高等数学第六版第同济版六章教案

1、 授 课 教 案课程名称： 高等数学 教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第六章 定积分的应用 第1节 定积分的元素法教学目标掌握元素法的过程教学重、难点掌握元素法的过程教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：、问题的提出回顾：曲边梯形求面积的问题abxyoabxyo曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第 个小窄曲边梯形的面积为，则.（2）计算的近似值，（3） 求和，得A的近似值（4） 求极限，得A的精确值提示： 若用 表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则

2、，并取，于是 备注： 提示： 若用 表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则，并取，于是 当所求量符合下列条件：（1）是与一个变量的变化区间有关的量；（2）对于区间具有可加性，就是说，如果把区间分成许多部分区间，则相应地分成许多部分量，而等于所有部分量之和；（3）部分量的近似值可表示为；就可以考虑用定积分来表达这个量元素法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的变化区间；2）设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值.如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即；3）以所求量的元素为被积表

3、达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式.这个方法通常叫做元素法练习设计课后习题2 （4-6）教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2学时至少制定一个教案。2课型包括新授课、练习课、复习课、讲评课、实验课等。3上新课和新上课的教师要求写详案。4要求教师上课必带教案。5“备注”填写历年更新的内容（手写）。6教案可带附件（课程内容补充材料）。教 案授课学时2学时课型新授课教学内容（章节）第六章 定积分的应用 第2节 定积分在几何上的应用教学目标计算面积与体积教学重、难点用定积分计算图形的面积与体积教学方法及手段讲练结合法/板书教学教学准备教材，辅助教材教学过程：曲边梯形的面积曲边梯形

4、的面积例1 计算由两条抛物线和所围成的图形的面积.解: 两曲线的交点, 选为积分变量面积元素 例2 计算由曲线和所围成的图形的面积. 备注：解: 两曲线的交点, 选为积分变量面积元素 例2 计算由曲线和直线所围成的图形的面积.解：两曲线的交点 选为积分变量 如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积（其中和对应曲线起点与终点的参数值）在,（或,）上具有连续导数，连续.例3 求椭圆的面积.解：椭圆的参数方程由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 二、极坐标系情形设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积这里，在上连续，且面积元素：，曲边扇形的面积：例4求心形线所围平面图形的面积. 利用对称性知

5、一、旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴圆柱圆锥圆台一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？xyo取积分变量为， ，在上任取小区间，取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，旋转体的体积为例1 连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形将它绕轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积解：直线方程为，取积分变量为，在上任取小区间，以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体

6、积为圆锥体的体积 类似地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为 例3 求摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、轴旋转构成旋转体的体积.解：绕轴旋转的旋转体体积 绕轴旋转的旋转体体积可看作平面图与分别绕轴旋转构成旋转体的体积之差. 补充：如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为利用这个公式，可知上例中 二、平行截面面积为已知的立体的体积如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.表示过点且垂直于轴的截面面积，为的已知连续函数，立体体积例5 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.取坐标系如图底圆方程为垂直于轴的截面为直角三角形，截面面积立体体积 例6 求以半径为的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为的正劈锥体的体积.底圆方程为垂直于轴的截面为等腰三角形截面面积立体体积 练习设计课后习题2 教学反思与学生一起做练习，边讲边练注：1每2