：WAPNs dABjI N A Ela» A PN a - -PQK 加，可得h ,a h设 pQ S-PN - J 二HlahPQ = J-,:当|二时，s希树加最大值为/ .(3)解：如图，过 DE上的点P作囤1 BC于点G,延长GP交AE延长线于点I,过点P 作PH上AB于点h,则四边形AHPI和四边形BGPH均为矩形,设 PG 工，则 |PI = % ,:* AB - 28 : DK ,CD 14 PC36 AE - 18El PI由| / EIP

30、s白EKD知证就9g-：PH - AI - AE + EI 二 18 个 : 5丁 一寸I-f则矩形bgph的面积时，矩形BGPH的面积取得最大值，最大值为 567.【解析】【解答】（1）解:'EK、ED为|色他中位线,.：ED/4B, EfOEC,四边形FEDB是矩形,故答案为:【分析】（1) APNs AABC由中位线知PN AB知EF= BC、ED= AB、可得PN=a-5.第悬安比EFrDES 3但 一挹咱t可得；（2）由设 PQ=x,由 S 矩形 pqmn=PQ?PN=DE上的点 P作PG± BC于点G,延长PG=x,知 PI=28-x,由EI'EKD 知a

31、 h ia/l一 -V子力h - L据此可得；（3）结合图形过GP交AE延长线于点I,过点 P作PHXAB,设明 据此求得EI=ph=再根据矩形bgph的面积S=g gx(54 - 3-二万 - 21)2 + 56?二、圆的综合9.如图，点A、B、C分别是。上的点，CD是。的直径，P是CD延长线上的一点， AP=AC昌(1)若/B=60°,求证：AP是。的切线；(2)若点B是弧CD的中点，AB交CD于点E, CD=4,求BE AB的值.【答案】(1)证明见解析；(2) 8.【解析】(1)求出/ADC的度数，求出/P、/ACQ /OAC度数，求出/ OAP=90 ,根据切线判定 推出即

32、可；(2)求出BD长，求出4DBE和4ABD相似，得出比例式，代入即可求出答案.试题解析：连接AD, OA, / ADC=Z B, / B=60 ；/ ADC=60 ；.CD是直径,/ DAC=90 ；/ ACO=180-90 -6030 : . AP=AC, OA=OG/ OAC=Z ACD=30 ； / P=Z ACD=30 ,°/ OAP=180 -30 -30 -3090 ；即 OALAP, OA为半径，.AP是。O切线.(2)连接 AD, BD,.CD是直径,/ DBC=90 ； . CD=4, B为弧CD中点,BD=BC=e ,/ BDC=Z BCD=45 ,°

33、/ DAB=Z DCB=45 ；即 / BDE=/ DAB, / DBE=Z DBA,.,.DBEAABD,BD AB市二标 ?.BE?AB=BD?BD=V2 X 2G = 8考点：1.切线的判定；2.相似三角形的判定与性质.10.如图，AB为。的直径，点 E在。上，过点E的切线与 AB的延长线交于点 D,连 接BE,过点。作BE的平行线，交。于点F,交切线于点C,连接AC(1)求证：AC是。的切线；FOBE是菱形.【分析】(1)由等角的转换证明出OCA二OCE ,根据圆的位置关系证得 AC是。的切线.(2)根据四边形 FOBE是菱形，得到 OF=OB=BF=EF得证 OBE为等边三角形，而得

34、出BOE 60 ,根据三角形内角和即可求出答案【详解】(1)证明：.CD与。相切于点E,OE CD , CEO 90 ,又.OC PBE ,COE OEB, /OBE=/ COA,.OE=OB,OEB OBE ,COE COA, 又,. OC=OC OA=OE OCA0 OCE(SA0 ,CAO CEO 90 ,又AB为。O的直径，.AC为。O的切线；(2)解：二四边形FOBE是菱形，OF=OB=BF=EF.OE=OB=BE OBE为等边三角形，BOE 60 ,而 OE CD ，D 30 .故答案为 30 【点睛】本题主要考查与圆有关的位置关系和圆中的计算问题，熟练掌握圆的性质是本题的解题关键

35、.11.如图1,将长为10的线段OA绕点O旋转90得到OB,点A的运动轨迹为 Ab，P是 半径 OB 上一动点， Q 是 ?AB 上的一动点，连接 PQ.发现：/POQ=时，PQ有最大值，最大值为 ;思考：(1)如图2,若P是OB中点，且QPLOB于点P,求?Q的长；(2)如图3,将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4,将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧 QB恰好与半径OA相切，切点为C,若OP=6,求点O到折痕PQ的距离.;(2) 25 兀-100/2 +100； ( 3)点 O【答案】发现：90； 10J2 ;思考：(1)到折痕P

36、Q的距离为病.【解析】103分析：发现：先判断出当PQ取最大时，点Q与点A重合，点P与点B重合，即可得出结论；思考：(1)先判断出/POQ=60,最后用弧长用弧长公式即可得出结论；(2)先在 RtA B'OP 中，OP2+(10 J2-10)2= (10-OP) 2,解得 OP=10j2-10,最后用面积 的和差即可得出结论.探究：先找点 。关于PQ的对称点O',连接OO、O' E O' G O' ?证明四边形 OCOB是矩1形，由勾股定理求 O' H从而求出OO的长，则OM=-OO 再.详解：发现：P是半径OB上一动点，Q是AB上的一动点,当P

37、Q取最大时，点 Q与点A重合，点P与点B重合，此时，/ POQ=90 , PQ=7qA2_OB2 =10 我；点P是OB的中点,思考：(1)如图，连接OQ,1 1.OP=-OB=- OQ.QPXOB,/ OPQ=90 °,OP 1在 RtA OPQ 中，cos/ QOP= 一,OQ 2/ QOP=60 ；. 6010 10 .BQ-1803'(2)由折叠的性质可得，BP= BP, AB= AB= 10 J2,在 RWOP 中,OP2+(10 72-10)2= (10-OP)解得OP=10应-10,9010210 (10、2 10)S 阴影=S 扇形 aob-2Sa aop=3

38、60=25 兀-100夜+100；探究：如图2,找点O关于PQ的对称点O',连接OO、O' R O' C O' R则OM=OM , OO ± PQ, O' P=OP= 3点O'是？ Q所在圆的圆心, ,.O' C=OB=10;折叠后的弧QB'恰好与半径OA相切于C点, .O' dAO, .O' a ob, 四边形OCO'庭矩形，在 RtAOz BPK O' B=/6V 2展,在 ROBO K OO =1Q2 (275)2=2/30，1 1 . OM= _ OO L X2730 = 730

39、,22即O到折痕PQ的距离为廊.点睛：本题考查了折叠问题和圆的切线的性质、矩形的性质和判定，熟练掌握弧长公式n Rl= (n为圆心角度数，R为圆半径)，明确过圆的切线垂直于过切点的半径，这是常180考的性质；对称点的连线被对称轴垂直平分.DA,12.如图，已知 AB是。O的直径，点C为圆上一点，点 D在OC的延长线上，连接 交BC的延长线于点 E,使得/ DAC=Z B.(1)求证：DA是OO切线；(2)求证：ACEDAACD;(3)若 OA=1, sinD=1 ,求 AE的长.3D【答案】(1)证明见解析；(2)收【解析】分析：(1)由圆周角定理和已知条件求出AD± AB即可证明D

40、A是。O切线;(2)由/DAG/DCE / D=/D 可知DECDCA;(3)由题意可知 AO=1, OD=3, DC=2,由勾股定理可知 AD=2,故此可得到DC2=DE?AD,故此可求得 DE的长，于是可求得 AE的长.详解：(1) .AB 为。的直径，/ACB=90°,ZCABZ B=90°. ZDAC=ZB,Z CABZ DAC=90 °, ADXAB OA是。O半径，DA为。的切线；(2) OB=OC,，/OCB=/B./DCE=/OCR ，/DCE=/B./DAO/B,./DAO/DCE./D=/D,ACEDIA ACD;(3)在 RtAOD 中，OA

41、=1,1 sinD=, 3-OD=-OA-=3, /.CD=OD- OC=2.sinDi ad=而DOA =2 灰AD又. CEgMCD, CDCDDE '.,de=cd=V2,ADAE=AD - DE=2 衣一拒=拒.点睛：本题主要考查的是切线的性质、圆周角定理、勾股定理的应用、相似三角形的性质和判定，证得 DESDCA是解题的关键.13.已知， ABC内接于eO ,点P是弧AB的中点，连接PA、PB ;(1)如图 1,若 AC BC,求证：AB PC;(2)如图2,若PA平分 CPM ,求证：AB AC ;24(3)在(2)的条件下，若sin BPC 一，AC 8,求AP的值.25

42、图ISI【答案】(1)见解析；(2)见解析；(3)2店.【解析】【分析】由点P是弧AB的中点，可得出 AP=BP通过证明 APC BPC , ACE BCE可得 出 AECBEC进而证明AB PC.(2)由PA是/ CPM的角平分线，得到 / MPA=Z APC,等量代换得到/ ABC=Z ACB,根据等腰三 角形的判定定理即可证得 AB=AC.过A点作AD)± BC有三线合一可知 AD平分BC,点O在AD上，连结 OB,则/ BOD=/ BAC,根据圆周角定理可知 / BOD=Z BAC, / BPC=Z BAC,由/ BOD=Z BPC可得 BDsin BOD sin BPC ，

43、设OB=25x ,根据勾股定理可算出 OB、BD> OD、AD的 OB长，再次利用勾股定理即可求得AP的值.【详解】解：(1) 丁点P是弧AB的中点，如图1,.AP=BP,在 APC和 BPC中AP BP AC BC , PC PC2 .APCABPC (SS§ , / ACP= / BCP,在 ACE和 BCE中AC BC ACP BCP, CE CE3 .ACEABCE (SAS , / AEC= / BEG4 / AEG/BEC= 180 ；/ AEC= 90 ； .AB，PC；(2) PA平分/CPM,/ MPA= ZAPC, / APO / BPG/ ACB= 180

44、 ； / MPA+Z APC/ BPG= 180 ；/ AGB= / MPA= / APG, / APG= / ABC,/ ABG= / AGB, .AB= AG；(3)过A点作ADXBGX BG于D,连结OP交AB于E,如图2,卸ffi：由(2)得出AB= AG, AD 平分 BG, 点O在AD上，连结 OB,则 / BOD= / BAG, / BPG= / BAG,24 BDsin BOD sin BPG = ， 25 OB设 OB= 25x,贝U BD= 24x, -OD= Job2 bd2 =7x，在 RtVABD 中，AD=25x+7x=32x, BD=24x, AB= , AD2

45、BD2 =40x，,.AG=8,.-.AB=40x=8,解得：x=0.2,.OB=5, BD=4.8, OD=1.4, AD= 6.4,丁点p是Ab的中点， OP垂直平分AB,1.AE= -AB= 4, /AEP=/AEO= 90 ,2在 Rt AEO 中，OE= JaO2_AE2 3，PE= OP- OE= 5- 3 = 2,在 Rt ApE 中，Ap= Jpe2 ae2 J22 42 275 【点睛】本题是一道有关圆的综合题，考查了圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的判定定理和三线合一，是初中数学的重点和难点，一般以压轴题形出现，难度较大14.如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切

46、线，点 D为圆上一点，满足 BD= BC,且点C、D位于直径AB的两侧，连接 CD交圆于点E点F是BD上一点，连接EF,分 别交AB、BD于点G、H,且EF= BD.(1)求证：EF/ BC;(2)若 EH= 4, HF= 2,求？E 的长.【答案】见解析；(2)2 , 33【解析】【分析】(1)根据EF= BD可得EF= ?D，进而得到BE = DF，根据 在同圆或等圆中，同弧或 等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.(2)连接DF,根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 ”及平行线求出相等的角，利用锐角三角函数求出ZBHG,进而

47、求出/BDE的度数，确定 BE所对的圆心角的度数，根据 /DFH= 90°确定DE为直径，代入 弧长公式即可求解.【详解】 ; EF= BD,. Ef= ?D Be = ?f / D= / DEF又 BD= BC,/ D= / C, / DEF=Z C EF/ BC(2); AB是直径，BC为切线，ABXBC又 EF/ BC,.,.ABXEF7,弧 BF哪 BE,1GF= GE= 5(HF+EH)=3, HG=1DB 平分 / EDF,又 BF/I CD,/ fbd= / fdb= / bde= / bfh ，HB=HF= 2cosZ BHG= - = , / BHG= 60 .HB

48、 2/ FDB= / BDE= 30 ° ./DFH= 90； DE为直径，DE= 4J3,且弧BE所对圆心角=60：.二弧 BE= x 43 = Vs 63【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是解题关键15.如图，BD为ABC外接圆。的直径，且/BAE=/C.(1)求证：AE与。相切于点A;(2)若 AE/ BC, BC= 2“，AC= 2,求 AD 的长.E【答案】(1)证明见解析；(2) 273(1)根据题目中已出现切点可确定用连半径，证垂直”的方法证明切线，连接 AO并延长交。O于点F,连接BF,则AF为直径，ZABF= 90。，根据同弧所对的圆周角相等，则可得 到/BA巳/F,既而得到 AE与。相切于点A.(2)连接OC,先由平行和已知可得 /ACB=/ABC,所以AC= AB,则/ AOG / AOB, 从而利用垂径定理可得 AH=1,在RtOBH中，设OB= r,利用勾股定理解得 r=2,在 RtA ABD中，即可求得 AD的长为2 Q .【详解】解：(1)连接AO并延长交。于点F,连接BF,则AF为直径，/ ABF= 9