2010-2019历年高考数学《等差数列》真题汇总

1、2010-2019历年高考数学等差数列真题汇总2010-2019历年高考数学等差数列真题汇总专题六数列第十五讲等差数列2019 年1. (2019全国I文18)记&为等差数列 an的前n项和，已知 & 一%.(1)若% 4,求an的通项公式；(2)若a1 0 ,求使得Sn an的n的取值范围.2. (2019全国出文 14)记Sn为等差数列an的前n项和，若 83 5® 13,则Si0 .3. (2019天津文18)设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0,已知ab13,bz a3 ， b3 4a2 3.(I )求an和bn的通项公式;1,n为奇数,(n)设数列c

2、n满足cnbnn为偶数，求a1。a2c22La2nC2n4. (2019江苏8)已知数列an(n N )是等差数列，Sn是其前n项和.若a2a5 %0, S9 27 ,则 S8 的值是2010-2018 年、选择题1. (2017浙江)已知等差数列an的公差为d ,前n项和为Sn,则“ d 0是 “ S4+S6 2s5” 的A.充分不必要条件B .必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2. （2015新课标2）设Sn是数列an的前n项和，若a a3 a§ 3 ,则S5A. 5B. 7C. 9D. 13. （2015新课标1）已知an是公差为1的等差数列,Sn为an的前

3、n项和，若S 4s4,17 A .219B.2C. 104. （2014辽宁）设等差数列an的公差为d ,若数列2a1an为递减数列，则A. d 0C. a1d 0D. a1d05. （2014福建）等差数列an的前n项和Sn,若a1 2§ 12 ,则a6A. 8C. 12D. 146. （2014重庆）在等差数列an中，a1 2,a3 a5 10 ,则a7A. 5 B. 8 C. 10 D. 147. （2013新课标1）设等差数列an的前 n 项和为 Sn, Sm1=-2, Sm = 0, Sm1=3,则m =A. 3B. 48. （2013辽宁）下面是关于公差 dr:数列an是

4、递增数列；P3:数列 包 是递增数列；n其中的真命题为A. Pi，P2B. P3, P4C. 5D. 60的等差数列an的四个命题：P2:数列nan是递增数列；p4:数列an 3nd是递增数列;C P2, P3D Pi, P49. （2012福建）等差数列an 中，a a510,a47 ,则数列 an的公差为A. 1B . 2C. 3D . 410. （2012辽宁）在等差数列an中，已知a4+a8=16,则该数列前11项和Si二A. 58 B. 88C. 143 D. 17611. （2011江西）设an为等差数列，公差d 2,Sn为其前n项和，若§。 Sii ,则a1A. 18B

5、 . 20C. 2212. （2011安徽）若数列an的通项公式是an （ 1）n（3n 2）,则a1 a? LaoA. 15B. 12C.D.2,且a7是a3与a9的等比中项，Sn为13. （2011天津）已知 an为等差数列，其公差为一、， . _ _ * . . . _ an的前n项和，n N ,则S1o的值为A. - 110B. - 90C. 90 D. 110214. （2010安徽）设数列an的前n项和Snn ,则a8的值为A. 15B. 16C. 49D . 64、填空题15.（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015,则该数列的首项16. （2014

6、北京）若等差数列an满足a7 a8 a 0, a7 加 0,则当n 时,an的前n项和最大.17. （2014江西）在等差数列 an中，a1 7,公差为d ,前n项和为Sn,当且仅当n 8时Sn取最大值，则d的取值范围18. （2013新课标2）等差数列an的前n项和为Sn,已知§00,S1525,则nSn的最小值为.19. （2013广东）在等差数列an中，已知a3 % 10,则3a5 a7 .1 c一20. （2012北东）已知an为等差数列，Sn为其前n项和.若a - , S2 a3,则a2 _；2Sn =-21. （2012江西）设数列an, bn都是等差数列，若 a1 b1

7、 7, a3 b3 21 ,贝 U a5 b5 .、. 2.一.22. （2012广东）已知递增的等差数列an满足a1 1, a3 a2 4 ,则an =.23. （2011广东）等差数列an前9项的和等于前4项的和.若a1 1, ak a40,则k=.三、解答题24. (2018全国卷n )记 Sn为等差数列an的前n项和，已知ai7, S315.(1)求an的通项公式；(2)求Sn,并求Sn的最小值.25. (2018 北京)设an是等差数列，且 a1 ln2,a2 a3 5ln 2.(1)求an的通项公式；a aa-(2)求 e9 e 2 L e n.*._.26. (2017天津)已知

8、an为等差数列，前n项和为Sn(n N ), >是首项为2的等比数列，且公比大于0,b2b312,b3a42a1,S1111b4.(i)求an和bn的通项公式；(n )求数列a2nbn的前n项和(n N ).27. (2017江苏)对于给定的正整数 k,若数列an满足an k an k 1an 1 an 1an k 1 an k 2kan对任意正整数n (n k)总成立，则称数列an是'P(k)数列”.(1)证明：等差数列an是,P(3)数列”；(2)若数列an既是P(2)数列“，又是,P(3)数列”，证明：an是等差数列.28. (2016年北京)已知an是等差数列，bn是等差

9、数列，且b2 3, b3 9, a b , a14 b4.(I)求an的通项公式；(n)设Cn an bn,求数列cn的前n项和. 229. (2016年山东)已知数列 an的前n项和Sn 3n 8n , bn是等差数列，且anbnbn 1 .(I)求数列 bn的通项公式；.(a° 1)n 1(II)令cn (-nJr .求数列cn的前n项和Tn.(bn 2)30. (2015 福建)等差数列an中，a24,a4a715 .(i)求数列 an的通项公式；(n)设 bn 2an 2 n ,求 B b2 b3bi。的值.131. (2015山东)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列

10、的刖n项和为an an 1n2n 1(i)求数列an的通项公式；(n)设bn(an1)2an,求数列bn的前n项和Tn.32. (2015北京)已知等差数列an满足a1 a2 10, a4 a3 2 .(i)求an的通项公式；(n)设等比数列bn满足b2 a3, b3 a7.问：b6与数列an的第几项相等？33. (2014新课标1)已知 an是递增的等差数列， a2, a4是方程x2 5x 6 0的根.(i)求an的通项公式；(n)求数列-an-的前n项和.34. (2014新课标1)已知数列an的前n项和为Sn,a二1,an0, anan 1Sn1,其中为常数.(I)证明：an 2 an

11、；(n)是否存在，使得an为等差数列？并说明理由.35. (2014浙江)已知等差数列an的公差d 0，设an的前n项和为Sn, a1 1 , S2 S3 36(I)求 d 及 Sn ；* .(n)求 m,k ( m,k N )的值，使得 am am am 2 L am k 65.36. ( 2013新课标1)已知等差数列an的前n项和Sn满足S3 0 , S55 .(I)求an的通项公式；一 1 ，一 一(n )求数列的刖n项和.a2n 1a2n 137. (2013福建)已知等差数列an的公差d 1 ,前n项和为Sn.(I)若1,a1,a3成等比数列，求a1；(n)若S5 a1a9,求a1

12、的取值范围.38. (2013新课标2)已知等差数列an的公差不为零，a1 25,且a1，a. a13成等比数列.(I)求an的通项公式；(口)求 a a4+a7a3n 2 -39. (2013山东)设等差数列an的前n项和为Sn,且S44S2,a2n2an1(i)求数列 an的通项公式；a 1*(n)设数列bn的前n项和Tn,且Tn (一(入为常数)，令Cn b2n( n N ) .求数列Cn的前n项和Rn .40. (2011福建)已知等差数列 an中，a二1, a33.(i)求数列 斗 的通项公式；(n)若数列 斗 的前k项和Sk35 ,求k的值.41. (2010浙江)设a1，d为实数

13、，首项为a1，公差为d的等差数列an的前n项和为Sn,满足 S5S6+15=0.(1)若 S5 =5,求 S6 及 a1；(n)求d的取值范围.答案部分1.解析（1）设a的公差为d.由&a5 得 A 4d 0, /日 a1 2d 4由a3=4得1.小曰a1 8,d2丁 7.因此an的通项公式为an 102nn(n 9)dan (n 5)d,Sn (2)由(1)得 a14d，故2.由 a> 0知 d 0,故 Sn-an等价于 n2 11n 1Q 0,解得 1 n 10 .所以n的取值范围是n|1蒯n 10，n N.2 .解析在等差数列an 中由 a3 5a7d a7 a313,得

14、d W13 54S10 10 1所以 a1 a3 2d 5 4 1,则“101003 .解析（I）设等差数列an的公差为d ,等比数列 4 的公比为q依题意，得3q 3 2dd 3c 23q 15 4d ,解得 q 3 ,故 an3 3(n 1) 3n bn 3 3n 1 3n所以,an的通项公式为an 3n n Nbn的通项公式为 bn3n n N(n)a1cla2c2a2nC2na1a3a5a2n 1a2bla4 b2a6b3La2nbnn 3 吗6 6 3112 32 18 336n 3n3n2 6 1 31 2 32 L n 3n12nTn1 3 2 3 n 3233 13Tn 1 3

15、2 3 L n 32010-2019历年高考数学等差数列真题汇总5. C【解析】设等差数列an）的公差为d ,则& 3a> 3d，所以 12 3 2 3d2Tn33233.3nn3n 13 1 3nn 3n 1 (2n 1)3n 1 32Tn 故n 12n 1 334所以,2£a2G2L a2nC2n3n226Tn 3nn 12n 1 3324.解析(ai9a1则S8所以(2n 1)3n6n2 9 n设等差数列an的首项为a1,公差为d ,d )(a1 4d) a19 8d 2727d 0a1 d8 7d8a1 62( 5) 15 2162010-2018 年1. C【

16、解析】（S6S5)(S5 S4)a6a5 d0 ,可得 S4 +S6 2S5 .当S4 + S62s5 ,可得0 .所以“0”是“S4+S62s5”充分必要条件,选C.2. A【解析】a1 a3a53a3 3a31S55 a1a55.故选A.3. B【解析】设等差数列an的首项为a1,公差为Sg = 4S4所以8a1 +28 =4(4a1 +6),解得0 2 ,所以20194. C【解析】二.数列2为递减数列，a1ana1a1 (n 1)da1dna1 (a1 d)等式右边为关于n的一次函数，a1d °.2010-2019历年高考数学等差数列真题汇总解得d2,所以a6 126.B【解

17、析】由等差数列的性质得a1a7a3 a5 ,因为 a1a3 a5 10,所以a7 8，选B.7.m(a1 am)有题意知Sm=2=0SmSm 1) =-2,am 1 _ Sm 1Sm=3，公差 d = am 1-am=1. 3=am1=2m,m=5,故选 C.8. D【解析】设ana1 (n 1)d dn m,所以 p1 正确;如果an 3n 12 贝 U满足已知，但nan3n212n并非递增所以P2错；如果若an,则满足已知，但n ,是递减数列，所以 P3错；an3nd 4dnm ,所以是递增数列， P4正确.9. B解析由题意有a1 a5 2a3 10a35,又a4 7 . a4 a35

18、2,.d 210.a4 +a8 =2a6=16 a6=811S11 =一 而4+a112=11a6=88,故选B.11.由 S10S11得 anS11S10a1a11(111)d 010) ( 2)2012.a101101)10 (3 102)1 4)(7 10)9(1) (39 2)1)10(310 2)1513.因为a7是a3与a9的等比中项，所以2a7a3a9,又数列an的公差为-2,所以（a1_ 212)(a1 4)(a116),解得a120 ,故 an20 (n 1)(2) 22 2nS10 所以10(a aQ5 (20 2)11014. A【解析】a8S8S7 64 4915a1

19、201515. 5【解析】设该数列的首项为 a1,由等差数列的性质知1010所以 a1 2020 2015 516. 8【解析】二数列an是等差数列，且a7S8 09 3c8 0 %a7aioa8a90,a9 0 .当 n=8 时,其前n项和最大.1,17.8)a8解得由题意可知，当且仅当8时Sn取最大值,可得a918. 49【解析】设an的首项为a1,公差由S100§5252a1得3a19d 021d5 加/曰,解得a13,dnSn10n2132n 10n3203 n,2032036时,7时,7时,6373nSn取得最小值2a19. 20【解析】依题意2a1所以3a5 a7 3为

20、4d101036487249499d 10a1 6d4al18d20成.3a5 a72a3a82020. 1,n(n 1)4【解析】设公差为 d,则2a1a1 2 d，把a12代入得. a2 1Snjn(n 1), 一21. 35【解析】（解法一）因为数列an, bn都是等差数列，所以数列 anbn也是等差数列.故由等差中项的性质，得a5 ba1 bi 2 a3 b3即 a5 47 2 21 解得 a5 b5 35（解法二）设数列前， bn的公差分别为d1，d2因为 a3b3(a1 2d1)(bi2d2)(a1 n) 2(d1d2)72(di d2)21所以d1 d2 7所以a5b5(a3 b

21、3)2(di d2)3522 an 2n 10121,a3a21 2d(1d)2an2n 123 .10%的公S9S4 及 a1aka401 (k 1)(6)1 (4 1)1(-)06即k 1024【解析】（1）设an的公差为d,由题意得3d15所以an的通项公式为an 2n 922Snn 8n (n 4)16(2)由(1)得 n'7所以当n4时，Sn取得最小值，最小值为-16.25 【解析】(1)设等差数列an的公差为d,.a2 a3 5ln 2,2al 3d 5ln 2 ?又 ai ln 2 ,d ln2 . an a1 (n 1)d n In 2(2)由(1)知 an nln2,

22、annln2ln 2nne e e =2 ,an i.e 是以2为首项，2为公比的等比数列.aia2anln 2In 22In 2ne e L e e e Le=2 22 L2n=2n 1 2.ea1 ea2 lean =2n 1 2.26【解析】（I）设等差数列an的公差为d,等比数列bn）的公比为q.22由已知b2 b3 12,得n（q q） 12,而立2,所以q q 6 °.又因为q 0,解得q 2所以，bn 2n.由 b3a42a1,可得 3da18,由S111b4,可得 a5d16，联立，解得a1 1,d 3,由此可得an 3n 2所以，an的通项公式为an 3n 2 ,

23、bn的通项公式为bn 2（n）解：设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n 6n 2,有Tn 4 2 10 22 16 23 L (6n 2) 2n2Tn 4 22 10 23 16 24 L(6n 8) 2n(6n 2) 2n 1上述两式相减，得Tn4 2 6 22 6 23 L6 2n (6n 2) 2n 112 (1 2n)1 2 n 14 (6n 2) 2(3n 4)2n 2 16得 Tn(3n 4)2n 2 16所以，数列a2nbn的前n项和为(3n 4)2n 2 1627【解析】证明：（1）因为an是等差数列，设其公差为d ,则an a1 （n 1）d ,从而，当n>4时，

24、an k an ka1(n k 1)d a1 (n k 1)d2010-2019历年高考数学等差数列真题汇总2&2(n 1)d2a0k 1,2,3,所以 an 3an2+an 产an1an 2+an 36Hn ,因此等差数列an是“ P(3)数列”(2)数列an既是“ P(2)数列”，又是“ P数列”，因此,21 32当 n 3时，an 2 an 1an 1 an 2 4an,当n 4时,an 3 an 2an 1an 1 an 2an 36an由知，an3 an 24an 1(anan 1)an 2an 34an 1(an 1 an) , Q将代入，得an1 an 1 2an,其中n

25、 4,a3 d'所以a3，a4，a5，L是等差数列，设其公差为 d'.在中，取n 4,则a2 a3 a5 a6 4a4,所以a2在中，取n 3,则ai a2 a4 %4a3,所以a1a2 2d'所以数列an是等差数列28【解析】(I)等比数列bn的公比b3b2bib2 1 qb4 b3q 27设等差数列 an的公差为d .因为 a1 b11 , a14 b427 ,所以 113d 27 ,即 d 2所以 an 2n 1( n 1,2,3,).n 1(II)由(I)知，an 2n 1, bn 3.n 1因此cn an bn 2n 1 3 .从而数列cn的前n项和Sn 1

26、3 2n 1 1 33n 1n 1 2n 11 3n2 3n 1 n 2010-2019历年高考数学等差数列真题汇总29【解析】(I)由题意当n 2时，anSn Sn 1 6n 5当n 1时，a1&11；所以an 6n 5；设数列的公差为d ,ab1b2由 a2b2b3,即11 2bl d17 2b13d ,解之得 b1 4 d 3 ,所以 bn 3n 1 .3(n 1) 2n 1(3n 3)Tnc1 c2 c3cn(n)由(i)知_234n 1 _即 Tn32 23 24 2 (n 1)2 所以 2Tn32 23 3 24 4 25(n 1)2n2,以上两式两边相减得Tn32 22

27、23242n 1 (n 1)2n 24(21)n 2.n3n 234 42； (n 1)2 n 2所以Tn3n 230【解析】(I)设等差数列 an的公差为d .a1 d 4a 3a1 3d a1 6d 15d 1由已知得 11,解得所以 an q n 1 d n 2(n)由(i)可得bn2n所以b1 b2 b3(210 10)23b10(2 1) (22) (23)(2 22 23 210)(1+2+3+10)_102(1 2 ) (1 10) 10/c11111 22(22) 55 253 210131 .【解析】(I )设数列 an的公差为d ,1令 n 1 ,得 a1a213 ,所以a

28、1a211令 n 2 ,得 a1a2a2a325 ,所以a2a315解得a1 1，d 2,所以an 2n 12n 4n1(n)由(i)知 bn 2n 2 n 4 ,所以 Tn 1 4 2 4所以 4Tn 1 42 2 43 (n 1) 4n n 4n 1两式相减，得123Tn 444n4n4(1 n4n1 3 4n1 41 433=n 13n In 144 (3n 1) 4Tn 4所以 99932 【解析】（I ）设等差数列an的公差为d .因为a4 a32 ,所以d 2 .又因为a1 a2 10 ,所以2a1 d 10,故a1所以an4 2(n 1) 2n 2(n 1,2,L )（n）设等比

29、数列bn的公比为q .因为b2 a3 8, b3 a7 16 ,所以q 2, b1 4,所以 b6 4 261 128由128=2n 2得n 63 .所以b6与数列国的第63项相等.33【解析】（I）方程x25x 6 0的两根为2,3,由题意得a22,a43d 1 a3设数列an的公差为d ,则a4a22d,故 2 ,从而a12,1aan -n 1所以an的通项公式为 2.(n)设Sn3223an423423 24的前n项和为Sn，由n 12nn2n 1n 22n 1 ,n 22n 2ann(I )知22n两式相减得1S 3 工 2Sn 4 (23,)2n 1)n 22n 23 13 -(14

30、 4-X)2n 1)2010-2019历年高考数学等差数列真题汇总cc n 4Sn2 n-T所以234【解析】(I)由题设，anan 1Sn 1,an 1an 2Sn 1 1.两式相减得an 1(an 2 a)an 1.由于an 1 0 ,所以an 2 an(n)由题设，a1 1, a1a2S1 1,可得 a21.由(I)知，a31.令 2a2 a1 a3,解得 4.故an 2 an 4,由此可得a2n 1是首项为1,公差为4的等差数列，a2n 1 4n 3;a2n是首项为3,公差为4的等差数列，a2n 4n 1 .所以 an 2n 1 , an 1 an 2因此存在4,使得数列 an为等差数

31、列.35【解析】(I)由题意，(2a1 d)(3a1 3d) 36,将a1 1代入上式得d 2或d 5,2因为 d 0,所以d 2,从而 an2n1 , Snn ( nN)(n)由(i)知，anan 1ank (2mk 1)(k1),所以(2m k 1)(k 1) 65,由 m,k N 知，(2m k 1)(k 1) 1,2m k 1 13 m 5所以k 1 5 ，所以k 4.236 【解析】设an的公差为d ,则0n =na1n(n 1)d2010-2019历年高考数学等差数列真题汇总由已知可得3al 3d 0, 解得a 1,d5a1 10d5,1.故an的通项公式为an=2-n.(n)由(i)知 a2n 1a2n 1(3 2n)(1 2n) 2(2n 32T),从而数列a2n 1a2 n 1的前n项和为1J-11 1+ 1 1-1+L +32n 3