(完整word版)4-3-1三角形等高模型与鸟头模型(一).教师版

1、4- 3-1.三角形等高模型与鸟头模型题库page 56 of 40板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积二底 高亠2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变，高越大 （小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大 （小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化但是，当三角形的底和高同时发生1变化时，三角形的面积不一定变化.比如当高变为原来的3倍，底变为原来的-，则三角形面积与原来的一3样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决

2、于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论: 等底等高的两个三角形面积相等； 两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如左图S, : S2 -a :b 夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图Sa acdBCD ；反之，如果Saacd =Sabcd，则可知直线 AB平行于CD . 等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半； 两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个

3、平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.【例1】 你有多少种方法将任意一个三角形分成：3个面积相等的三角形；4个面积相等的三角形;6个面积相等的三角形.【考点】三角形的等高模型【难度】1星【题型】解答【解析】 如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：ACAG 如下图，答案不唯一，以下仅供参考:【答案】答案不唯一:AC答案不唯一:答案不唯一:【例2】 如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上. 求三角形ABC的面积是三角形 ABD面积的多少倍？求三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍？AC【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解

4、答【解析】 因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从 A点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等.于是：三角形 ABD的面积=12高"2=6高三角形ABC的面积 （12 - 4）高"2=8高三角形ADC的面积=4高：2二2 高4 所以，三角形 ABC的面积是三角形 ABD面积的-倍;3三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的3倍.4【答案】4、33【例3】如右图, 面积是BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】图中阴影部分的面积等于长方形 ABCD面积的一半，即4

5、 3“2=6（平方厘米）.【答案】6【巩固】（2009年四中小升初入学测试题 平方厘米.）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积是【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也 等于平行四边形面积的一半，为50"2=25平方厘米.【答案】25ABCD，长方形 ABCD的长是20,宽是12,则【巩固】如下图，长方形 AFEB和长方形FDCE拼成了长方形 它内部阴影部分的面积是 .BEC【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答1【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面

6、积等于长方形面积的一半，为-20 12 =120 .2【答案】120【例4】 如图，长方形 ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点，H为AD边上的任意一点，求阴影部分的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用.连接BH、CH AE =EB ,-Sa AEHBEH 冋理，SaBFH -SaCFH , ScGH=S_DGH ,1 1-S阴影S长方形abcd56 =28（平方厘米）2 2【答案】28【巩固】图中的 E、F、G分别是正方形 ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面

7、积是E6A 32DGC【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段把H和这些分点以及正方形的顶点相连，把整个正方形分割成了9个形状各不相同的三角形这 9个三角形的底边分别是在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一.阴影部分被分割成了 3个三角形，右边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第3第4个三角形相等；左边三角形的面积和第5个第6个三角形相等.因此这3个阴影三角形的面积分别是 ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等 于正方形面积的三分之一正方形的面积是144，阴影

8、部分的面积就是 48.【答案】48【例5】长方形ABCD的面积为36, E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是 多少？【考点】【解析】【答案】三角形的等高模型【难度】3星（法1）特殊点法.由于 H为AD边上任意一点，找 H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图）， 那么阴影部分的面积就是CAEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形面积的1和1，所以阴影部分面积为长方形84（法2）寻找可利用的条件，连接【题型】解答ABCD面积的1133丄-，为 36 3 =13.5 .8 4 88BH、可得： S EH = S AHB、 SfH = S chB、_ 1（S.A

9、HB S CHB即 S EHB . S BHF . S d HG而 S 店HB +S 恵HF +S应HG所以阴影部分的面积是:13.5ABCDHC，如右上图.s D HG =2s D HC ,c1而 SabCD = S AHB S CHB S £HD = 36 ,'S chd )36 = 18 ;c丄cc11111=S阴影'S ebf , S -EBFBE BF ( AB) ( BC) 36 = 4.5 .2 2 2 2 8S阴影=18 -S ebf =18-4.5=13.5 .【巩固】【考点】【解析】3星【题型】解答三角形的等高模型【难度】（法1 ）特殊点法.由于

10、P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的P点与A点重合，则阴和，所以阴影部46在边长为 6厘米的正方形 ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分, 分别与P点连接,求阴影部分面积.2 1 1 分的面积为62 （- -） =15平方厘米.46（法2）连接PA、PC .ABCD 面由于 PAD与PBC的面积之和等于正方形 ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积 之和等于正方形 ABCD面积的1 ,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形4积的丄，所以阴影部分的面积为 6 （丄1） =

11、15平方厘米.646【答案】【例6】15如右图，E在AD上，AD垂直BC， AD =12厘米，DE =3厘米.求三角形 ABC的面积是三角形EBC面积的几倍?C【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】 因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED 是三角形EBC的高，于是：三角形 ABC的面积二BC 12"2二BC 6三角形EBC的面积 二BC 3-、2=BC 1.5所以三角形 ABC的面积是三角形 EBC的面积的4倍.【答案】4【例7】如图，在平行四边形 ABCD 一共有哪几个三角形？中，EF平行AC,连结BE、AE

12、、CF、BF那么与 BEC等积的三角形【题型】解答【考点】三角形的等高模型【难度】【解析】【答案】 AEC、 AEC、 AFC、 AFC、 ABF. ABF.【巩固】如图，在共有哪几个三角形? ABC中，D是BC中点,E是AD中点，连结 BE、CE,那么与 ABE等积的三角形一【考点】三角形的等高模型【难度】2星【解析】 AEC、 BED、【解析】3个，【答案】3个， AEC、 DEC. BED、【巩固】如图，在梯形 ABCD中,【考点】【解析】【答案】三角形的等高模型 ABD 与厶 ACD, ABD 与厶 ACD ,【例8】【题型】解答 DEC.共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对

13、?【题型】解答【难度】2星 ABC 与厶 DBC , ABC 与 DBC , ABO 与 DCO . ABO 与厶 DCO如图，三角形 ABC的面积为1,其中AE=3AB , BD =2BC，三角形 BDE 的面积是多少?【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【关键词】迎春杯【解析】连接 CE , T AE =3AB ,二 BE=2AB, Svbce =2Svacb又BD =2BC ,Svbde =2Svbce =4S/abc =4 .【例9】如右图, 方厘米.AD二DB , AE =EF二FC ,已知阴影部分面积为 5平方厘米，.ABC的面积是【考点】三角形的等高模型【难度】2星【

14、题型】解答【关键词】2008年，四中考题【解析】11连接CD 根据题意可知，DEF的面积为 DAC面积的-，DAC的面积为ABC面积的，所32111以DEF的面积为ABC面积的.而.DEF的面积为 5平方厘米，所以.ABC的面积为236【答案】1530（平方厘米）.630【巩固】图中三角形 ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF 长的3倍.那么三角形 AEF的面积是多少平方厘米？【考点】三角形的等高模型【难度】2星 【题型】解答【解析】VABD，VABC等高，所以面积的比为底的比，有Qabd _ BDVABCBC【答案】1 1AE1所以Sv ABD

15、 =汉 Sy abc =_勺80 =90（平方厘米）.同理有Svabe =一XS/ABD =90=30 （平方厘米）,2 2AD3FE3Svafe二匚三 Svabe =- 30=22.5 （平方厘米）.即三角形 AEF的面积是22.5平方厘米.BE4【答案】22.5【巩固】如图，在长方形 ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果 AB =24厘米，BC=8厘米，求 三角形ZCY的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答111【解析】 Y是BD的中点，Z是DY的中点， ZY二丄-DB , &zcy二dcb，2 24111又 ABCD 是长方形，-SvzcySvdcb

16、Sy abcd 24 （平方厘米）.44 2【答案】24【巩固】如图，三角形ABC的面积是24, D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】三角形ADC的面积是三角形 ABC面积的一半24 "2 =12 ,三角形ADE又是三角形 ADC面积的一半12“ 2 =6 .三角形FED的面积是三角形 ADE面积的一半，所以三角形 FED的面积=6"2=3 .【答案】3 【巩固】如图，在三角形 ABC中，BC =8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形EBF的面积是多少平方厘米?【考点】三

17、角形的等高模型【难度】2星【题型】解答【解析】I F是AC的中点S ABC 2S ABF同理 Sabf =2S_ BEF二 Sbef = S_abc4=8 6-：- 2 4 = 6 （平方厘米）.【答案】6【例10】如图所示，A、B、C都是正方形边的中点， COD比厶AOB大15平方厘米。 AOB的面积为 平方厘米。D【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答 【关键词】走美杯，5年级，决赛，第8题，10分22【解析】 Scod S蓉bo =Scd Sbd =Sbd =15cm，所以， bo = 7.5cm。【答案】7.536个平【例11】如图ABCD是一个长方形，点 E、F和G分别是它

18、们所在边的中点.如果长方形的面积是 方单位，求三角形 EFG的面积是多少个平方单位.【考点】【解析】三角形的等高模型如右图分割后可得,【难度】2星【题型】解答SeFG 二S矩形 DEFC 一'2 二 S矩形 ABCD 一'4 = 36一：一 4 = 9 （平方单位）【答案】【巩固】如图，长方形 ABCD的面积是1， M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN = BN .那么，阴影部 分的面积是多少？【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【关键词】迎春杯， 决赛【解析】连接BM，因为是中点所以 ABM的面积为 丄又因为42AN = BN，所以 BDC的面积为1 1-x-

19、43【答案】12112，又因为 BDC面积为1，所以阴影部分的面积为:1 一丄12_512【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24组合而成求阴影部分的面积.平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形【考点】【解析】12cm2/48cm2三角形的等高模型【难度】3星如图，将大长方形的长的长度设为1,111所以MN =丄-丄丄，阴影部分面积为3412【题型】解答12=124483，1 1 2(12 24 36 48)5(cm ) 2 12则 AB=12364【答案】【例13】图中ABCD是个直角梯形(/DAB = / ABC=90°,以AD为一边向外作长方形 ADEF，

20、其面积为6.36 平方厘米。连接 BE交AD于P,再连接PC。则图中阴影部分的面积是 ()平方厘米。(A)6.36(B )3.18【考点】三角形的等高模型【关键词】华杯赛，初赛，第【解析】如图，连接AE , BD。S阴影说明:【答案】3.18C(C)2.12【难度】3星5题因为 AD / BC,(D) 1.59【题型】解答-SAPDB1=SEPDpdc =sepd +Spdb =seda = Sa adef则：Spdc - SPDB ,又 AB / ED，则：S EAD = SEBD，所以, 16.36=3.18 （平方厘米）2答案和直角梯形形状无关，可以让BC边趋近AD边，直到和AD边重合，

21、此时，P与A重合,PE是ADEF的对角线，所以，阴影部分的面积是ADEF面积的一半，等于 3.18平方厘米。【例14】如图，BC是半径为6的圆O上的弦，且BC的长度与圆的半径相等，A是圆外的一点,度为12，且OA与BC平行，那么图中阴影部分的面积是。（冗=3.14 ）OA的长【难度】6年级，第11题由于OA与BC平行，如果连接 0B、的面积转化为扇形 BOC的面积。如图【考点】三角形的等高模型【关键词】学而思杯，【解析】AOC , ABC的面积是等于 OBC的面积，于是把求阴影部分 1，连接OB、OC。由于OA与BC平行，根据面积比例模型,AB(是等边三角形，那么 BOC为60，扇形BOC的面

22、积为二6 360= 18.84。【答案】18.84【巩固】在下图中，A为半径为3的O 0外一点。弦BC / A0且BC=3。连结AC。阴影面积等于.（二=3.14）【考点】三角形的等高模型【难度】A【关键词】走美杯，6年级，决赛，第3题，10分【解析】D为OA与圆0的交点，连接OC, OB，BD（见下图）.A/ CB / OD , CB=OD=3,二四边形CBDO是平行四边形， COB是等边三角形art阴影面积等于扇形 COB的面积，S阴影=S扇形cob =r2X 烦=32X3.14 J =4.71.3606【答案】4.71CAB = S COB【例15】如图，三角形 ABC中，DC =2BD

23、 , CE =3AE，三角形ADE的面积是20平方厘米, 的面积是多少？三角形 ABC【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】/ CE =3AE , AC -4AE , S ADC - 4S ADE ；又 T DG2BD ,-BC - 1.5DC , S|_abc - 1.5_adc - 6S_ade -120 （干方厘米）【答案】120【例16】如图，在三角形ABC中，已知三角形 ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是 么三角形DBE的面积是.89, 28, 26.那【考点】三角形的等高模型【难度】3星 【题型】解答【关键词】 希望杯，复赛，六年级【解析】根据题意可知

24、，SDC =SDE +SCE =89 28 =117 ,所以 BD : AS bdc : S adc =26:117=2:9 ,那么 S DBE : S ADE = BD : AD =2:9 ,f2227故 S dbe =89(90 -1)2019 .9999【答案】19 79【例17】如图，梯形ABCD被它的一条对角线 BD分成了两部分.三角形BDC的面积比三角形 ABD的面积 大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米，它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答 【关键词】小数报ABD的面积相等，三角形DEC的面积就【解析】如右图

25、，作AB的平行线DE.三角形BDE的面积与三角形是三角形BDC与三角形ABD的面积差（10平方分米）.从而，可求出梯形高（三角形DEC的高）是:2 10-：-5=4（分米），梯形面积是：15 4-：-2=30（平方分米）.【答案】30【例18】图中 AOB的面积为15cm2，线段0B的长度为0D的3倍，求梯形 ABCD的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】在 L ABD 中，因为 Saob =15cm2，且 OB =3OD，所以有 Saod =S AO: = 5cm2.因为LABD和L ACD等底等高，所以有 Sabd =S_acd .从而 socd =15cm ,在

26、 L BCD 中，sboc =3S°cd = 45cm ,所以梯形面积：15 ' 5 ' 15 45 = 80（ cm ）.【答案】80【例19】如图，把四边形 ABCD改成一个等积的三角形.【考点】三角形的等高模型【难度】4星 【题型】解答【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等.我们可以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点 A移到CB的延长线上的A处，ABD与ABD面积相等，从而A DC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角 形 A DC .问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原

27、则.过A作一条和DB平行的直线与 CB的延长线交于A点.具体做法：连接BD ; 过A作BD的平行线，与 CB的延长线交于 A'. 连接AD，贝U A C D与四边形ABCD等积.【答案】具体做法： 连接BD ; 过A作BD的平行线，与 CB的延长线交于 A 连接A D，贝U A CD与四边形ABCD等积.C【例20】一个长方形分成 4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的21cm2 .问：长方形的面积是多少平方厘米？15%，黄色三角形面积是【考点】三角形的等高模型【关键词】华杯赛，初赛【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色

28、三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形面积占长方形面积的 50%-15% =35% .已知黄色三角形面积是 21cm2，所以长方形面积等于 21 “ 35% = 60 ( cm2).【答案】60【例21】O是长方形 ABCD内一点，已知 OBC的面积是5cm2, OAB的面积是2cm2，求 OBD的面积是 多少？BC【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】11由于ABCD是长方形，所以Saod Sb OC = SaBCD，而 S也BD = Sabcd，所以S也 OD ' S 'Boe =S A BD ,222 则

29、 S.boc =S.oabS.obd，所以 s obd =S.boc -S.©ab = 5 2 =3cm .【答案】3【例22】如右图，过平行四边形 ABCD内的一点P作边的平行线 EF、GH，若PBD的面积为8平方分米, 求平行四边形 PHCF的面积比平行四边形 PGAE的面积大多少平方分米？解答【考点】【解析】三角形的等高模型【难度】3星【题型】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形 PGAE的面积差，相当于求平行四边形BCFE的面积与平行四边形 ABHG的面积差.由于 S 应CP +S©DP =SBP +S遐DP +S©DP1 、Sabcd

30、，所以 S BCP -S ABP = S BDP .如右上图，连接CP、AP .1 1而 S BCPSbCFE , S ABPSabHG，所以 SbCFE -'SabhG = 2 S BCP -'S ABP =2SbDP =16（平方分米）.【答案】16【例23】如右图,正方形 ABCD的面积是20，正三角形 BPC的面积是15，求阴影 BPD的面积.【考点】【解析】三角形的等高模型【难度】4星【题型】解答连接AC交BD于0点，并连接P0.如下图所示，可得PO/DC，所以 DPO与 CPO面积相等（同底等高），所以有:S.B po +S 应po =Spo S.P DO = S

31、BPD ,11因为 S bocSabcd20=5，所以 S bpd =155=10 .44【答案】10【巩固】如右图，正方形 ABCD的面积是12，正三角形ABPC的面积是5，求阴影.BPD的面积.【考点】【解析】解答三角形的等高模型【难度】4星【题型】连接AC交BD于0点，并连接P0.如右上图所示，可得PO/DC，所以 DPO与 CPO面积相等（同底等高），所以有：S bpo ' S cpo - S bpo ' S pdo - S Bpd ,1因为 S Boc Sabcd 3，所以 S. bpd = 5 - 3 = 2 .4【答案】2 【例24】在长方形ABCD内部有一点O,

32、形成等腰.AOB的面积为16,等腰.DOC的面积占长方形面积的18%，那么阴影 MOC的面积是多少？【考点】【解析】【答案】三角形的等高模型 【难度】4星 先算出长方形面积，再用其一半减去 可求出AOC的面积.【题型】解答DOC的面积（长方形面积的18%）,再减去 AOD的面积，即1 1根据模型可知 Scod，S aob =qSabcd，所以 Sabcd -16（2-18%） 口50 ,又 AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以形面积的1 ,4AOD的面积等于长方、 1所以 S aoc =S.acd S.aod Scod uSabcd '25%Sabcd 18

33、%Sabcd = 2512.5'9 = 3.5 .3.5【例25】如右图所示，在梯形 ABCD中，E、F分别是其两腰 AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知UADG 的面积为15cm1 2,而 BCG的面积恰好是梯形 ABCD面积的,则梯形ABCD的面积2cm解答【考点】三角形的等高模型【难度】4星【题型】【关键词】陈省身杯，六年级【解析】如果可以求出ABG与 CDG的面积之和与梯形 ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形 ABCD的面积.是 S.abg ' S.cdg =S C DE .如图，连接CE、DE 贝U S a

34、EG =SeG , S幽EG = S©eG , 要求 CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形 ABCD绕F点旋转180，变成一个平行四边形.如 下图所示：1 111/S AED = S AFD =2 S ADC， S BEC ' S AED = ? S ABC ' 3 S ADC = SabCD 得来）173那么，根据题意可知ADG的面积占梯形 ABCD面积的1，所以梯形 ABCD的面积是2 20 203215100cm .20小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半,这是一个很有用的结论. 本题中，如果知道这一结论，直

35、接采用特殊点法，假设G与E重合，则.CDE 的面积占梯形面积的一半，那么 JADG与 BCG合起来占一半.【答案】100 【例26】如图所示，四边形 ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.FF【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半.证明：连接BE .（我们通过 ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.）1在平行四边形 ABCD中，Sa abe二一 AB AB边上的高，2-Sa ABE = S ABCD .21同理，Sa ABESaegf ,

36、二平行四边形 ABCD与AEGF面积相等.2【答案】证明：连接 BE .（我们通过 ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.）1在平行四边形 ABCD中，Sa abe = 一 AB AB边上的高，2-Sa ABEABCD .21同理，SaabeSaegf ,二平行四边形 ABCD与AEGF面积相等.2【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米?【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积等于与它等底等高的平行

37、四边形面积的一半.证明：连接 AG .（我们通过 ABG把这两个长方形和正方形联系在一起 ）.1在正方形ABCD中，Smbg AB AB边上的高，21二SaabgSabcd（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）21冋理， SAabgSEFGB .2正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=8 8-：-10=6.4（厘米）.【答案】6.4G【例27】如图，正方形 ABCD的边长为6, AE = 1.5, CF = 2.长方形EFGH的面积为【例28】如图，ABCD为平行四边形, 积.【考点】【解析】三角形的等高模型连结AF、CE .【难度】4星【题型】解答【考点】三角形的

38、等高模型【难度】3星【题型】解答【关键词】走美杯，5年级，决赛，第8题，10分，6年级，决赛，第9题，10分【解析】连接DE, DF，则长方形EFGH的面积是三角形 DEF面积的二倍。三角形 DEF的面积等于正方形 的面积减去三个三角形的面积：6 >6-（6 1.5+4.5 4+2為）2=16.5，所以长方形的面积为 33。【答案】33EF平行AC,如果H ADE的面积为4平方厘米.求三角形 CDF的面S CDF - S ACF ；=SS ADE =S_ACE ；ACF又T AC与EF平行，二S ACESADE =SCDF =4（平方厘米）.【答案】【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中

39、，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若SADE =1，求ABEF的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】4星【题型】解答【解析】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想连接AC T AB CD ，Sa ADE = ACE冋理 AD / BC，二 SA ACF = Sa ABF又 SA ACF - SA ACE SA AEF , & ABF SA BEF ' SA AEF , - - SA ACE = Sa beF，即 SA BEF - SA ADE - 1 【答案】1【例29】梯形ABCD中，AE与DC平行

40、，S ABE 15, S BCF =.anE【考点】三角形的等高模型【难度】3星 【题型】解答【关键词】走美杯，初赛，六年级，第4题【解析】连结DE，因为AE与DC平行，根据蝴蝶定理易知S占ef =Sef，同样可知S曲bf =Sef 所以S ABF =S.CEF 那么S 0BE =SCF =15。【答案】15【例30】图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.【考点】三角形的等高模型【解析】4 4 一、2=8 【答案】8【例31】如图，有三个正方形的顶点求阴影部分的面积.D、G、K恰好在同一条直线上,其中正方形GFEB的边长为10厘米,【考点】三角形的

41、等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.如右图所示，连接 FK、GE、BD，则BD/GE/FK，根据几何五大模型中的面积比例模型，可2得S DGE =S BGE , S KGE =S FGE，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积，即为10100平方厘米.【答案】100【巩固】右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是F【考点】三角形的等高模型【难度】3星 【题型】解答【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形

42、的边长没关系.连接AD（见右上图），可以看出，三角形 ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的 边长，所以面积相等因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等.根据等量代换，求三角形 ABC的面积等于求三角形 BCD的面积，等于4 4“ 2 =8 .【答案】8【巩固】如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形为.ABH的面积为 6平方厘米，图中阴影部分的面积【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【关键词】西城实验【解析】如图，连接 AF，比较ABF与 AD

43、F，由于AB = AD , FG = FE，即 ABF与 ADF的底与高分 别相等，所以'ABF与 ADF的面积相等，那么阴影部分面积与ABH的面积相等，为6平方厘米.【答案】6【巩固】【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答 【解析】方法一：三角形 BEF的面积=BE EF-、2 ,梯形EFDC的面积 (EF CD) C BE EF " 2 =三角形BEF的面积,而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积二三角形BCH的面积，进而可得，阴影面积二三角形BDF的面积二三角形BCD的面积=10 10" 2=50（平方厘米）.方法二：连接 CF，

44、那么CF平行BD ,所以，阴影面积 二三角形BDF的面积=三角形BCD的面积=50（平方厘米）【答案】50【巩固】已知正方形 ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【关键词】人大附中考题【解析】如果注意到DF为一个正方形的对角线 （或者说一个等腰直角三角形的斜边），那么容易想到 DF与CI是平行的所以可以连接 CI、CF，如上图.1由于DF与CI平行，所以 DFI的面积与 DFC的面积相等而 DFC的面积为10 4 -=20，所2 以DFI的面积也为20.【答案】20【例32】于CF的三分之一，三角形 CHG的面积等于6平

45、方厘米，求五边形 ABGEF的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【关键词】华杯赛， 决赛【解析】连接AC、GF ,由于AC与GF平行，可知四边形 ACGF构成一个梯形.1由于HCG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的-，根据梯形蝴蝶2定理或相似三角形性质，可知 FHG的面积为12平方厘米，厶AHF的面积为6平方厘米， AHC的面积为3平方厘米.那么正方形CGEF的面积为 6 12 2 =36平方厘米，所以其边长为 6厘米.又 AFC的面积为6 '3=9平方厘米，所以 AD =9 2'6=3（厘米），即正方形 ABCD的边长为 3厘2

46、 1米.那么，五边形 ABGEF的面积为：36 9 3 =49.5（平方厘米）.2【答案】49.5【例33】如下图，E、F分别是梯形 ABCD的下底BC和腰CD上的点，DF二FC，并且甲、乙、丙 3个三 角形面积相等已知梯形 ABCD的面积是32平方厘米求图中阴影部分的面积.【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【关键词】小数报， 决赛【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF二FC 所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即 AE与CD平行，四边形 ADCE是平行四边形，阴影部分的面积二平行四边形 ADCE的面积的1，所以2阴影部分的面积 =乙的面积 2 设甲、乙、丙的面积分别为

47、 1份，则阴影面积为 2份，梯形的面积 为5份，从而阴影部分的面积 =32“ 5 2 =12.8（平方厘米）【答案】12.8【例34】如图，已知长方形 ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么三角形ABC的面积是多少?【考点】【解析】三角形的等高模型方法一：连接对角线【难度】AE 【题型】解答C ADEF是长方形1Sa DE = S.AEF =? S ADEFDEBES ADE 8 EFS AEFDEDB 5 CE FE -CFDEDE=5 1 16 =52 8 2 2EF S. Abcadef -S.Adb -'S. Acf -"S.Cbe1

48、3方法二：连接 BF，由图知SA ABF =16*2=8，所以 Sx BEF=16-8 - 3 = 5，又由 SAacf =4，恰好是 AEF面积的一半，SA abc =16-3 42.5所以C是EF的中点，因此SABCSA b5弓2= 2 . ,5所以6【答案】6.5【例35】如图，在平行四边形 ABCD中，BE=EC , CF = 2FD .求阴影面积与空白面积的比.【考点】三角形的等高模型【难度】4星【解析】【答案】【题型】解答方法一：因为 BE 二EC , CF =2FD因为 AD =2BE，所以 AG =2GE，所以SabgeSa ABE =3&边形ABCD ,12同理可得,

49、因为Sa BCDadh,所以Sa ABE11足边形ABCD ,Sa ADF乐边形ABCD 46Sa abgSa abe3丄四边形ABCD .6&边形 ABCD , Sa DHF8S四边形ABCD .2411111 2四边形ABCD，所以空白部分的面积=（-24 6 8金边形ABCD匕&边形ABCD，1所以阴影部分的面积是1 S四边形ABCD .31 2丄：2 =1:2，所以阴影面积与空白面积的比是3 31:2【例36】如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E是AC边上的一点，且AE=3EC ,0为DC与BE的交点.若 ME0的面积为a平方厘米，iBDO的面积为b平方厘米.

50、且b-a是2.5平方厘米，那 么三角形ABC的面积是平方厘米.【考点】三角形的等高模型【难度】【关键词】 小机灵杯，五年级，复赛1【解析】2 S abc = S bcd =b ' S bco ,【题型】解答、1 S. abc = S Bce = a S Bco ,所以S Abc1-Sab2,5（平方厘米）所以S ABC =2.5 4=10（平方厘米）.【答案】10【例37】如图，在梯形 ABCD中，AD:BE=4:3 , BE: EC =2:3，且.BOE的面积比.AOD的面积小10平 方厘米.梯形 ABCD的面积是平方厘米.【考点】三角形的等高模型【难度】3星【题型】解答【解析】根据

51、题意可知 AD: BE: EC =8:6:9，则 空£ 諾,Sabe£s，abd ,1而 S ABD - S ABE = S aod - S BOES.ABESabd =10，贝U S ABD =40平方厘米.又S5二宁詣，所以SbCD晋40二75平方厘米.所以S弟形 ABCD 二 S 'ABD Sbcd =4075 =115（平方厘米）.【答案】115【巩固】如图， BD是梯形ABCD的一条对角线，线段 AE与DC平行，AE与BD相交于0点.已知三角形2BOE的面积比三角形 AOD的面积大4平方米，并且 EC=2BC .求梯形ABCD的面积.5三角形的等高模型【难

52、度】3星【关键词】小数报，初赛【解析】连接AC .根据差不变原理可知三角形 角形ACD面积相等，因此也与三角形 平方米.2但EC BC，所以三角形 ACE的面积是三角形54“ 123【答案】28【考点】【题型】解答ABE的面积比三角形 ABD大4平方米，而三角形 ABD与三ACE面积相等，从而三角形 ABE的面积比三角形 ACE的大42 2ABE的-，从而三角形 ABE的面积是523f 2、丄12（平方米），梯形ABCD的面积为：121 2戸28（平方米）.3/【例38】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是 部分的面积是多少？13 , 35 , 49 那么图中阴影【考点】【解析】【答案】97三角形的等高模型【难度】4星【题型】解答三角形ABC的面积-三角形CDE的面积（13 - 35 49长方形面积-阴影部分面积；又因为三角1形ABC的面积二三角形CDE的面积二丄长方形面积，所以可得：2阴