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1、初高中数学衔接( 一 ) 绝对值绝对值的代数意义 : 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值仍是零 ( 即aa,0,|0,0,aa, ,aa,0.,绝对值的几何意义 : 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 ( b 两个数的差的绝对值的几何意义 :a,b 表示在数轴上，数和数之间的距离 ( a 例 1 、 解不等式 :| x,1例 2 、 解不等式 : |1|2x,xx, ，,13 例 3、 解不等式 :,4(练习1(填空题:x,5x,4(1) 若，则 x=_ ; 若，则 x=_ .a,1a ，b,51,c,2(2) 如果，且，则 b,_ ; 若，则 c,_

2、3( 化简:|x,5|,|2x,13|(x,5)(4( 解下列不等式 :xx，,3233xx ，,134(1) (2),1,( 二 ) 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 :22(1) 平方差公式 ; ()()ababab ，,222(2) 完全平方公式 ( ()2abaabb, ，我们还可以通过证明得到下列一些乘 法公式:2233(1) 立方和公式 ; ()()abaabbab ，, ，, ，2233(2) 立方差公式 ; ()()abaabbab, ， ,2222(3) 三数和平方公式 ; ()2()abcabcabbcac ，, ，33223(4) 两数和立方公式 ; ()3

3、3abaababb ，, ，33223(5) 两数差立方公式 ( ()33abaababb, ，, 对上面列出的五个公式，有 兴趣的同学可以自己去证明 (22 例 1 计算:( (1)(1)(1)(1)xxxxxx，, ，222abc， ,4abbcac ， ,4abc ，例 2 已知，求的值 (练习:1(填空题:111122abba, ，() (1)( ); 942322 (2) ); (4m ，)164(, ， mm2222) (3 ) ( (2)4(abcabc，, ，12kxmxk， (4) 若是一个完全平方式，则等于 222babab，, ，248a (5) 不论，为何实数，与 0

4、的大小关系 ?,2,( 三 ) 二次根式 (1)一般地，形如的代数式叫做二次根式 ( 根号下含有字母、且不能够 aa(0),222 开得尽方的式子称为无理式 . 例如 ， 等是无理式， 而 32aabb， ， ，ab，22222， ，等是有理式 ( a21xx ， xxyy ， 221(分母(子) 有理化把分母 (子) 中的根号化去，叫做分母 ( 子) 有理化 (为了进行分母 ( 子) 有理化， 需要引入有理化因式的概念 ( 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含 有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，a 例如与，3a 与，36,与 36, , 2332,与 2332, 22

5、x 等等 ( 一般地， axaxb ， axb, 与，与，与互为 axby， axby, 有理化因式 ( 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号 的过程 ; 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根 号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运 算中要运用公式 ; 而对于二次根式的除法，通常先写成 ababab,(0,0)分式的形式，然后通过分母有理化进行运算 ; 二次根式的加减法与多项式的加 减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式 (22( 二次根式 a 的意义aa,0,2aa, ,aa,0.,

6、例 1 将下列式子化为最简二次根式 :624(0)xyx,12b(1); (2); (3)( aba(0),计算: 例 2( 3(33),例 3 试比较下列各组数的大小 :21110,226,1211,(1) 和; (2) 和. 64 ，,3,练习:1( 将下列式子化为最简二次根式 :224(1) (2) 18b27ab22(计算:22,3(比较下大小:57, 和 1113,( 四 ) 二次根式 (2)20042005 例 4 化简:( (32)(32) ，,12xx，,2(01) 5化简:(1)945,; (2)(例 2x3232, ，22 例 6 已知，求的值 ( 353xxyy, ，xy

7、,3232，,练习1(填空题:13,(1),_ _;13，2(5)(3)(3)5,xxxx(2)若，则 x 的取值范围是 _ _ _;4246543962150,，,(3)_;5xxxx ，, ， ,1111x,(4) 若，则_ _( ，,2xxxx ，, ，,1111xx,(5) 等式成立的条件是 。 x,2x,2(6) 比较大小 :2,3 5,4( 填“ , ”，或“ ,”)(22aa, , ,11ab , b,2(若，求的值(a , 1,4,( 五) 分式1( 分式的意义AAAB,0 形如的式子，若 B 中含有字母，且，则称为分式(当 M?0 时，分式具有BBB下列性质 :AAM，; ,

8、BBM ，AAM,( ,BBM, 上述性质被称为分式的基本性质 (2( 繁分式amnp , b 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式(2mcd ,np，54xAB,例 1(若，求常数的值(AB, , xxxx(2)2 ,111(1) 试证:( 其中 n 是正整数 ); 例 2,nnnn(1)1 ，111 (2) 计算:; ，？1223910，1111 (3) 证明:对任意大于 1 的正整数 n， 有( ， ,？2334(1)2，c22e,例 3 设，且 e,1，2c,5ac，2a,0，求 e 的值(a练习:11. 对任意的正整数 n， , ; nn(2)，22xy,x,2. 若，则

9、, ; xy ， 3yxy,22xy, 3( 正数满足，求的值 ; xyxy,2xy ，1111 ， .4( 计算 ( 12233499100 ，,5,阶段复习 1( 填空题:1819(1),_ ; (23)(23)， ,22(2)若2, ，,aa，则的取值范围是 _; a11111(3)_ ( ， ,1223344556，23aab,11，b,，则；a,2232352aabb22xxyy ， 322(5) 若，则 ; ,xxyy ，,2022xy ，2(解不等式 :nn(1) x,13; (2) ; xx ，,327(3) xx, ， ,116(333.(1) 已知，求的值 ( xy ， ,

10、1xyxy ， 3 yy11xy, (2) 已知: ，求的值 ( ,23xyxy, ，1122()3()10 xx ，, ，, (3) 解方程( 2xx1111试证：对任意的正整数 n,有,(,?4123234(1)(2) ， nnn,6,( 六) 分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式 法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法 (1( 十字相乘法例 1 分解因式：22 (1)x,3x , 2; (2)x , 4x,12;22 (3); (4)( xyxy, , ,1xabxyaby, , () 练习：把下列各式分解因式：2x, 5x,6,(1)_ 。2x,5x

11、, 6,(2)_ 。 2x ,5x, 6,(3)_。2x,5x,6,(4)_ 。2(5)_ , , x,a, 1x, a,2273xx, ，,(6)2672xx, ，,(7) 。2273xx， ,(8) 。,7,( 七 ) 分解因式 ( 二 ) 2( 提取公因式法与分组分解法例 2 分解因式:3222 (1); (2)( xxx， 9332456xxyyxy ，, ， ,23(关于 x 的二次三项式 ax+bx+c(a?0)的因式分解(2 若关于 x 的方程的两个实数根是、，则二次三项式 xxaxbxca，,0(0)122就可分解为 . axxxx()(),axbxca ， ,(0)12把下列

12、关于 x 的二次多项式分解因式 : 例 3222xx，,21(1); (2)( xxyy，,44练习1(分解因式:2(1)x ，6x，8=_ 33(2)8a,b=_2(3)x,2x,1=_(4)=_ 4(1)(2)xyyyx,，,22(5)=_ 126xxyy ，,2(6)=_ 6 ， 2p,q,11q,2p ， 32a, b, 3 、若，则，。 x ，ax， b,x ，2x,4,8,习题1(分解因式:22、 ， x,4x ，,x ，3x，3 (1) =_ a ， 142(2)=_ 41 39xx, ，22(3)=_ bcabacbc ， 22222(4)=_ 35294xxyyxy ， ,

13、， ,2(在实数范围内因式分解 :2(1) =_ xx, ， 532(2)=_ xx, ,22322(3)=_ 34xxyy ， ,222(4)=_ _ (2)7(2)12xxxx,，222b,ABC,ABCabcabbcca， ,， 3(三边，满足，试判定的形状 ( ac224(分解因式:x， x,(a,a)(,9,( 八) 根的判别式2 我们知道，对于一元二次方程 ax， bx， c,0(a?0) ，用配方法可以将其变形为2bbac,42 ( ? ()x，,224aa2 因为 a?0,所以，4a,0(于是 2(1)当 b,4ac,0时，方程 ?的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实

14、数根2,bbac4 x,;, 122a2(2)当 b,4ac,0 时，方程？的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根b x,x,; 122ab22()x ， (3) 当 b,4ac,0 时，方程?的右端是一个负数，而方程 ?的左边一定大 于2a 或等于零，因此，原方程没有实数根(22 由此可知，一元二次方程 ax, bx, c,0(a?0) 的根的情况可以由 b,4ac 来判定，我们 22 把 b,4ac 叫做一元二次方程 ax，bx，c,0(a?0)的根的判别式，通常用符号“ ”来表示(2 综上所述，对于一 元二次方程 ax， bx，c,0(a?0) ，有(1)当 ,0 时，方程有两个不相等

15、的实数根2,bbac4 x,; ，122a(2) 当 ,0 时，方程有两个相等的实数根b x,x,; 122a(3) 当 ,0 时，方程没有实数根(例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况(其中 a 为常数)，如果方程有实数根，写出方程的实数根 ( 22(1)x,3x， 3,0; (2)x,ax,1,0; 22(3) x,ax， (a,1),0;(4) x,2x ， a,0(练习:1. 解下列方程 :2221360 xx,， ,4410 xx, ， , (1) (2)223570 xx， ,mxx， ,210 x (3) (4) 解关于的方程 :,10,(九)根与系数的关系 (韦达定理)(1

16、) 2 若一元二次方程 ax， bx， c,0(a?0) 有两 个实数根22, ， ,bbac4,bbac4 ， x,x,212a2a则有22, ， ,bbacbbacbb442 ; xx ， , ， ,12222aaaa2222,， ,bbacbbacbbacacc44(4)4 ( xx,12222244aaaaa 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系 :bc2,如果 ax，bx，c,O(a?O)的两根分别是 x，x，那么 x，x,，x?x,(这一关121212aa 系也被称为韦达定理(2 特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x，px，q,0，若 x，x 是其两根，由韦达

17、12 定理可知x， x,p ， x?x,q ， 1212即 p,(x ，x) ， q,x?x ， 1212222 所以，方程 x，px，q,0 可化为 x,(x ，x)x ，x?x,0 ，由于 x，x 是一元二次方程 x1212122，px， q,0 的两根，所以， x，x 也是一元二次方程 x,(x ，x)x ，x?x,0( 因此有 121212以两个数 x，x 为根的一元二次方程 (二次项系数为 1)是 122x,(x ，x)x， x?x,0( 12122560 xkx，, 例 2 已知方程的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值 (22 例 3 已知关于 x 的方程 x， 2(m,2)

18、x ，m，4,0 有两个实数根，并且这两个实 数根的平方和比两个根的积大 21,求 m 的值(练习:2xmxm,， ,12301.m 为何值时，的两根均为正 , ，112， xx,xx ， xx,2. 已知是方程两个实数根，求 :?;?;?;?xx,520121212xx1212233xx,11xx ， xx ， ;?;?;? 。 ， 12121222xx， 12,11,223.已知是方程的两根，且，求的值 . xmxm,， ,740,113m,，2k4.已知方程的一个根是，求它的另一根及的值。560 xkx , ,225. 求作一个方程，使它的根是方程的两根的平方的负倒数 . xx, ， ,

19、780(十)根与系数的关系 (韦达定理)(2)例 4 已知两个数的和为 4，积为,12，求这两个数 (2，5x,3,0 的两根(例 5 若 x 和 x 分别是一元二次方程 2x121133 (1) 求| x,x| 的值; (2) 求的值; (3)x ， x( ， 121222xx12说明: 一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇 到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：2 设 x 和 x 分别是一元二次方程 ax， bx， c,0(a?0) ，则 1222, ， ,bbac4,bbac4x, ， x, ， 212a2a222, ，,bbacbbacb

20、ac4424,?| x,x|, 12222aaa2bac,4 ( ,|aa于是有下面的结论 :,22 若 x 和 x 分别是一元二次方程 ax，bx，c,0(a?0) ，则 | x,x|,(其中 ,b,1212|a4ac)(今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利 用上面的结论 (,12,2 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x,x，a,4,0 的一根大于零、另一根小于零, 求实数 a的取值范围(练习1. 填空题 :22(1) 方程 xkxk, ， ,2330 的根的情况是 。2(2)若关于 x 的方程 mx, (2m，1)x，m,0 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是

21、 。112(3)若方程 x,3x,1,0 的两根分别是 x 和 x，则，(，12xx12(4) 以,3 和 1 为根的一元二次方程是 (222(已知，当 k 取何值时，方程 kx， ax， b,0 有两个不相等的实数aab， ,816|1|0根,2(已知方程 x3,3x,1,0 的两根为 x 和 x，求(x,3)( x,3) 的值(1212习题1( 填空题 :2(1) 已知关于 x 的方程 x， kx,2,0 的一个根是 1，则它的另一个根是 。22(2)关于 x 的一元二次方程 ax,5x，a，a,0 的一个根是 0，则 a 的值是。2(3) 方程 kx，4x,1,0 的两根之和为 ,2，则

22、 k, (222方程 2x,x,4,0 的两根为a, B,贝 Ua, B,(,13,2(5) 已知关于 x 的方程 x,ax,3a,0 的一个根是 ,2 ,贝它的另一个根是 (2(6)方程 2x, 2x,1,0 的两根为 x 和 x，则 | x,x|, ( 1212222(7) 若 m n 是方 程 x,2010 x,1,0 的两个实数根，则 mr, mn,mn 的值等于(23223(8)如果 a, b 是 方程 x，x,1,0的两个实数根，那么代数式 a，ab，ab，b 的值是 (2(9) 已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x,8x ，7,0 的两根，则 这个直角三角形的斜边长等

23、于 。xx212(10) 若 x，x 是方程 2x,4x ，1,0 的两个根，则的值为 。 ，12xx21222(试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 mx,(2m, 1) x , 1,0 有两个 不相等的实数根, 有两个相等的实数根 , 没有实数根 ,23(求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x,7x,1,0 各根的相反数 (24(若关于 x 的方程 x，x，a,0 的一个根大于 1、另一根小于 1，求实数 a 的取 值范围(25(已知关于 x 的方程 x,kx,2,0(1) 求证: 方程有两个不相等的实数根 ;设方程的两根为 x 和 x，如果 2(x , x),xx，求实数

24、 k 的取值范围(12121226(关于 x 的方程 x, 4x, m,0 的两根为 x , x 满足| x,x|,2 ，求实数 m 的值( 121227( 已知 x x 是关于 x 的一元二次方程 4kx,4kx k 1,0 的两个实数根 ( 123(1)是否存在实数 k，使(2x,x)( x,2 x), 成立,若存在，求出 k 的值；若不存 在，12122说明理由；xx12(2) 求使， ,2 的值为整数的实数 k 的整数值；xx21x1,(3) 若 k,2 ，试求的值 ( x2,14,2( 十一) 二次函数 y,ax ， bx， c 的图像和性质2 二次函数 y,ax ， bx， c(a

25、?0) 具有下列性质 :2bacb4,2(1) 当 a,0 时，函数 y,ax ，bx，c 图象开口向上；顶点坐标为，对 (,),24aabbb 称轴为直线 x,；当 x, 时， y 随着 x 的增大而减小；当 x, 时， y 随着 x的 ,2a2a2a24acb,b 增大而增大；当 x, 时，函数取最小值 y,( ,2a4a2bacb4,2 (2) 当 a,0 时，函数 y,ax ， bx， c 图象开口向下；顶点坐标为， (,),24aabbb 对称轴为直线 x,；当 x, 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x, 时，y 随着 x,2a2a2a24acb,b 的增大而减小；当 x, 时，

26、函数取最大值 y,( ,2a4a 上述二次函数的性质可以分别通过图 2(2,3 和图 2(2,4 直观地表示出来 ( 因 此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法 来解决问题 (2 y bacb4,y b (,), A x,24aa 2aO x O x2bacb4,b (,),A x, 24aa 2a图 2.2-4 图 2.2-3 2A(,y 例 1 求二次函数 y,3x,6x ，1 图象的开口方向、对 称轴、顶点坐标、最大值 ( 或最小值 ) ，并指出当 x 取何值时， y1,4) 随 x 的增大 而增大 (或减小 ), 并画出该函数的图象 (D(0,1)B

27、C O xx,1 图 2.2,5,15,例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x( 元) 与产品的 日销售量 y( 件) 之间关系如下表所示 :X/ 元 130 150 165Y/ 件 70 50 35若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每 件产品的销售价应定为多少元 , 此时每天的销售利润是多少 ,2 例 3 把二次函数 y,x ， bx，c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单 位，得到函 2 数 y,x 的图像，求 b，c 的值 (2 例 4 已知函数 y,x ，,2?x?a ，其中 a?,2 ，求该函数的最大

28、值与最小值，并求 出函数取最大值和最小值时所对应的自变量 x 的值 (练习1( 填空题2(1) 二次函数 y,2x,mx ，n 图象的顶点坐标为 (1 ， ,2) ，则 m, ， n, (2(2) 已知二次函数 y,x+(m,2)x,2m ，当 m, 时，函数图象的顶点在 y 轴上; 当 m , 时，函数图象的顶点在 x 轴上; 当 m, 时，函数图象经过原点 (2(3) 函数 y,3(x ，2)，5 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为；当 X,时，函数取最值 y,;当 x 满足时，y 随着 x 的增大而减小(2(求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大(小)值及 y 随 x 的变

29、化情况，并画出其图象 ( 22(1)y,x,2x,3；(2)y,1， 6 x,x(23(已知函数 y,x,2x ，3,当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最 大值或最小值，并求当函数取最大(小)值时所对应的自变量 x 的值：(1)x?,2；(2)x?2；(3),2?x?1；(4)0?x?3(,16,(十二)二次函数的三种表示方式二次函数可以表示成以下三种形式：21(一般式：y,ax ， bx， c(a?0)；22(顶点式:y,a(x ，h)，k (a?0)，其中顶点坐标是(,h，k)(3( 交点式：y,a(x,x) (x,x) (a?0) ，其中 x， x 是二次函数图象与 x 轴交

30、点的横 坐标( 1212今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形式中的某一形式来解题 (例 1 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 y,x， 1 上，并且图象 经过点 (3 ， ,1) ，求二次函数的解析式 (例 2 已知二次函数的图象过点(,3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式 (例 3 已知二次函数的图象过点 (,1 ， ,22) ， (0， ,8)， (2， 8)，求此二次函数的表达式 (练习1( 填空:2(1) 函数 y,x ，x,1 图象与 x 轴的交点个数是12 (2) 函数

31、 y, (x ，1)，2 的顶点坐标是 2(3) 已知二次函数的图象经过与 x 轴交于点 (,1 ，0) 和(2，0) ，则该二次函数的 解析式可设为 y,a (a?0) ( 2(4) 二次函数 y,x+23x ， 1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距 离为( 2( 根据下列条件，求二次函数的解析式 (1) 图象经过点 (1 ， ,2) ，(0 ，,3) ，(,1 ，,6);,17,(2) 当 x,3 时，函数有最小值 5，且经过点 (1 ，11);(3) 函数图象与 x 轴交于两点 (1,2 ，0)和(1，2，0)，并与 y 轴交于(0 ，,2)(x,1(4) 函数图象关于对称，且与轴的两

32、个交点分别为 (-1,0) ，(3,0) x( 十三 ) 一元二次不等式解法 (1)2 二次函数 y,x,x,6 的对应值表与图象如下 :x ,3 ,2 ,1 0 1 2 3 4y 6 0 ,4 ,6 ,6 ,4 0 6由对应值表及函数图象(如图 2.3,1)可知 2 当 x,2，或 x,3 时，y,0 ,艮卩 x,x,6,0;2 当 x,2 ，或 x,3 时， y,0 ，即 x,x,6,0;2 当,2,x,3 时，y,0，即 x,x,6,0(2 这就是说，如果抛物线 y= x,x,6 与 x 轴的交点是(,2，0)与(3，0)，那么- 元二次方程2x,x,6,0的解就是,2 ， x,3x;

33、12同样，结合抛物线与 x 轴的相关位置，可以得到一元二次不等式2x,x,6,0的解是x,2 ，或 x,3;,18,一元二次不等式2 x,x,6,0的解是,2,x,3(上例表明 :由抛物线与 x 轴的交点可以确定对应的一元二次方程的解和对应的 一元二次不等式的解集 ( 2 那么，怎样解一元二次不等式 ax，bx，c,0(a?0) 呢, 2 我们可以用类似于上面例子的方法，借助于二次函数 y,ax ，bx，c(a?0) 的图象来 解一 2 元二次不等式 ax，bx， c,0(a?0)(为了方便起见，我们先来研究二次项系数 a,0 时的一元二次不等式的解 ( 22 我 们知道，对于一元二次方程 a

34、x，bx，c,0(a,0) ，设 ?,b,4ac ，它的解的情形按 照?,0 ，?=0，?,0分别为下列三种情况有两个不相等的实数解、有两个相等的 实数解和没有实 2 数解，相应地，抛物线 y,ax ，bx， c(a,0) 与 x 轴分别有两个公 共点、一个公共点和没有 2 公共点(如图 2.3,2 所示) ，因此，我们可以分下列三种 情况讨论对应的一元二次不等式 ax，2bx，c,0(a,0) 与 ax，bx，c,0(a,0) 的解 (y y (1) yO xx1 x 2x= xO 12 x O x ? ? ?图 2.3,22 (1)当 ,0 时，抛物线 y,ax , bx, c(a,O)与

35、 x 轴有两个公共点(x , 0)和(x , 0) , 122方程 ax, bx, c,0 有两个不相等的实数根 x 和 x(x,x)，由图 2.3,2?可知 12122 不等式 ax，bx， c,0 的解为x,x ,或 x,x; 122 不等式 ax, bx, c,0 的解为x,x,x( 1222 (2) 当 ,0 时，抛物线 y,ax , bx, c(a,0)与 x 轴有且仅有一个公 共点,方程 axb, bx, c,0 有两个相等的实数根 x,x, ,由图 2.3,2? 可知 122a2 不等式 ax, bx, c,0的解为b x?, ; 2a2 不等式 ax, bx, c,0 无解(

36、22 (3) 如果?,0,抛物线 y,ax, bx, c(a,0)与 x轴没有公共点，方程 ax, bx, c,0 没有实数根，由图 2.3,2?可知 2 不 等式 ax, bx, c,0 的解为一切实数 ; 2 不等式 ax, bx, c,0 无解(,19,今后,我们在解一元二次不等式时,如果二次项系数大于零,可以利用上面的 结论直接求解; 如果二次项系数小于零,则可以先在不等式两边同乘以 ,1 ,将不等式变成 二次项系数大于零的形式,再利用上面的结论去解不等式 (例 解不等式: 22 (1)x, 2x,3?0; (2)x,x, 6,0; 22 (3)4x, 4x, 1?0;(4)x,6x

37、, 9?0; 2 (5),4 , x,x,0(练习:解下列不等式 :21.; 2730 xx , ,22., , ,3520 xx23. 9610 xx ，24410 xx, ，,4.2250 xx, ， ,5.,20,( 十四 ) 一元二次不等式解法 (2)2 例 1 已知不等式的解是求不等式 xx,2,3 或 axbxca， ,0(0)2 的解 ( bxaxc ， ,02 例 2 解关于的一元二次不等式为实数 ). xxaxa ， ,10(2 例 3 已知函数 y,x,2ax , 1(a 为常数)在,2?x?1 上的最小值为 n,试将 n 用 a 表示出来(练习1 (解下列不等式 : 22

38、(1)3x,x,4,0; (2)x,x,12?0;22(3)x , 3x,4,0; (4)16,8x, x?0(222.解关于 x 的不等式 x, 2x, 1,a?0(a 为常数)(,21,23. 解关于的不等式 mxx, , ,210 x24.已知函数 y,x,2ax，1(a 为常数)在,2?x?1 上的最小值为 1,求实数的值。a25(试求关于 x 的函数 y,x，mx, 2 在 0?x?2 上的最大值 k(,22,初高中数学衔接( 一 ) 绝对值绝对值的代数意义 : 正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值仍是零 (即aa,0,|0,0,aa, ,aa,0.,绝对值

39、的几何意义 : 一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离 (b 两个数的差的绝对值的几何意义 :a,b 表示在数轴上，数和数之间的距离 ( a 例 4 、解不等式 :| x,1例 5 、 解不等式 : |1|2x,你自己能总结出一般性的结论吗 ?例 3、解不等式 :xx, ， ,13,4( x,1,0 x,1x,30 x,3 解法一 : 由，得 ; 由，得 ;x,1? 若，不等式可变为， ,(1)(3)4xx, ， 24x 即 ,4 ，解得 x,0 ，又 x,1 ，?x,0;12,x? 若，不等式可变为， (1)(3)4xx,即 1,4 ，?不存在满足条件的 x;x,3? 若，不等式可变

40、为， (1)(3)4xx,，,24x, 即,4 ， 解得 x,4(又 x?3 ，?x,4(综上所述，原不等式的解为x,0 ，或 x,4(x,1 解法二：如图 1(1,1 ,表示 x 轴上坐标为 x 的点 P 到坐标为 1 的点 A之间的距离|PA|，即|PA|,|x,1|;|x,3| 表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间 的距离|PB|，即|PB|,|x,3|( |x,3| xx, ,13 所以，不等式,4 的几何意C A P D B 义即为|PA|，|PB|,4( x x 0 1 4 由|AB|,2，可知|x,1|点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P图 1(1,1,2

41、3,在点 D(坐标为 4)的右侧(x,0 ，或 x,4(练习1( 填空题 :(1) 若，则 x=_;若，则 x=_. x,5x,4222(2) 完全平方公式 ( ()2abaabb,a,1(2) 如果，且，则 b,_ ; 若，则 c,_a ， b,51,c,22( 选择题:下列叙述正确的是 ( )ab,ab,(A) 若，则 (B) 若，则 ab,ab,ab,ab,(C)若，贝 U (D)若，贝 U ab,ab,3(化简:|x,5|,|2x,13|(x,5)(4( 解下列不等式 :(1)xx ， ,3233xx， ,134(2)( 二 ) 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 :22(

42、1) 平方差公式 ; ()()ababab ， ,我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式2233(1) 立方和公式 ; ()()abaabbab ，, ，, ，2233(2) 立方差公式 ; ()()abaabbab, ， ,2222(3) 三数和平方公式 ; ()2()abcabcabbcac，, ，33223(4) 两数和立方公式 ; ()33abaababb ，, ，33223(5) 两数差立方公式 ( ()33abaababb, ，, 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明 (22 例 1 计算:( (1)(1)(1)(1)xxxxxx，, ，,24,2222，解法一 :原式

43、= (1)(1)xxx, ，, ，242 = (1)(1)xxx, ，6 =( x,122 解法二 : 原式= (1)(1)(1)(1)xxxxxx，, ，, ，33 = (1)(1)xx ，,6 =( x,1222abc， ,4abbcac ， ,4 例 2 已知，求的值 ( abc ，2222 解: ( abcabcabbcac ，,，, ， ,()2()8练习:1(填空题:111122 (1)( ); abba, ，()942322 (2) ; )(4m ，)164(, ， mm2222 (3 ) ( )(2)4(abcabc，, ，2(选择题 :12k(1)若 xmxk,，是一个完全平

44、方式，则等于()21112222mmmm(A) (B) (C) (D) 431622babab，, ，248(2) 不论，为何实数，的值 ( ) a(A) 总是正数 (B) 总是负数(C)可以是零(D)可以是正数也可以是负数(三)二次根式(1) 一般地， 形如的代数式叫做二次根式 (根号下含有字母、且不能够 aa(0), 222ab, 32aabb,，开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而 22222a,等是有理式(21xx，xxyy，221(分母(子)有理化把分母(子)中的根号化去，叫做分母 (子)有理化(为了进行分母 (子)有理化，需要引入有理化因式的概念 (两个含有二次根式的代数

45、式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，a3a36， 36,2332,2332 ， 22 例如与，与，与，与，xaxaxb, axb,等等(一般地，与，axby，与 axby,与互为有理化因式(分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程; 而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根 号的过程,25,在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行， 运算中要运用公式 ; 而对于二次根式的除法，通常先写成 ababab,(0,0) 分式 的形式，然后通过分母有理化进行运算 ; 二次根式的加减法与

46、多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式 (22(二次根式的意义 aaa,0,2aa, ,aa,0.,例 2 将下列式子化为最简二次根式 :624(0)xyx,(1)12b; (2); (3)( aba(0), 解: (1)1223bb,;2abababa,(0) (2);633 (3)( 422(0)xyxyxyx,例 2 计算:( 3(33),3 解法一 : , 3(33),33,3(33), ， ,(33)(33), ，333， , 93,3(31) ， , 631， ,( 23 解法二 : , 3(33),33,3 ,3(31),1 ,31,31， ,(31)(31

47、), ，31， ,( 2例 3 试比较下列各组数的大小 :,26,2(1) 和; (2) 和. 1110,226,1211,( 32,64，1211(1211)(1211)1, ，解 : (1)? ， 1211,112111211 1110(1110)(1110)1, ， ，1110,111101110 ， 又， 12111110 ，, ，?,1110,( 1211,226(226)(226)2,+ (2)? 226,1226226+ 又 4,22 ，?6，4,6，22， 2226, ?,.64， 练习:4( 将下列式子化为最简二次根式 :224(1)18b (2)27ab25(计算:22,5

48、7,1113,6( 比较下大小 : 和( 四 ) 二次根式 (2)20042005 例 4 化简:( (32)(32) ，, 20042005 解: (32)(32) ，, 20042004 ,(32)(32)(32) ， , 2004， (32)(32)(32) ，, , ， ,27,2004 , 1(32),12 例 5 化简:(1); (2)( xx，,2(01)945,2x解:(1) 原式 , ， 545422, ， (5)22522,(25),25,52(112()x, (2)原式 =， ,xxx01,x? ，1,1x? ， x1,x 所以，原式 ,( x3232, ，22 例 6

49、已知，求的值 ( 353xxyy, ，xy,3232，,3232, ，22 解: ? ， xy，,，, ， ,(32)(32)103232，,3232, ， xy,13232，,2222 ?( 3533()1131011289xxyyxyxy, ，, ，, ，, 练习1(填空题:13,(1),_ _;13，2(5)(3)(3)5,xxxx(2)若 x，则的取值范围是_；4246543962150, ， , , (3)_ _;5xxxx， , ， ,1111x,(4) 若，则_( ， ,2xxxx ， ,， ,1111xx,(5) 等式成立的条件是 。 x,2x,2(6) 比较大小 :2,3 5

50、,4( 填“, ”，或“ ,”)(,28,22aa, ，,11ab ， 2(若，求的值 ( b,a ，1( 五 ) 分式1( 分式的意义AAAB,0 形如的式子，若 B 中含有字母，且，则称为分式(当 M?0 时，分式具有BBB下列性质 :AAM， ; ,BBM ，AAM,( BBM,上述性质被称为分式的基本性质 (2( 繁分式amnp， b 像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式 ( 2mcd，np，54xAB， ( 若例 1，求常数的值 ( AB, ， xxxx(2)2 ，ABAxBxABxAx(2)()254，解：？，”,xxxxxxxx ， ， 2(2)(2)(2)AB， ,

51、5, ? ,24,A,解得 ( AB,2,3111 例 2(1) 试证：( 其中 n 是正整数 ); ,nnnn(1)1，111，？ (2) 计算：; 1223910 ，1111 (3) 证明：对任意大于 1 的正整数 n， 有( ， , ？2334(1)2 ， nn11(1)1nn ， ,(1) 证明：? ， ,nnnnnn ， 1(1)(1)111 ?,( 其中 n 是正整数 ) 成立( nnnn(1)1 ，(2) 解: 由(1) 可知,29,111 ，？ 1223910，11111 , ，, ，,(1)()() ？22391019 ,( ,11010111(3) 证明:? ，？ 2334

52、(1) ， nn111111 , ()()(),，, ，, ？23341nn，11, , ， 21n ，又 n?2,且 n 是正整数，1 ? 一定为正数， n ， 11111 ?, (，？ 22334(1) ， nnc22e, 设，且 e,1， 2c,5ac ， 2a,0 ，求 e 的值( 例 3a222 解: 在 2c,5ac ， 2a,0两边同除以 a,得2 2e,5e ， 2,0 ，?(2e,1)(e,2),0 ，1 ?e, ,1 ，舍去 ; 或 e,2( 2?e,2(练习111, 1. 对任意的正整数 n， , (); nn ， 2nn(2) ，22xy,x2. 若, ，则 , 。 x

53、y ， 3yxy,22xy, 3( 正数满足，求的值 ( xyxy,2xy ，,30,11114(计算 ( ， .12233499100 ，习题A 组 1( 填空题 :1819(1),_; (23)(23) ，,22(1)(1)2, ， ,aa(2) 若，则的取值范围是 _ ; a11111(3)_ ( ， ,1223344556，2(解不等式 :x,13(1) ; (2) xx，,327 ;xx, ， ,116( (3)333(已知，求的值 ( xy ， ,1xyxy ，3B 组 1( 填空题 :23aab,11b,a,(1) ，则 ; 2232352aabb ，,22xxyy ， 322(

54、2) 若，则, ; xxyy ，,2022xy ，,31,yy112(已知：，求的值(xy,23xyxy, 1123(解方程( 2()3()10 xx ， ,， ,2xx11114(试证：对任意的正整数 n,有,(,? 4123234(1)(2),nnn( 六) 分解因式 因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式 法、分组分解法,另外还应了解求根法及待定系数法 (1( 十字相乘法,32,例 1 分解因式：22 (1)x,3x , 2; (2)x , 4x,12;22 (3); (4)( xyxy, , ,1xabxyaby, , ()2 解:(1) 如图 1(2,1 ，将二次项 x

55、 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 22 分解成 ,1 与 ,2 的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为 ,3x ，就是x,3x ，2 中的一次项，所以，有2x,3x ，2,(x,1)(x,2)(x 1 ,1 ,2 x 1 ,ay ,11 x x 1 6 ,by ,2 ,2图 1(2,1 图 1(2,3 图 1(2,4 图 1(2,2说明: 今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1(2,1 中的两个 x用 1 来表示 ( 如图 1(2,2 所示 )(2) 由图 1(2,3 ，得 2x ，4x,12,(x,2)(x ，6)() 由图 1(2,4 ，得 (322x ,1 ,

56、()()xayxby,xabxyaby,， ()y 1 (4),xy ，(x,y),1 xyxy, ，,1 图 1(2,5,(x,1) (y+1) ( 如图 1(2,5 所示)(练习:把下列各式分解因式 :2x，5x,6,(1)_ 。2x,5x ， 6,(2)_ 。2x，5x，6,(3)_ 。2x,5x,6,(4)_ 。2(5)_ ， x,a ，1x，a,2273xx, ， ,(6) 。2672xx, ，,(7) 。2273xx， ,(8)( 七 ) 分解因式 ( 二 ) 2( 提取公因式法与分组分解法,33,例 2 分解因式:3222 (1); (2)( xxx， 9332456xxyyxy

57、 ，, ， ,32322 解: (1)= xxx ， 933(3)(39)xxx ， xxx(3)3(3) ，2 =( (3)(3)xx ，或32323,xxx ， 933(331)8xxx ， (1)8x ，33 (1)2x ，22 , (1)2(1)(1)22xxx ，, ，2 ,( (3)(3)xx ，2222 (2)= 2456xxyyxy ， , ，,2(4)56xyxyy ， , ，,2 =( (22)(3)xyxy, ， ,2(4)(2)(3)xyxyy ，,或2222= 2456xxyyxy ，, ， ,(2)(45)6xxyyxy ，,= (2)()(45)6xyxyxy,，

58、 ,=( (22)(3)xyxy, ，,23(关于 x 的二次三项式 ax+bx+c(a?O)的因式分解(2 若关于 x 的方程的两个实数根是、，则二次三项式 xxaxbxca，就可分解为 . axxxx()(),axbxca ， ,(O)12例 3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式 :222xx，,21(1); (2)( xxyy，,442xx, ,21 解：(1)令=0,则解得，x, , 12x,12122， xx, ， ,(12)(12)xx， ,21 ?= ，,0(0)122=( (12)(12)xx22(2) 令=0，则解得， xy, ， (222)xy,(222)xxyy22

59、?=( xxyy ，,442(12)2(12)xyxy，, ，练习1(分解因式 :2(1)x ，6x， 8=_33(2)8a,b=_2(3)x,2x,1=_,34,(4)=_ 4(1)(2)xyyyx, ，22(5)=_ 126xxyy ， ,2(6)=_ ， 62p,q,11q,2p ， 323、若则，。 a, b, x ， ax，b, ， x，2x,4 习题1(分解因式 :3 (1) =_ a ， 142(2)=_ 4139xx, ，22(3)bcabacbc ， 222=_22(4)=_ 35294xxyyxy，, ， ,2( 在实数范围内因式分解 :2xx, ，53(1) =_2xx,

60、223(2)=_22(3)=_ 34xxyy ，,222(4)=_ (2)7(2)12xxxx,222b,ABC,ABCabcabbcca , , , , 3(三边 a, c 满足，试判定的形状(，,441122、 x,4x ， x，3x，224(分解因式:x , x,(a,a)(,35,( 八) 根的判别式2 我们知道,对于一元二次方程 ax, bx, c,0(a?0) ,用配方法可以将其变形为2bbac,42 ( ? ()x, ,224aa2 因为 a?0,所以，4a,0(于是 2(1)当 b,4ac,0时，方程 ?的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根2,bbac4 x,;