二元一次方程组竞赛题集(答案解析解析)

1、二元一次方程组典型例题【例1】已知方程组的解x, y满足方程5x-y=3，求k的值.【思考与分析】本题有三种解法，前两种为一般解法，后一种为巧解法(1) 由已知方程组消去 k，得x与y的关系式，再与5x-y=3联立组成方程组求出 x，y的值，最后将x, y的值代入方程组中任一方程即可求出k的值.(2) 把k当做已知数，解方程组，再根据 5x-y=3建立关于k的方程，便可求出 k 的值(3) 将方程组中的两个方程相加，得5x-y=2k+11 ，又知5x-y=3，所以整体代入即可求出k的值34尸21 L解法一:Q得玄-7尸一把代入，得“_©沾，得54尸-52,骡得尸-晋 杷尸等代人得弘十

2、爷-4 解得*咅-，解得 k=-4.解法二：X3X2,得 17y=k-22 ,杷汗罟代入得2托K(骨冶ffi注卫F和尸垢®代人,得号孚罟=3厢得27解法三：+，得5x-y=2k+11.又由 5x-y=3，得 2k+11=3 ，解得 k=-4.有思【小结】 解题时我们要以一般解法为主，特殊方法虽然巧妙，但是不容易想到,当然，巧妙解法很容易想考巧妙解法的时间， 可能这道题我们已经用一般解法解了一半了, 到的话，那就应该用巧妙解儿一次方程组能力提升讲义知识提要.兀一次方程组aixa2xby Cl的解的情况有以下三种:b2y c2aibicLa2b2C2aibiCia2b2C2aib(即;a

3、2b2Cib2c2biaib2a2biC2 aiCia2当当当ai b2a 2d时，方程组有无数多解。（两个方程等效）时，方程组无解。（两个方程是矛盾的）aib2 a2bi丸）时，方程组有唯一的解:（这个解可用加减消元法求得）方程的个数少于未知数的个数时，一般是不定解，即有无数多解，若要求整数解，可按元一次方程整数解的求法进行。求方程组中的待定系数的取值，一般是求出方程组的解（把待定系数当己知数），再解含待定系数的不等式或加以讨论。（见例例题1.有无数多解，2.无解，3.有唯一的5x y 7例1.选择一组a,c值使方程组ax 2y c【思考与分析】本例是一个含字母系数的方程组 解含字母系数的方

4、程组同解含字母系数的方程一样，在方程两边同时乘以或除以字母表示的系数时，也需要弄清字母的取值是否 为零.解：由，得 y=4 mx ,把代入，得2x+5 (4 mx ) =8 ,解得 (2 5m ) x=-12，当 2 5m = 0 ,即m = 时，方程无解，则原方程组无解.b I12当2 5m工0，即m丰' 时，方程解为-:二 127_ B -8将代入，得 - 12_故当m丰' 时,原方程组的解为5m-23-B/n2-5m的解是正数?x y a例3. a取什么值时，方程组5x 3y 312x my 4例4. m取何整数值时，方程组， 的解x和y都是整数?x 4y 1二元一次方程

5、组的特殊解法1. 二元一次方程组的常规解法， 是代入消元法和加减消元法。这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把 解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未 知”转化到“已知”的重要数学化归思想。2、灵活消元（1）整体代入法y 1 x 21.解方程组 432x 3y 1(2) 先消常数法2解方程组4x3x3y2y315(3) 设参代入法3. 解方程组x 3y 2x : y 4: 3(4) 换元法x y x y4. 解方程组 233 xy 4 x(5) 简化系数法4x 3y 315解方程组3x 4y 42课堂练习1 .不解方程组，判定下列

6、方程组解的情况:x 2y 32xy 33x5y13x 6y 94x2y 33x5y12. a取哪些正整数值，方程组 x 2y 5 a的解和旳都是正整数?3x 4y 2ak应取哪些整数值?x ky k3.要使方程组的解都是整数,x 2y 1二元一次方程组应用探索【知识链接】列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；（3 ）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；（5）答：

7、在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案二元一次方程组是最简单的方程组，其应用广泛，尤其是生活、生产实践中的许多问题,大多需要通过设元、布列二元一次方程组来加以解决，现将常见的几种题型归纳如下:、数字问题例1 一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和大9 ;如果交换十位上的数与个位上的数，所得两位数比原两位数大27，求这个两位数.分析：设这个两位数十位上的数为x,个位上的数为y，则这个两位数及新两位数及其之间的关系可用下表表示:十位上的数个位上的数对应的两位数相等关系原两位数xy10x+y10x+y=x+y+9新两位数yX10y+x10y+x=10x+y+27解方程组14 .10

8、x y x y 9x 1，得，因此，所求的两位数是10y x 10x y 27 y 4点评：由于受一元一次方程先入为主的影响，不少同学习惯于只设一元， 然后列一元次方程求解，虽然这种方法十有八九可以奏效，但对有些问题是无能为力的，象本题，如果直接设这个两位数为 x,或只设十位上的数为 x,那将很难或根本就想象不出关于 x的方程.般地，与数位上的数字有关的求数问题，一般应设各个数位上的数为“元”，然后列多元方程组解之.二、禾U润问题例2 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利20% ;如果打八折出售可以盈利10元,问此商品的定价是多少？分析：商品的利润涉及到进价、定价和卖出价，因此，设此商品的定价

9、为x元，进价为y元，则打九折时的卖出价为 0.9x元，获利（0.9x-y）元，因此得方程 0.9x-y=20%y ;打八折时的卖出价为 0.8x元，获利（0.8x-y）元，可得方程0.8x-y=10.0.9x y 解方程组0.8x y20%yx 20010 ，解得 y 150，因此，此商品定价为200 元.点评：商品销售盈利百分数是相对于进价而言的，不要误为是相对于定价或卖出价.利润的计算一般有两种方法，一是：利润=卖出价-进价；二是：利润=进价X利润率（盈利百分数）特别注意“利润”和“利润率”是不同的两个概念.三、配套问题例3 某厂共有120名生产工人，每个工人每天可生产螺栓25个或螺母20

10、个，如果一个螺栓与两个螺母配成一套，那么每天安排多名工人生产螺栓,多少名工人生产螺母，才能使每天生产出来的产品配成最多套?分析：要使生产出来的产品配成最多套，只须生产出来的螺栓和螺母全部配上套，根据题意，每天生产的螺栓与螺母应满足关系式：每天生产的螺栓数X2=每天生产的螺母数X1 .因此，设安排x人生产螺栓，y人生产螺母，则每天可生产螺栓25 x个，螺母20 y个,依题意，得x y 120x 2050x 220y 1，解之，得 y 100 故应安排20人生产螺栓，100人生产螺母.点评：产品配套是工厂生产中基本原则之一，如何分配生产力,使生产出来的产品恰好配套成为主管生产人员常见的问题，解决配

11、套问题的关键是利用配套本身所存在的相等关系，其中两种最常见的配套问题的等量关系是:（1）“二合一”问题：如果a件甲产品和b件乙产品配成一套，那么甲产品数的b倍等于乙产品数的心即甲产品数乙产品数;b(2)“三合一”问题：如果甲产品a件，乙产品b件，丙产品c件配成一套，那么各甲产品数乙产品数丙产品数种产品数应满足的相等关系式是：abc四、行程问题例4 在某条高速公路上依次排列着 A、B、C三个加油站，A到B的距离为120千米, B到C的距离也是120千米分别在 A、C两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同 时以相同的速度驾车沿高速公路逃离现场，正在B站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相

12、同的速度分别往A、C两个加油站驶去，结果往 B站驶来的团伙在1小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住，而另一团伙经过3小时后才被另一辆巡逻车追赶上问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少？【研析】设巡逻车、犯罪团伙的车的速度分别为x、y千米/时，则3 x y 120，整理，得x y 120x y 40x 80x y 120，解得 y 40，因此，巡逻车的速度是 80千米/时，犯罪团伙的车的速度是40千米/时.点评：“相向而遇”和“同向追及”是行程问题中最常见的两种题型，在这两种题型中都存在着一个相等关系，这个关系涉及到两者的速度、原来的距离以及行走的时间，具体表现在：“相向而遇”时，两者所走的路

13、程之和等于它们原来的距离；“同向追及”时，快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离.五、货运问题典例5某船的载重量为 300吨，容积为1200立方米，现有甲、乙两种货物要运，其中甲种货物每吨体积为 6立方米，乙种货物每吨的体积为2立方米，要充分利用这艘船的载重和容积，甲、乙两重货物应各装多少吨?分析：“充分利用这艘船的载重和容积”的意思是“货物的总重量等于船的载重量”且“货物的体积等于船的容积” 设甲种货物装x吨，乙种货物装y吨，则x6xy 3002y 1200，整理，得x y 300x 1503x y 600，解得 y 150，因此，甲、乙两重货物应各装150吨.点评：由实际问题列

14、出的方程组一般都可以再化简,因此，解实际问题的方程组时要注意先化简，再考虑消元和解法， 这样可以减少计算量，增加准确度化简时一般是去分母或 两边同时除以各项系数的最大公约数或移项、合并同类项等.六、工程问题例6某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成，按照这个服装厂原来的生产能力，每天可生产这种服装150套，按这样的生产进度在客户要求的期限4内只能完成订货的；现在工厂改进了人员组织结构和生产流程，每天可生产这种工作服5200套，这样不仅比规定时间少用1天，而且比订货量多生产 25套，求订做的工作服是几套？要求的期限是几天？分析：设订做的工作服是 x套，要求的期限是 y天，依题

15、意，得x 3375y 18150y x5，解得200 y 1 x 25点评：工程问题与行程问题相类似，关键要抓好三个基本量的关系，即“工作量=工作时间x工作效率”以及它们的变式“工作时间 =工作量十工作效率，工作效率 =工作量十工作 时间” 其次注意当题目与工作量大小、多少无关时，通常用“1”表示总工作量.【例7】某种商品价格为每件3 3元，某人身边只带有2元和5元两种面值的人民币各若干张，买了一件这种商品若无需找零钱，则付款方式有哪几种(指付出2元和5元钱的张数)？哪种付款方式付出的张数最少？【思考与分析】本题我们可以运用方程思想将此问题转化为方程来求解我们先找出问题中的数量关系，再找出最主

16、要的数量关系，构建等式然后找出已知量和未知量设元，列方程组求解最后，比较各个解对应的x+y的值，即可知道哪种付款方式付出的张数最少解： 设付出2元钱的张数为 x，付出5元钱的张数为 y，则x ,y的取值均为自然数依题意可得方程：2x+5y=33.因为5y个位上的数只可能是0或5,不=4.4,r=5Pr=3/y=l-所以第一种付款方所以2x个位上数应为3或8又因为2 x是偶数，所以2 x个位上的数是8,从而此方程的解为:得 x+y=12 ;由“a得 x+y=15.y=l式付出的张数最少答：付款方式有3种，分别是：付出4张2元钱和5张5元钱；付出9张2元钱和3张5元钱；付出14张2元钱和1张5元钱

17、 其中第一种付款方式付出的张数最少【例8】某中学新建了一栋 4层的教学大楼，每层楼有8间教室，这栋大楼共有4道门, 其中两道正门大小相同，两道侧门大小也相同安全检查中，对 4道门进行了训练：当同时开启一道正门和两道侧门时，2分钟内可以通过 560名学生；当同时开启一道正门和一道侧门时，4分钟可以通过800名学生(1)求平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过多少名学生？20 % 安全检查规定，在（2）检查中发现，紧急情况时因学生拥挤，出门的效率将降低紧急情况下全大楼的学生应在5分钟内通过这4道门安全撤离假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生，问：建造的这 4道门是否符合安全规定？请说明理由【思

18、考与解】（1 ）设平均每分钟一道正门可通过 x名学生，一道侧门可以通过 y名学生根据题意，得4*十刃TVO+吋|尸旳*所以平均每分钟一道正门可以通过学生120人，一道侧门可以通过学生80人.（2）这栋楼最多有学生 4X8 X45=1440 （人）拥挤时5分钟4道门能通过5 X2 x(120+80 )X( 1-20% ) =1600(人)因为1600>1440 ，所以建造的4道门符合安全规定答:平均每分钟一道正门和一道侧门各可以通过120名学生、80名学生；建造的这4道门符合安全规定【例9】某水果批发市场香蕉的价格如下表:数（千竟年坦过20干克细千克以上但40千克以上專千克俏 搐b元斗元张

19、强两次共购买香蕉 50千克（第二次多于第一次），共付款 264元，请问张强第一次、 第二次分别购买香蕉多少千克？【思考与分析】要想知道张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克，我们可以从香蕉的价格和张强买的香蕉的千克数以及付的钱数来入手通过观察图表我们可知香蕉的价格分三段，分别是6元、5元、4元相对应的香蕉的千克数也分为三段， 我们可以假设张强两次 买的香蕉的千克数分别在某段范围内， 利用分类讨论的方法求得张强第一次、 第二次分别购 买香蕉的千克数解：设张强第一次购买香蕉x千克，第二次购买香蕉y千克由题意，得 0<x<25当0<x <20 , yW4O时，由题意，得兽兽得

20、S-L4 ry=36.当0<x <20 , y>40时，由题意，得解得X = ry=l8.（与 0<x <20 , y <40 相矛盾，不合题意，舍去）.当 20<x<25 时，25<y<30 .此时张强用去的款项为5x+5y=5 （ x+y ）=5 X50=250<264（不合题意，舍去）综合可知，张强第一次购买香蕉14千克，第二次购买香蕉 36千克.答：张强第一次、第二次分别购买香蕉14千克、36千克.【反思】我们在做这道题的时候， 一定要考虑周全，不能说想出了一种情况就认为万事大 吉了，要进行分类讨论，考虑所有的可能性，看有几种