2020年中考复习练习胡不归问题专题训练含答案解析

1、2020 年中考复习练习胡不归问题专题训练解析试题（共 8 小题）1如图， ABC 在直角坐标系中， ABAC，A（0，2 ），C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为ADC，点 P在AD 上的运动速度是在 CD上的D 的坐标应为（3 倍，要使整个运动时间最少，则点2如图，在平面直角坐标系中，二次函数C（0，D（0， ）yax2+bx+c的图象经过点 A（ 1，0），B（0，第1页（共 27页），C（2，0），其对称轴与 x 轴交于点1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 PB+PD 的最小值为3）M（x，t）

2、为抛物线对称轴上一动点 若平面内存在点 N，使得以 A，B，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有个；的最小值为AP+BP+PD上CAE 30°， O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE1）试说明 CE 是 O 的切线；若 ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示 O 的直径 AB；设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点），连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 63）y x+3 交于 A，B两点，交 x 轴于 D，C 两点，连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3， 0）求抛物线的解析式和 tan BAC 的值；（）在（）条件下：（1

3、）P为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQPA交 y轴于点 Q，问：是 否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与 ACB 相似？若存在， 请求出所有符合条 件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段 AC上一点（不含端点） ，连接 DE，一动点 M从点 D出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止，B 两点， 与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 yx+b 与抛物线的另一交点为 D ，与 y轴交于点 E，且 DE： BE2：3（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 P 为线段 BD 上一

4、点（不含端点） ，连接 AP，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AP 以每秒 1个单位的速度运动到 P，再沿线段 PD以每秒 2个单位的速度运动到 D后停止当 点 P 的坐标是多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？（3）将 ABC绕点 B顺时针旋转 （0°< <180°），当点 A的对应点 A'落在 ECB7二次函数yax2 2x+c 的图象与x 轴交于 A 、C 两点，点 C（ 3，0），与 y 轴交于点B（0， 3 ）1）a， c；2）如图 1，P是x轴上一动点，点 D（0，1）在 y轴上，连接 PD，求 PD+PC的最小值；3）如图 2，点

5、M 在抛物线上，若 SMBC 3，求点 M 的坐标8已知抛物线 ya（ x+3）（ x 1）（a 0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y x+ b 与抛物线的另一个交点为 D1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式；第3页（共 27页）（ 2）若在（ 1）的条件下，抛物线上存在点P，使得 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在（1）的条件下，设点 E是线段 AD 上的一点（不含端点） ，连接 BE一动点 Q 从点 B出发，沿线段 BE以每秒 1个单位的速度运动到点 E，再沿线段 ED 以每秒 个

6、单位的速度运动到点 D 后停止， 问当点 E 的坐标是多少时， 点 Q 在整个运动过程中所用时间最少？3 倍，要使整个运动时间最少，则点设 t 等式变形为：t2+(+，t+ y ，则 t 的最小值时考虑 y的取值即可，2y2） t+（ y） y +1， y2+ (+(（y t)2t)yt224×22t+1 0， t2+t+1)0，2020 年中考复习练习胡不归问题专题训练解析参考答案与试题解析试题（共 8 小题）1如图， ABC 在直角坐标系中， ABAC，A（0，2 ），C（1，0），D 为射线 AO 上一点，一动点 P 从 A 出发，运动路径为ADC，点 P在 AD 上的运动速度

7、是在 CD上的D 的坐标应为（C（0，D（0，）分析】 假设 P 在 AD 的速度为 3，在 CD 的速度为 1，首先表示出总的时间，再根据根的判别式求出 t 的取值范围，进而求出 D 的坐标解答】 解：假设 P 在 AD 的速度为 3，在 CD 的速度为 1，设 D 坐标为（ 0， y），则 AD 2 y，CD ，故选 D 第5页（共 27页） t 的最小值为，y点 D 的坐标为（ 0，解法二：假设 P 在 AD 的速度为 3V，在 CD 的速度为 1V，+总时间t （ +CD），要使 t 最小，就要第37页（共 27页）因为 ABAC3，过点 B 作 BHAC 交 AC 于点 H，交 OA

8、 于 D，易证 ADH ACO，所以3，所以DH，因为 ABC 是等腰三角形，所以BDCD ，所以要+CD 最小，就是要 DH+BD 最小，就要 B、D、H 三点共线就行了因为 AOCBOD，所以，所以 OD 所以点 D 的坐标应为点评】 本题考查了勾股定理的运用、一元二次方程根的判别式（b24ac)判断方程的根的情况以及坐标于图形的性质题目的综合性较强，难度较大2如图，在平面直角坐标系中，二次函数yax2+bx+c 的图象经过点 A（ 1，0），B（0， ）， C （2， 0），其对称轴与 x 轴交于点 D（1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；（2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD

9、，则 PB+PD 的最小值为 ；（3）M（x，t）为抛物线对称轴上一动点 若平面内存在点 N，使得以 A，B，M ，N 为顶点的四边形为菱形，则这样的点N 共有5 个；分析】（1）利用待定系数法转化为解方程组解决问题PB+PD 最小最小值2）如图 1 中，连接 AB，作 DHAB 于 H，交 OB 于 P，就是线段 DH ，求出 DH 即可3） 先在对称轴上寻找满足 ABM 是等腰三角形的点 M ，由此即可解决问题作 AB的中垂线与 y轴交于点 E，连接 EA，则 AEB 120°，以 E为圆心， EB为半 径作圆，与抛物线对称轴交于点F、G则 AFB AGB60°，从而线

10、段 FG 上的点满足题意，求出 F、G 的坐标即可解决问题解答】 解：（ 1）由题意解得抛物线解析式为 yx2x2x yx )2，顶点坐标（，）2）如图 1中，连接 AB，作 DHAB于 H，交 OB于 P， 此时 PB+PD 最小理由： OA 1，OB ， tan ABO ABO 30°，PHPB， PB+PDPH+PD DH， 此时 PB +PD 最短（垂线段最短） ， HAD 60°，在 RtADH 中， AHD 90°， ADsin60°，DH PB+PD 的最小值为 故答案为 3） 以 A 为圆心 AB 为半径画弧与对称轴有两个交点， 以 B

11、为圆心 AB 为半径画弧与对称轴也有两个交点，线段 AB 的垂直平分线与对称轴有一个交点，所以满足条件的点 M 有 5 个，即满足条件的点 N 也有 5 个， 故答案为 5 如图，RtAOB 中， ABO 30°，作 AB 的中垂线与 y 轴交于点 E，连接 EA，则 AEB 120°， 以 E 为圆心， EB 为半径作圆，与抛物线对称轴交于点F、 G则 AFB AGB 60°，从而线段 FG 上的点满足题意，EBOE OBEB，t），EF2EB2，2（ ）2+（F(2（）2，或或解得 t故 F（ ，）， G（，），），t t 的取值范围是掌握待定系数法确定函数解

12、析式，学会利用垂线段最短解决实际问题中的最短问题，学会添加辅助线，构造圆解决角度问题，属于中考压轴题3如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P，BC 6， ABC 150°，则线段 AP+BP+PD的最小值为 6解答】 解：将 ADC 逆时针旋转【分析】 将 ADC 逆时针旋转 60°，得到 ADC，连接 BD交 AC 于 P，交 AC 于 E，连接 PD，求出 BD，证明 PA PE，PD ED ，根据两点之间线段最短得到答 案60°，得到 ADC，连接 BD 交 AC 于 P，交AC于 E，连接 PD ， BAD 30°， DAD 60&

13、#176;， BAD 90°，又 ABAD AD BD6 ， ABP 45°，又 BAP 15 APE PAE 60°， EAP 为等边三角形，PAPE，又 APD AEDPD ED， 根据两点之间线段最短， AP+BP+PD 的最小值 PB+PE+ED 6 ，故答案为： 6 【点评】 本题考查的是菱形的性质、轴对称变换和两点之间线段最短的知识，正确找出 辅助线是解题的关键，注意轴对称变换的性质的正确运用4如图，在 ACE 中，CA CE，CAE 30°， O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上（ 1）试说明 CE 是 O 的切线；（2）若

14、ACE中 AE 边上的高为 h，试用含 h的代数式表示 O的直径 AB；（ 3）设点 D 是线段 AC 上任意一点（不含端点） ，连接 OD，当 CD+OD 的最小值为 6【分析】（1）连接 OC，如图 1，要证 CE 是O 的切线，只需证到 OCE 90°即可；（2）过点 C 作 CHAB 于 H，连接 OC ，如图 2，在 RtOHC 中运用三角函数即可解决 问题；3）作 OF 平分 AOC，交O于 F，连接 AF、CF、DF，如图 3，易证四边形 AOCF是菱形，根据对称性可得 DFDO过点 D作 DHOC于 H，易得 DH DC，从而有CD+OD DH +FD 根据垂线段最短

15、可得： 当 F、D、H 三点共线时， DH +FD（即 CD+OD）最小，然后在 Rt OHF 中运用三角函数即可解决问题解答】 解：（ 1）连接 OC，如图 1， E CAE 30°， COE 2 A60°， OCE 90°， CE 是 O 的切线；连接 OC ，如图 2，hOC?sin60°AB2OC在 RtOHC 中， CHOC?sinCOH， OC ， h；3）作 OF 平分 AOC ，交 O 于 F，连接 AF、 CF、 DF ，如图 3，180° 60°） 60°OA OFOC， AOF 、 COF 是等边三角形

16、， AF AOOCFC， 四边形 AOCF 是菱形， 根据对称性可得 DF DO过点 D 作 DH OC 于 H，OAOC， OCA OAC30°， DH DC ?sin DCH DC?sin30° DC， CD+ODDH+FD 根据垂线段最短可得：当 F、D、H 三点共线时， DH +FD（+OD）最小，此时 FH OF ?sin FOH OF6，则 OF4 ，AB2OF 8 当 CD+OD 的最小值为 6时，O 的直径 AB的长为 8 点评】 本题主要考查了圆周角定理、切线的判定、等腰三角形的性质、三角函数的定义、特殊角的三角函数值、等边三角形的判定与性质、菱形的判定与

17、性质、垂线段最短 等知识，把 CD+OD 转化为 DH +FD 是解决第（ 3）小题的关键25如图，抛物线 y x2+mx+n 与直线 y x+3 交于 A，B两点，交 x 轴于 D，C两点， 连接 AC，BC，已知 A（0，3），C（3， 0）（）求抛物线的解析式和 tan BAC 的值；（）在（）条件下：（1）P为 y轴右侧抛物线上一动点，连接 PA，过点 P作 PQPA交 y轴于点 Q，问：是 否存在点 P 使得以 A，P，Q 为顶点的三角形与 ACB 相似？若存在， 请求出所有符合条 件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（2）设E为线段 AC上一点（不含端点） ，连接 DE，一动点

18、 M从点 D出发，沿线段 DE 以每秒一个单位速度运动到 E点，再沿线段 EA 以每秒 个单位的速度运动到 A 后停止， 当点 E 的坐标是多少时，点 M 在整个运动中用时最少？【分析】（）只需把 A、C 两点的坐标代入 y x2+mx+n，就可得到抛物线的解析式， 然后求出直线 AB 与抛物线的交点 B 的坐标，利用勾股定理逆定理判断出三角形 ABC 是 直角三角形， 从而得到 ACB 90°，然后根据三角函数的定义就可求出tanBAC 的值；（）（1）过点 P 作 PGy轴于 G，则 PGA90°设点 P 的横坐标为 x，由 P 在 y 轴右侧可得 x>0，则 P

19、Gx，易得 APQ ACB90°若点 G在点 A的下方， 当 PAQ CAB 时， PAQ CAB此时可证得 PGA BCA，根据相似三角形的性 质可得 AG3PG3x则有 P（x，33x），然后把 P（x，3 3x）代入抛物线的解析式， 就可求出点 P 的坐标 当 PAQ CBA 时， PAQ CBA，同理，可求出点 P 的坐 标；若点 G在点 A的上方，同理，可求出点 P 的坐标；（2）过点 E 作 ENy轴于 N，如 图 3易得 AE EN，则点 M 在整个运动中所用的时间可表示为+ DE +EN作点 D 关于 AC 的对称点 D，连接 DE，则有 DEDE，DCDC， DCA

20、 DCA 45°，从而可得 D CD90°，DE+ENDE+EN根据两点之间线段最短可 得：当 D、 E、N 三点共线时， DE+ENDE+EN 最小此时可证到四边形 OCDN 是矩形，从而有 NDOC3，ONDCDC然后求出点 D 的坐标， 从而得到 OD、 ON、NE 的值，即可得到点 E的坐标【解答】 解：（）把 A（0， 3），C（3，0）代入 y x2+mx+n，得解得：抛物线的解析式为x+3联立解得： 或 ，点 B 的坐标为（ 4， 1）如图 1C（3，0），B（4，1），A（0，3），ABx2 x+33 3x， x整理得： x2+x 0 解得： x1 0（舍去

21、）， x2 1（舍去） 如图 2 ，当 PAQ CBA 时，则 PAQ CBA20，BC22，AC218，2 2 2 BC2+AC2 AB2，ABC 是直角三角形， ACB 90°， tan BAC ；（）方法一：（1）存在点 P，使得以 A，P， Q为顶点的三角形与 ACB 相似 过点 P作 PGy轴于 G，则 PGA90°设点 P的横坐标为 x，由 P在 y轴右侧可得 x>0，则 PGx PQ PA， ACB90°， APQ ACB 90°若点 G 在点 A 的下方， 如图 2 ，当 PAQ CAB 时，则 PAQ CAB PGA ACB90&

22、#176;， PAQ CAB， PGA BCA ， AG 3PG 3x得则 P（ x，33x）2把 P（ x， 3 3x）代入 y x2同理可得： AGPGx，则 P（x，3 x），把 P（ x， 3 x）代入 yx+3 3 x，2整理得： x2x0x2 x+3 ，得解得： x1 0（舍去）， x2P， ）；若点 G 在点 A 的上方， 当 PAQ CAB 时，则 PAQ CAB，同理可得：点 P 的坐标为（ 11， 36） 当 PAQ CBA 时，则 PAQ CBA同理可得：点 P 的坐标为P（ ，）综上所述：满足条件的点P的坐标为（ 11，36）、（ ，）、（ ，）、（ ，）；方法二：作

23、APQ 的“外接矩形”AQGH ，易证 AHP QGP ， 以 A， P，Q 为顶点的三角形与 ACB 相似， 或 ， |设 P（2t，2t2 5t+3），A（0，3），H（2t，3），| ，2t1，2t2 ，|3， ）、（， ）、（，）；2t111，2t2 1，（舍）， 满足题意的点 P 的坐标为（ 11， 36）、（2）方法 过点 E作 ENy 轴于 N，如图 3在 RtANE 中， ENAE?sin45° AE ，即 AE EN，点 M 在整个运动中所用的时间为 + DE+EN点 在整个运动中所用的时间为 作点 D 关于 AC 的对称点 D ，连接 DE，则有 DEDE，DCD

24、C， DCADCA 45°， DCD90°， DE+ENDE+EN 根据两点之间线段最短可得： 当 D、 E、N三点共线时， DE+ENDE+EN 最小 此时， D CDDNO NOC90°， 四边形 OCD N 是矩形， ND OC 3，ONDCDC对于 y x2 x+3 ，当 y0 时，有 x2 x+30，解得： x12， x2 3D（2， 0），OD2， ONDCOCOD321， NEANAOON 312，点 E 的坐标为（ 2， 1）方法二：作点 D关于 AC的对称点 D，DD交 AC于点 M，显然 DEDE， 作 DNy 轴，垂足为 N，交直线 AC于点

25、 E，如图 4，在 RtANE 中， ENAE?sin45° AE ，即 AE EN，当 D、 E、N三点共线时， DE+ENDE+EN 最小，A（0，3），C（3，0）， lAC： y x+3 ，M（m， m+3）， D （ 2， 0）， 1×DMAC， KDM × KAC 1，M （ ， ） m， M 为 DD的中点， D（ 3，1）， EYDY1， E（ 2， 1）方法三：如图， 5，过 A作射线 AFx轴，过 D作射线 DFy轴，DF 与AC交于点 E A（0，3），C（3，0）， lAC： y x+3 OAOC， AOC90°， ACO 45&

26、#176;， AFOC， FAE45° EF AE?sin45° DE+EF，抛物线的解析式为2 xx+3，且 C（ 3，当且仅当 AF DF 时，DE+EF 取得最小值，点 M 在整个运动中用时最少为：可求得 D 点坐标为（ 2， 0） 则 E点横坐标为 2，将 x2 代入 lAC：yx+3，得 y1 所以 E（ 2，1）国3動点评】 本题主要考查了运用待定系数法求抛物线的解析式、求直线与抛物线的交点坐标、抛物线上点的坐标特征、三角函数的定义、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程、两点之间线段最短、轴对称的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，综合 性强，难度大，准确

27、分类是解决第 （）（1）小题的关键， 把点 M运动的总时间 + 转化为 DE +EN是解决第（） （2）小题的关键26如图，已知抛物线 yax22ax3a（a 为常数，且 a>0）与 x轴从左至右依次交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 yx+b 与抛物线的另一交点为 D ，与 y轴交于点 E，且 DE： BE2：3（1）求抛物线的函数表达式；（2）设 P 为线段 BD 上一点（不含端点） ，连接 AP，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AP以每秒 1个单位的速度运动到 P，再沿线段 PD以每秒 2个单位的速度运动到 D后停止当 点 P 的坐标是多少时，点 M

28、 在整个运动过程中用时最少？（3）将 ABC绕点 B顺时针旋转 （0°< <180°），当点 A的对应点 A'落在 ECB【分析】（1）求出 A（1，0），B（3，0）、E（0， ），由 BOE BND 即可求解； （2）如图，过点 D作DHy轴于点 H，过点 A作AGDH于点 G，交 BD于点 P，则 点 P 即为所求，即可求解；（3）分点 A'落在 BE边所在直线上、 点 A'落在 CE 边所在直线上、 A'落在 BC 边所在直线上时，三种情况，分别求解即可【解答】 解：（1）如图，过点 D 作 DNx 轴于点 N，令 y0，

29、得 ax22ax 3a0， a>0x22x30，解得 x1 1， x2 3， A（ 1，0），B（3，0），将 B 坐标代入 y ，解得： b ， E（ 0， ）BOE BND，解得 a， ；（2）如图，过点 D作DHy轴于点 H，过点 A作AGDH于点 G，交 BD于点 P，则直线 BD 的解析式为 PBA PDG 30AB4，3）当点 A 的对应点 A'落在 ECB 的边所在直线上时，AB 4， AC 2， BC 2 ，OCOE ， ACB90°， ABC EBO 30°BCBC 2 ，则点 C（32 ，0）；过点 C作 y轴的平行线分别交过点 A与 y

30、轴的垂线、 x 轴于点 F、H， 设点 C（ m，n）， CFA BHC ，其中， C F ，BH3m，CA2，BC，FA m， HC n， ，解得： m， n，点 C （， ）；故点 C（ 32 ，0）或（， ）或（ 3+ ，3）【点评】 本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角形相似、解直角三角形等知识，其中（ 3）要考虑全面情况，避免遗漏，本题难度较大7二次函数 yax22x+c的图象与 x轴交于 A、C两点，点 C（3，0），与y轴交于点 B（0， 3 ）（ 1 ） a 1 ， c 3 ；（2）如图 1，P是x轴上一动点，点 D（0，1）在 y轴上，连接 PD，求 PD+PC的最 小值

31、；M 的坐标分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可即可；2）如图 1中，作 PHBC于 H由 DP + PC （PD+PC） （ PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H 共线时 DP+PC 最小，最小值为DH；3）如图 2 中，取点 E（ 1， 0），作 EG BC 于 G，易知 EG 由 SEBC ?BC?EG?33，推出过点 E 作 BC 的平行线交抛物线于 M1，M 2，则 3，M3，M43，求出直线 M1M2 的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出的坐标【解答】 解：（1）把 C（3，0），B（0， 3）代入 yax22x+c得到， ，解得 故答案为 1， 32）

32、如图 1中，作 PHBC于 HOBOC3， BOC90°， PCH 45°，在 RtPCH 中，PH PC DP+PC （PD + PC） （PD+PH），根据垂线段最短可知，当 D、P、H 共线时DP+PC 最小，最小值为 DH，在 RtDHB 中， BD4， DBH 45°，DH BD2 ， DP+PC 的最小值为 ?2 43）如图 2中，取点 E（ 1， 0），作 EGBC 于 G，易知 EG 过点E 作 BC 的平行线交抛物线于 M 1，M 2，则3，3，直线BC 的解析式为 yx 3，直线M1M2 的解析式为 yx1，解得或，M1（，），M2（， ），

33、根据对称性可知， 直线 M 1M 2关于直线 BC 的对称的直线与抛物线的交点 M3、M4也满足 条件， 易知直线 M3M4 的解析式为 y x 5，解得M3（14），M4（2， 3），综上所述，满足条件的点 M 的坐标为 M1（，），M2（， ），M3（1 4）， M4（2， 3）点评】 本题考查二次函数综合题、待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、轴对称、 一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题8已知抛物线 ya（ x+3）（ x 1）（a 0），与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴相交于点 C，经过点 A 的直线 y x+ b 与抛物线的另一个交点为 D（ 1）若点 D