考研数学概率论与数理统计强化资料-多维随机变量

1、 点这里，看更多数学资料 考研数学怎么复习？在考研复习中，复习资料的选择至关重要。中公考研辅导老师为考生整理了【概率论与数理统计-多维随机变量知识点讲解和习题】，同时可以为大家提供名师考研数学视频、考研数学复习资料、考研数学真题和考研数学辅导等，助您冲击名校！模块五 多维随机变量 教学规划【教学目标】1、理解二维随机变量的分布函数、分布律、概率密度的基本概念2、掌握二维随机变量的分布函数、分布律、概率密度的常用性质和公式3、掌握常见的二维随机变量的基本性质和公式【主要内容】1、二维随机变量联合分布函数的定义和性质2、二维离散型随机变量及其联合分布律3、二维连续型随机变量及其联合概率密度4、二维

2、均匀分布5、二维正态分布【重难点】1、二维连续型随机变量联合概率密度的定义与性质2、二维均匀分布与正态分布的基本性质与公式 知识点回顾一多维随机变量及其分布函数1.多维随机变量设随机试验的样本空间为， 是定义在上的个随机变量，则由它们组成的向量值函数称为上的维随机变量.2.二维随机变量的分布函数1）定义设是二维随机变量，是任意实数，二元函数称为二维随机变量的分布函数，也称为随机变量和的联合分布函数.2）性质(1)关于变量是单调不减的；(2)，且对于任意固定的有，；(3)关于变量右连续；(4)对于任意的，下述不等式成立：二离散型随机变量及其分布律1.定义二维离散型随机变量的定义与一维的类似，就是

3、所有可能的取值为有限个或可列无限个的随机变量。或者可以说对于二维随机变量来说，如果都是离散型的，则称为二维离散型随机变量。2.分布律设随机变量所有可能的取值分别为，取各个可能取值的概率为，我们将它称为二维随机变量的分布律，或称为随机变量和的联合分布律。一般情况下，我们用如下的表格来表示二维随机变量的分布律：易知，二维随机变量的分布律有如下性质：。三连续型随机变量及其概率密度1.定义如果二维随机变量的分布函数可以写成如下形式则称是连续型的二维随机变量，函数称为的概率密度，或称为随机变量和的联合概率密度。2.概率密度的性质1）；2）；3）在连续的前提下，；4）设是平面上的区域，则随机变量落在该区域

4、内的概率为。四常见分布1.二维均匀分布设是平面上有界区域，其面积为，如果随机变量的概率密度为，则称随机变量在区域上服从均匀分布。2.二维正态分布1）定义设二维随机变量的概率密度为其中都是常数，且，则称服从参数为的二维正态分布，记作。2）性质：(1)二维正态分布的边缘分布仍为正态分布，并且，。(2) 设二维随机变量服从正态分布，则对任意的常数，服从正态分布 (3) 设，且相互独立，则(4)设二维随机变量服从正态分布，则独立的充要条件是，也即互不相关。考点精讲一二维离散型随机变量的联合分布律【例1】将两封信随机投入编号为的三个邮筒中，设分别表示邮筒中的信的数目，令，试求的联合分布律.【答案】【例2

5、】将一枚质地均匀的硬币连掷三次，以表示三次试验中出现正面的次数，表示出现正面的次数与出现反面次数的差的绝对值，求的联合分布律.【答案】【例3】设随机变量服从参数为的泊松分布，随机变量.求：与的联合分布律.【答案】二二维连续型随机变量的联合概率密度【例4】设随机变量的概率密度为：，试求：（1）常数；（2）.【答案】（1）；（2）【例5】设的概率密度为则_.【答案】【例6】：给定非负函数，它满足，令试证明是某二维连续型随机变量的概率密度。三联合分布函数的计算【例7】已知随机变量的联合概率密度为，求的联合分布函数.【答案】【例9】设二维随机变量的概率密度为：，求的联合分布函数.【答案】四二维均匀分布【例9】设二维随机变量在区域上服从均匀分布，记.求：（1）的联合分布律；（2）.【答案】(1)(2) 【例10】设随机变量服从上的均匀分布，定义随机变量如下：,求的联合分布律和.【答案】五二维正态分布【例11】设服从二维正态分布，则_.【答案】【例12】二维随机变量服从二维正态分布，试计算。【答案】【例13】设服从，且，则（ ）（A） （B）（C） （D）【答案】（D） 测试成绩在紧张的复