考研数学高等数学强化习题-定积分(应用)

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2、条切线,使该曲线与切线及直线所围成的平面图形面积最小. 6、计算抛物线与直线所围成的图形面积。7、求椭圆所围成图形的面积。8、求下列各曲线围成的图形的面积（1） （2） 二简单几何体的体积9、曲线及直线围成的图形绕轴旋转而成的立体的体积是（ ） 10、设曲线方程为（1）把曲线轴、y轴和直线所围平面图形绕x轴旋转一周，得一旋转体，求此旋转体体积求满足的(2)在此曲线上找一点，使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大，并求出该面积.11、设抛物线过原点，当时又已知该抛物线与x轴及直线所围图形的面积为试确定使此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.12、过坐标原点作曲线的切线，该切线与

3、曲线以及轴围成的向轴负向无限延伸的平面图形记为（1）求的面积（2）求饶直线所成旋转体体积13、设曲线（）与曲线交于点,过坐标原点和点的直线与曲线围成一平面图形（1）求饶轴旋转一周所成的旋转体体积（2）求的值使为最大14、在曲线上某点A处作切线，使之与曲线及x轴所围图形的面积为试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程；（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积。15、过原点作曲线的切线，该切线与曲线以及围成平面图形（1）求的面积（2）求绕直线旋转一周所得旋转体的体积16、求曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转所得的旋转体体积.17、设曲线及直线所围成图形绕轴旋转的体积。三曲线弧

4、长（*数学一、数学二）18、曲线，从到的弧长为（） 19、计算曲线上相应于的一段弧长。20、求对数螺旋线，相应于的一段弧长。21、求曲线，相应于的一段弧长。22、求心形线的全长。23、求抛物线，被圆所截下的有限部分弧长。四旋转曲面面积（*数学一、数学二）24、已知摆线的参数方程为，其中，常数，设摆线一拱的弧长的数值等于该弧段饶轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值，求25、设有曲线,过原点作其切线,求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积.26、由曲线段绕轴的旋转面面积.五物理应用（*数学一、数学二）27、曲线，的质心为 28、半径为的球沉入水中，球的上部与水面相切

5、，球的密度与水相同，现将球从水中取出，需要多少功？ 29、一圆柱形的贮水桶高为，底圆半径为，桶内盛满水，试问要把桶内的水全部吸出来需要做多少的功。30、用铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉入木板的深度成正比，在击第一次时，将铁钉击入木板。如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等，问铁锤第二次时，铁钉又击入多少？ 31、等腰梯形的闸门，它的两条底边各长和，高为，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力(重力加速度按计算)。32、一底为，高为的等腰三角形片，铅直的沉入到水中，顶在上，底在下且与水面平行，而顶离水面，试求它的每面所受的压力(重力加速度按计算)。33、求下列平面图形的形心坐

6、标：（1）平面区域：；（2）曲线：；（3）平面区域：.参考答案一平面图形的计算1、2、【解析】：（1）的斜渐近线为 所以斜渐近线方程为：（2）若，即如果，无论均有这与的面积为有限值矛盾，所以当时，0，此时3、【答案】【解析】O2先解出两条曲线在平面的交点,即令,解得和,故所围成的平面图形如右图所示:所求面积为 4、【解析】先求出曲线和的交点,然后利用定积分求出平面图形面积和,如图： 由 得 所以 , .又因为,所以,即,解得5、【解析】过曲线上已知点的切线方程为,其中当存在时,.O2如图所示,设曲线上一点处的切线方程为,化简即得 .面积 ,其一阶导数 .令解得唯一驻点,而且在此由负变正,即在单

7、调递减,在单调递增,在此过程中在时取极小值也是最小值,所以将代入先前所设的切线方程中,得所求切线方程为.6、答案：7、答案：8、（1）答案：（2）答案：二简单几何体的体积9、10、【解析】：（1）要即得（2）设切点为则切线方程为令得令得切线与坐标轴所夹面积令得由于当时，当时，故当时，面积S有极大值，即最大值。所求切点为最大面积11、【解析】：曲线过原点，由题设有即及令得代入b的表达式得又因及实际情况，知当12、【解析】：设切点为，于是曲线在点的切线斜率为 故切线方程为：此切线经过点，所以，再由即切线方程为：（1）易得：（2）饶直线旋转一周所成的旋转体积13、【解析】：的交点，直线的方程为（1）

8、旋转体体积 （2）在时得的唯一驻点当时，当时，故为的唯一极大值点，为最大值点14、【解析】：设切点A的坐标为则过A点的切线的斜率为切线方程为即切线与x轴的交点为曲线、x轴及切线所围图形面积为由题设因此于是，切点A的坐标为过切点的切线方程为旋转体的体积为15、【解析】： (1) 设切点的横坐标为，则曲线y=lnx在点处的切线方程是 由该切线过原点知 ，从而 所以该切线的方程为 平面图形D的面积 （2） 切线与x轴及直线x=e所围成的三角形绕直线x=e旋转所得的圆锥体积为 曲线y=lnx与x轴及直线x=e所围成的图形绕直线x=e旋转所得的旋转体体积为 ，因此所求旋转体的体积为 16、O2【解析】如右图所示,曲线左右对称,与轴的交点是.只计算右半部分即可.作垂直分割,相应于的小竖条的体积微元：,于是 .17、三曲线弧长（*数学一、数学二）18、19、答案：20、答案：21、答案：22、答案：23、答案：四旋转曲面面积（*数学一、数学二）24、【解析】：摆线一拱弧长 摆线一拱饶轴旋转一周所生产的旋转曲面面积为按题意，25、1 2 x(2,1)Oy1【解析】先求切线方程：处的切线为.以代入切线方程,解得,切线方程为.(见右图)由曲线段绕轴的旋转面面积由此,旋转体的表面积为26、五物理应用（*数学一、数学二）27、